医学统计学第八讲二项分布其应用.ppt

第五章 二项分布及其应用 随机变量有连续型和离散型之分，相应 的其概率分布也有连续型和离散型。 有关连续型分布如正态分布、t分布等 在前面的章节中已作了介绍。 本章主要介绍在医学中较为常用的离散 型分布，即二项分布分布。 二项分布由瑞士数学家贝努利在18世纪 提出，故又叫贝努利分布，是常见的离散型 分布，在医学上常用于率的抽样研究，如总 体率的估计，两样本率的比较。 第一节 二项分布及其应用 贝努利试验：指只有两个互斥结果的试验 。如阳性与阴性，生存与死亡，发病与未发 病。 n n次贝努利试验指重复进行次贝努利试验指重复进行n n次独立的贝努次独立的贝努 利试验。又叫利试验。又叫贝努利试验序列贝努利试验序列。 贝努利试验序列特点 每次试验的结果只能是2个互相 对立结果中的一个。 n个观察单位的结果相互独立。 在相同条件下，每次试验结果 的概率不变。 二项分布（binomial distribution）是 指在n次Bernoulli试验中，当每次试验的“阳 性”概率保持不变时，出现“阳性”的次数X=0 ，1，2，n的概率分布。 即：贝努利实验序列中阳性数的概率分布。 一般用XB（n,）表示二项分布， n 是试验总次数，是试验结果为阳性的概率。 组合（Combination）:从n个元素中抽取x个元素组 成一组（不考虑其顺序）的组合方式个数记为 复习中学数学概念复习中学数学概念 概率计算的两个法则 乘法法则：n 个独立事件同时发生的概 率等于各独立事件概率的积。 P ( A 1 A 2 A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A n ) 加法法则：n个互不相容事件之和的概率 等于各事件概率的和。 P ( A 1 或 A 2 或 或 A n ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + + P ( A n ) 二项分布的定义二项分布的定义 二项分布是n次贝努利试验中发生某种结果 为x次的概率分布。 这种结果（事件A)出现的次数X是一个随机 变量，一般用XB（n,）表示二项分布， n 是试验总次数，是试验结果为阳性的概率 。 例：设小白鼠接受某种毒物一定剂量时。 其死亡率为80%，对于每只小白鼠来说，死 亡概率( )为0.8，生存概率（1 ）为 0.2。如果以甲乙丙三只小白鼠进行实验，分 析其死亡情况,结果见下表。（假设小白鼠为 同种属、同性别、体重接近、对该药物的敏 感性相同 ） 由于实验是逐只进行的，因此实验结果是相互独由于实验是逐只进行的，因此实验结果是相互独 立的，根据概率的立的，根据概率的乘法法则乘法法则，可以算出每种排列方式，可以算出每种排列方式 的概率，从而用的概率，从而用加法法则加法法则得到每种组合的概率。得到每种组合的概率。 现关心的是n次贝努利试验中发生某种结果(A)为 x次的概率,即二项分布的概率函数： 组合系数 3只白鼠各种试验结果及其发生概率 生存数 死亡数 排列 每种排 每种组合的概率 方式 列概率 3 0 (1- )3 2 1 X (1-)2 X (1-)2 X (1-)2 1 2 X X 2(1-) X X 2(1-) X X 2(1-) 0 3 X X X 3 p=1 二项分布下最多发生k例阳性的概率为发生0例 阳性、1例阳性、.、直至k例阳性的概率之和。 即： p(xk) =P(X=0)+P(X=1)+P(X=k) X=0X=0，1 1，2 2，k k ，n n 二项分布的累计概率 二项分布下至少发生k例阳性的概率为发生k 例阳性、k+1例阳性、.、直至n例阳性的概率 之和。即 p(xk) =p(x=k)+p(x=k+1)+p(x=n) X=kX=k，k+1k+1，k+2k+2， ，n n 二项分布下发生k1例及以上到k2 例阳性的概 率为发生k1例阳性、 k1+1例阳性、.、直至k2例 阳性的概率之和。即 p(k1 x k2) =p(x=k1)+x(x=k1+1)+x(x=k2) 二项分布的均数和标准差 二项分布的总体均数 X = n 二项分布的总体标准差为n(1- )的算术 平方根： 例5.3中，平均死亡数为为3*0.8=2.4(只) 标标准差为为： 按二项分布的概率函数可以绘出其分布图形。 图形特征 ：取决于n 和 。 二项分布的图形 (1)=0.5时分布对称，0.5分布偏态 (2)(2) 不接近不接近0 0或或1 1，n n较大时，一般地要较大时，一般地要 求求n5n5且且n(1-)5n(1-)5，二项分布趋近正态分，二项分布趋近正态分 布。布。 二项分布的特征为： 1. = 0.5时，图形对称； 2. 0.5，n 较小时，图形偏态； 3. 0.5，n 较大时，图形渐趋对称； 4. n 较大 ( 如 50 ) ，且 n 5 , n ( 1 ) 5 时，二项分布呈近似 正态分布。 二项分布的应用 二项分布主要用于符合二项分布的分类资 料的率的区间估计和假设检验。 医学领域有许多二分类记数资料符合二 项分布(传染病和遗传病除外)，但应用时仍 应注意考察是否满足应用条件： (1) 每次实验只有两类对立的结果； (2) n次事件相互独立； (3) 每次实验某类结果的发生概率是一个常 数。 二项分布的应用条件 进行统计推断时要知道样本率的分布： 若 X B ( n， )，则样本阳性率 p 的 概率分布为： 其中 样本率p的总体均数p = x/n = n /n= 样本率p的总体标准差（即率的标准误） 率的标准误的估计值 （一）正态近似法：用于n 50 或np5 ,且 n(1 p) 5，则 的（1 ）可信区间： （二）查表法：用于 n50， p很接近0和1 当阳性数X n/2 时,直接查附表3,见p263； 当阳性数Xn/2时,由阴性数(n X)查阴性率可 信区间，用(1 阴性率可信区间) ，可得阳性率 可信区间。 一、 总体率的可信区间估计 二、率的假设检验 （一）样本率与总体率比较 比较的目的是推断该样本所代表的未知总 体率与已知的总体率0是否相等。 （二）两样本率比较的u检验 比较的目的是推断该两样本率所代表的总 体率1与总体率2是否相等。 （一）样本率与总体率比较 1、直接计算概率法 当阳性数x较小时，可直接计算二项分布的累计概 率（单侧）进行单侧的假设检验。 例1 据以往经验，新生儿染色体异常率一般为 1%，某医院观察了当地400名新生儿，只有1例 异常，问该地新生儿染色体异常率是否低于一般 ？ H0: =0.01 H1: 0.05 不拒绝H0 例2 据报道，对输卵管结扎了的育龄妇女实 施壶腹部-壶腹部吻合术后，受孕率为0.55。 今对10名输卵管结扎了的育龄妇女实施峡部- 峡部吻合术，结果有9人受孕。问实施峡部- 峡部吻合术妇女的受孕率是否高于壶腹部-壶 腹部吻合术？ 显然，这是单侧检验的问题，检验假设为 H0：=0.55 H1：0.55 = 0.05 对这10名实施峡部-峡部吻合术的妇女，按 0.55的受孕率，若出现至少9人受孕的概率大 于0.05，则不拒绝H0；否则，接受H1。 本例n=10，=0.55，k=9。按公式（6-12） 有: 按=0.05水准，拒绝H0，接受H1，即认为 实施峡部-峡部吻合术妇女的受孕率要高于壶 腹部-壶腹部吻合术。 （一）样本率与总体率比较 2、正态近似法 （n较大） 当=0.5或n较大，n及n(1-)均大于5时 ，可用正态近似法进行样本率与总体率，两 个样本率比较的u检验。 例：根据以往经验，一般胃溃疡病患者有20% 发生胃出血症状，现某医院观察65岁以上溃疡 病人304例，有31.6%发生胃出血症状,问老年胃 溃疡病患者是否较容易出血? H0: =0.2 H1: 0.2 =0.05 u=5.062.58，则p50且 nipi 5, ni (1 pi)5 （二）两样本率比较的u检验 例：某山区小学男生80人，其中肺吸虫感染23人 ，感染率为28.75%,女生85人感染13人,感染率为 15.29%,问男女生的肺吸虫感染率有无差别? H0： 1=2 H1：12 =0.05 pc =(23+13)/(80+85)=0.2182 查u界值表得0.01p0.05，拒绝H0，接受H1， 而认为 第二节 Poisson分布及其应用 由法国统计学家Poisson在1837年提出， 也是常见的离散型分布，常用于研究单位时 间（或面积、容积）内某罕见事件的发生次 数的分布，又称为稀有事件定律。 由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布. Poisson分布（Poisson distribution ）作为二项分布的一种极限情况，已发 展成为描述小概率事件发生规律性的一 种重要分布。 Poisson分布是描述单位面积、体积、 时间、人群等内稀有事件（或罕见事件 ）发生数的分布。 稀有事件 Xf相对频对频 数理论频论频 数 01090.5450.544 1650.3250.331 2220.1100.101 330.0150.021 410.0050.003 Bortkiewice在1898年研究了10个骑兵队中被马 踢死的人的频数分布，共观察了20年，得到200个 数据。 医学研究中， 单位容积中大肠杆菌数 粉尘在单位容积的数目 放射性物质在单位时间内放射质点数 一定人群中患病率很低的非传染性疾病患 病数（或死亡数）的分布。 人群中出生缺陷、多胞胎、染色体异常等 事件的分布。 概率函数 在足够多的n次贝努利实验中，设随机变量 X可能的取值为0 , 1 , 2 , , 则取各值的概 率分布为： e为自然对数的底，e = 2.718