学年北师大版选修2-1第三章§44.1曲线与方程课件(36张.ppt

北师大版高中数学选修2-1 第三章圆锥曲线与方程 法门高中姚连省制作 1 为什么? 复习回顾: 我们们研究了直线线和圆圆的方程. 1.经过经过 点P(0,b)和斜率为k的直线l的方程为 _ 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线 方程是_ 3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为 _. x-y=0 、曲线与方程 2 点的横坐标与纵坐标相等 x=y（或x- y=0） 第一、三象限角平分线 含有关系： x-y=0 x y 0 （1）上点的坐标都是方程x-y=0的解 （2）以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 上 曲线 条件 方程 坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0 思考? 3 圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为: 思考? 4 (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线. 定义: 1.曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形. f(x,y)=0 0 x y 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看 作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系: 说明: 5 2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” ,阐 明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说 曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外. （纯粹性）. 3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐 明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏. （完备性） . 由曲线的方程的定义可知: 如果曲线C的方程是 f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0) 在曲线C 上的 充要条件 是f(x0, y0)=0 6 例1 :判断下列命题是否正确 解:(1)不正确，不具备(2)完备性，应为x=3, (2)不正确,不具备(1)纯粹性，应为y=1. (3)正确. (4)不正确,不具备(2)完备性,应为x=0(-3y0). (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程 为x=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为xy=1 (4) ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)， D为BC中点，则中线AD的方程x=0 7 例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数 k(k0)的点的轨迹方程是xy=k. M 8 9 第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解； 归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤 第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明 点 M (x0,y0)在曲线C上. 10 练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是 所列出的方程吗？为什么？ (1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折 线(如图(1)其方程为(x-y)(x+y)=0; (2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程 为x+ =0; (3)曲线C是, 象限内到x轴，y轴的距 离乘积为1的点集其方程为y= 。 1 0 x y -11 0 x y -11-22 1 0 x y -11-22 1 11 练习2:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个？ - =0 |x|-|y|=0 x-|y|=0 1 1O X Y 1 1O X Y 1 1O X Y -1 -1 1 1O X Y -1 ABCD 12 练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程 f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( ) A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲 线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 部 D 13 C 练习4:设圆M的方程为 ,直线l 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( ) A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上 练习5:已知方程 的曲线经过 点 ,则 m =_, n =_. 14 15 复习回顾复习回顾 2. 练习： (1) 设A(2,0)、B(0,2)， 能否说线段AB的方程为x+y-2=0? (2) 方程x2-y2=0表示的图形是_ 1.复习曲线的方程和方程的曲线的概念 3.证明已知曲线的方程的方法和步骤 、求曲线的方程求曲线的方程 16 上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的 曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助 于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某 种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标 （x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过 研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一 节，我们就来学习这一方法. “数形结合” 数学思想的 基础 17 1解析几何与坐标标法： 我们们把借助于坐标标系研究几何图图形的方法叫做坐标标 法. 在数学中，用坐标标法研究几何图图形的知识识形成了 一门门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法 研究几何问题问题 的一门门数学学科. 2平面解析几何研究的主要问题： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （ 2）通过方程，研究平面曲线的性质. 说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤. 18 . 由两点间间的距离公式，点M所适合条件可表示为为： 将上式两边边平方，整理得： x+2y7=0 我们证们证 明方程是线线段AB的垂直平 分线线的方程. （1）由求方程的过过程可知，垂直平 分线线上每一点的坐标标都是方程解； （2）设设点M1的坐标标（x1,y1）是方 程的解，即: x+2y17=0 x1=72y1 解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就 是点M属于集合 例2.设A、B两点的坐标是(1,1)，(3,7)， 求线段AB的垂直平分线的方程. 19 即点M1在线线段AB的垂直平分线线上. 由(1)、(2)可知方程是线线段AB的垂直平分线线的方 程. 点M1到A、B的距离分别是 20 由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方 程，一般有下面几个步骤： 说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相 同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况 ，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省 略步骤（2），直接列出曲线方程. (1)建系设点：建系设点：建立适当的坐标系建立适当的坐标系, ,用有序实数 对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标； (2)列式列式: :写出适合条件p的点M集合P=M|p(M) (3)代换代换: :用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化简化简: :化方程f(x,y)=0为最简形式； (5)审查审查: :说明以化简后的方程的解为坐标的点 都在曲线上. 21 例3.已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l 的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每 一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立 适当的坐标系，求这条曲线的方程. 取直线l为x轴,过点F且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy, 解： 2)列式 3）代换 4)化简 5）审查 1）建系设点 因为为曲线线在x轴轴的上方，所以y0, 所以曲线线的方程 是 设点M(x,y)是曲线上任意一点， MBx轴，垂足是B， 22 通过上述两个例题了解坐标法的解题方法， 明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础 ；同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出 等式，是求曲线方程的重要环节，在这里常用 到一些基本公式，如两点间距离公式两点间距离公式，点到直点到直 线的距离公式线的距离公式，直线的斜率公式直线的斜率公式，中点公式中点公式等 ，因此先要了解上述知识，必要时作适当复习. 23 2.1.2 2.1.2 求曲线的方程求曲线的方程 （2 2） 24 求曲线（图形）的方程步骤： 说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相 同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况 ，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省 略步骤（2），直接列出曲线方程. (1)建系设点：建系设点：建立适当的坐标系建立适当的坐标系, ,用有序实数 对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标； (2)列式列式: :写出适合条件p的点M集合P=M|p(M) (3)代换代换: :用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化简化简: :化方程f(x,y)=0为最简形式； (5)审查审查: :说明以化简后的方程的解为坐标的点 都在曲线上. 复习回顾复习回顾 25 解 : 练习 1. 2. B 26 B 3. 4.到F(2，0)和y轴的距离相等的动点的轨迹方 程是_ 解:设动点为(x，y)，则由题设得 化简得:y2=4(x-1) 这就是所求的轨迹方程 . y2=4(x-1) 27 5. 在三角形ABC中，若|BC|=4，BC边上的 中线AD的长为3，求点A的轨迹方程. 设A(x，y)，又D(0，0)，所以 化简得 :x2+y2=9 (y0) 这就是所求的轨迹方程. 解:取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线 为y轴，建立直角坐标系. 28 1.直接法: 求轨迹方程最基本的方法, 直接通过 建立x, y之间的关系, 构成 F(x, y)=0 即可. 直接法 定义法 代入法 参数法 求轨迹方程的常见方法: 3.代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法. 即利用动点P(x,y)是定曲线F(x,y)=0上的动点, 另一动点P(x，y)依赖于P(x,y)，那么可寻求 关系式x=f(x,y),y=g(x,y)后代入方程F(x,y)=0 中，得到动点P的轨迹方程. 2.定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种 已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程。 29 已知ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲 线y=3x2-1上移动,求ABC的重心的轨迹方程. 30 4.参数法: 选取适当的参数,分别用参数表示动点 坐标x,y,得出轨迹的参数方程，消去参数，即得 其普通方程。 例:已知点C的坐标是（2，2），过点C的直线 CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的 直线与y轴交于点B ，设点M是线段AB的中点 ，求点M的轨迹方程。