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从古典几何到现代几何从古典几何到现代几何 刘建成 教授 西北师范大学 数信学院 2009.4.20 几何原本 n在差不多一百年前，几何就是欧几里 得。他在公元前三百年左右写了一部 大书，中文叫做几何原本。 n事实上在当时的社会，几何并不被大 家所注意，所以像欧几里得这样伟大 的人，我们也不大知道他的生平。 n这本书是人类文化史上一部非常伟大 、有意义的著作，它的主要结论有两 个： 几何原本的主要结论 毕达哥拉斯定理(勾股定理)：有一直角三角形 ABC，则长边的平方会等于其它两边的平方和 。由几何方面来说，如果我们在三边上各作一 个正方形，那么两个小正方形的面积和就会等 于大正方形的面积。 内角和定理：三角形三内角 之和等于 180，如果以弧 度(radian) 为单位，也可以 说三角形三内角之和等于 n后人称颂毕达哥拉斯定理，说它 是平面几何中最重要的定理。迄 今为止，在任何有意义的几何空 间中，都要求这条定理在无穷小 的情形下成立。 n三角形内角和为180，本质上是 说平面是平坦不具有弯曲的。 Legendre首先指出它等价于下面 所给出的命题： Legendre 毕达哥拉斯 欧氏几何对后世的影响 内角和定理的等价命题 一直线与其它二直线相交后，假设其同侧 二内角和少于二直角，则沿此侧面延长此二直 线，它们必会在某处相交。 欧氏第五公设 另一个简单的说法是：假使有一直线和线外 一点，那么通过那个点就刚刚好只有一条直线和 原来的直线平行（平行者，就是这两条直线不相 交） 这个说法即欧氏第五公设。 第五公设证明的失败 n这个平行公理在所有公理之中是最不明显的， 所以数学家或是对数学有兴趣的人便想从其它 的公理去推得平行公理。 n而这努力延持了两千年左右，后来证明这是不 可能的，于是有了非欧几何学的发现，这在人 类思想史上是非常特别、有意思的事实。 下面是一些尝试去用欧氏其它公理去证明第 五公理的人： nPtolemy (168) nProlos (410-485) nNasir al din al Tusi (1300) nLevi ben Gerson (1288-1344) nCataldi (1548-1626) nGiovanni Alfonso Borelli (1608-1679) nGiordano Vitale (1633-1711) nJohn Wallis (1616-1703) nGerolamo Saccheri (1667-1733) nJohann Heinrich Lambert (1728-1777) nAdrien Marie Legendre (1752- 1833) Lambert Ptolemy Borelli 第五公设证明的失败 最后，高斯、Bolyai和罗巴 切夫斯基不约而同地发明了双曲 几何曲率为负常数的二维曲面 。故老相传，高斯曾测量在Harz 山脉中由Inselberg、Brocken和 Hoher三地形成的三角形，看看 其内角和是否等于180。 高斯 Bolyai 羅巴切夫斯基 双曲几何 克莱茵（F. Klein）创造了一种 解析的方法，通过赋与在单位圆盘 上任意两点的某种距离，给出双曲 几何的一个模型。后人称之为Klein 模型。至此，人们终于证明了欧氏 第五公理不可以由其它公理推导出 来。 双曲几何给出第一个抽象而与欧 氏不一样的空间，影响到黎曼的工 作。 Klein Model和非欧几何的诞生 球面几何 n球面几何：球面上当然没有“直线”，取而代之 的是“大圆” - 球面上以球心为圆心的的圆 。“线段”则是大圆的圆弧。过球上任意不是对 径点的两点，都有唯一的大圆把它们连起来。 类似的，我们还可以定义两条大圆弧的夹角为 相应切线的夹角。遗憾的是，由于任意两个大 圆都有两个交点，球面几何并不在欧氏几何的 体系内。 球面几何 n球面几何：球面几何所讨论的三角形是一个球面 三角形，在这个情形下，三角形三内角之和会大 于 180，并且有一个非常重要的公式： n球面几何是非常有用的几何， 天上（天文），地上（地理） 都用得着它。要是没有球面 几何学，大航海时代恐怕很 难到来，谁让地球是圆的呢？ 球面三角形效果图 双曲几何、非欧几何 n双曲几何 ：在这个情形下，三角形三内角之和 是小于 180的，即有如下的重要公式： n非欧几何：球面几何 与双曲几何 统称为 非欧几何。 内角和公式的解释 n 代表非欧几何的一个绝对的度量，表示弯曲 程度，叫曲率。 n因此有曲率的观念跑到这样一个简单的公式里。 这在数学或物理上是一个重要发展，因为爱因斯 坦的相对论中，曲率 代表一个场的力， 所以几何度量和物理度量便完全一样。 内角和公式的解释 n球面几何中曲率是正的，双曲几何中曲率是负 的。而其相对应的三角形三内角和，也分别有 大于或小于 180之情形，不再满足欧几里得的 平行公理。 n从这些公式可以看出，三角形的面积越小，它 越像欧氏几何。 n今天的我们知道，之所谓我们感觉自己生活在 欧氏空间里，是因为我们生活的尺度和宇宙比 起来太小太小了 。 非欧几何一度被视为“幽灵” n科学史上每次出现新生事物总有个被误解然后慢慢被承 认的过程。 n牛顿的无穷小量也好，虚数也好，都在很长的时间里被 人们视为“幽灵”。 n罗巴切夫斯基发现了新的几何后，自己也觉得这个东西 实在太古怪。他把这种几何称为“想象的几何”。 n要人们接受这种想象的几何实在不容易。 n罗巴切夫斯基试图将双曲几何和人们熟悉的球面几何联 系起来，说服人们双曲几何只是球面几何的一个兄弟。 他的想法是正确的，但他并未完全成功。 高斯发现三角形内角和减去180 后与曲率和三角形面积的乘积相等， 高斯把这个性质推广成为一条有关曲 率的积分方式。高斯-Bonnet公式 在现代几何和拓扑学中非常重要。陈 省身先生将它推广到高维空间，而最 后发展成陈氏类，这个发展为近代时 空创造了宏观的看法。在近代的弦学 中，时空的质子数目与陈氏类有关。 陈省身 陈氏示性类 要等到费马（1629）和笛卡儿（ 1637）引入坐标系统后，人们才能用 代数的方式来表示运动轨迹。 笛卡儿（1596 - 1650）： 我已铁定了心，扬弃抽象的几何学， 它探讨的问题，除了能够锻炼头脑外， 就没有什么用处。代而之我要研究那些 以解释大自然现象为目标的几何。 “I have resolved to quit only abstract geometry, that is to say, the consideration of questions which serve only to exercise the mind, and this, in order to study another kind of geometry, which has for its object the explanation of the phenomena of nature.” 費馬 解析几何 笛卡兒 解析几何 欧几里得几何之后，第二个重要的发展是坐 标几何。这是法国哲学家、数学家笛卡儿（ 15961650年），对于研究几何，引进了坐 标的概念，因此可用解析的方法来处理几何的问 题。坐标就是说：假使在 X-Y 平面上，有两个 轴：X 轴和 Y 轴，那么一个点的两个 X、Y 坐 标，就分别以如下图中的两个相对应的度量来表 示: 解析几何 解析几何的理论价值 这样的发展不但使几何问题的处理容易些，更有 其重大的意义： p解析之后，使可研究的图形的范围扩大，除了直 线的一次方程式，或者圆周的二次方程式，我们 还可以取任意的方程式 f(x,y)=0，讨论所有点 它的坐标 (x,y) 适合这样方程式的轨迹。因此许 多用几何的方法很难处理的曲线，在解析化之后 ，都可从表示它的方程式中得到有关的几何性质 。 解析几何的理论价值 p研究的图形不再局限在二维的平面上，可推广至 高维的空间。世界上的事情，如果只用二维的平 面，往往不足以表示，需要取更多的坐标。 p例如我们所在的空间是三维，有 x、y、z 三个度 量。假使要用几何来表示物理的问题，那么三个 度量之外，尚须加一个时间 t，所以物理的空间 就变成了四维的空间； 解析几何的理论价值 p不但如此，假使有一点在三维空间运动，那么除 了需要 (x,y,z) 来表示点的位置，还需要这三坐 标对时间的微分来表示它的速率，即 这就成了六维空间。所以种种的情形都指示我们 有必要考虑更高维的空间，来表示自然的现象。 解析几何的理论价值 p解析几何把几何研究的范围大大地扩大了，而科 学发展的基本现象，就是要扩大研究的范围，了 解更多的情形。笛卡儿的解析几何，便达到了这 个目的，使几何学迈入一个新的阶段。 p笛卡儿发明了解析几何，可说是几何学上的一大 突破。他引进坐标系统来描述几何图形，几何和 代数因此结合起来了。坐标系统让我们绕过欧氏 公理来研究几何图形，它也领导我们进入了高维 空间。 在笛卡儿的坐标系统中，直线是由线性函数 定义的，而圆锥截面则由二次函数决定。利用这 种代数的方式，刻卜勒的行星运动定律就变得一 清二楚了。 刻卜勒第二定律 解析几何的应用 利用解析几何和微积分， 牛顿及其它天文学家对天体 的运动进行了巨细无遗的计 算。天体的运动是透过欧氏 空间的整体坐标系统来描述 的，在那里空间是静止的， 而时间则独立于空间之外。 太阳系鸟瞰 牛顿 (Newton) (1642 1727) 牛顿宣称他的时空是绝对的 、静止的。它为宇宙提供一个刚 性的、永恒不变的舞台。 对内对外而言，绝对空间 都是相似及不动的。 “Absolute space, in its own nature and with regard to anything external, always remains similar and unmovable.” 牛顿利用一个旋转水桶的实验， 来说明绝对空间的存在性，而惯性坐 标便是在绝对空间中静止的坐标。 绝对空间 丰富的研究工具丰富的研究工具 l微积分的诞生解决了弯曲对象的计算问题，如 曲线的弧长、曲面域的面积、几何体的体积等 ； l代数学的进展使得几何对象能用精确的代数语 言来重新描述； l微分方程的进展使得几何中最基本的存在性问 题得以解决; l计算机技术的更新使得几何对象得以直观再现 l丰富的数学语言使问题的描述更为方便、精确 微分几何学的起步微分几何学的起步 l解析几何学中用来处理二次曲线和二次曲 面的初等代数学方法仍然不能处理一般曲一般曲 线和一般曲面线和一般曲面; l随着微积分的发展,分析学进入几何学， 可以利用微积分微积分来揭示空间更一般的曲线 和曲面的几何性质,这就形成了三维空间 中曲线和曲面的微分几何学微分几何学 ( ( 经典微分几经典微分几 何何) )； l主要包括曲线论曲线论和曲面论曲面论两部分内容： 微分几何学微分几何学 - - 曲线论曲线论 曲线论：表现为如下两个方面的内容： 描写它的弧长（曲线上两点之间的距离） 、曲率（反映曲线的弯曲程度）和挠率（ 描写曲线的扭曲程度），这三个两刻画了 曲线的形状和大小； 两条曲线能够在一个刚体运动下彼此重合 的充要条件是它们的弧长相等，并且曲率 和挠率作为弧长的函数也对应地相同。 因此，弧长、曲率和挠率构成了空间曲线 的完全不变量系统。 微分几何学微分几何学- - 曲面论曲面论 曲面论：与曲线相比较，情况比较复杂： 将曲面上两个无限邻近点之间的距离表示成 通常称为曲面的度量形式（或第一基本形式），它可以 用来描写曲面上曲线的弧长、两个方向之间的夹角、曲 面域的面积 将到邻近点的切平面之间的距离表示成 通常称为曲面的第二基本形式，由它结合第一基本形式 可以用来描述曲面的弯曲。 第一和第二基本形式构成曲面的完全不变量系统 Euler Euler MongeMonge Gauss Gauss l对微分几何做出过杰出 贡献的数学家有Euler 和Monge,他们的工作 是如何描写和刻画曲面 l对微分几何做出划时代 贡献的当推德国数学家 Gauss 高斯对经典微分几何学的贡献高斯对经典微分几何学的贡献 Gauss的主要贡献表现在以下三个方面： l证明了第一和第二基本形式不是彼此独立的； l曲面的许多弯曲性质完全由度量形式决定；特 别Gauss曲率是内蕴几何量（高斯绝妙定理 ） l阐明了非欧几何与欧氏几何的实质区别在于空 间具有不同的度量形式，从而具有不同的弯曲 性质。欧氏空间是平直的，而非欧空间是负常 弯曲的； 高斯把他的绝妙定理写入曲面通论一书 中。他指出必须把曲面的内在性质，即身处曲 面内扁小甲虫所经验的属性，与其外在的，即 依赖于曲面如何置于空间的性质区分开来，而 只有内在性质，才值得几何学家焚膏继晷， 兀兀穷年地上下求索(most worthy of being diligently explored by geometers)。 后世称研究这些性质的学问为内蕴几何。如测 地线、曲面上三角形的内角和、平行移动等概 念； 内蕴几何内蕴几何 从球面剪取一片曲面，其高斯曲率为正 常数。反过来说，局部而言，任何具正常 曲率的曲面都是球面的一部分。 类似地，从双曲曲面剪取的一片，其高 斯曲率恒等于负一，而反过来说曲率等于 负一的曲面与双面曲面局部相等。双曲曲 面曾在讨论欧氏第五公设时论及。 高斯曲率高斯曲率决决定曲面的定曲面的内蕴几何内蕴几何 高斯显然因他的定理兴奋不已。但他并 没有认为人们对空间已认识透彻。 高斯：我愈来愈相信，人类的理性并 不能证明或理解几何的必要性。也许后世 能对空间的本质有新的洞见，但目前这却 是不可能的事。 “I am becoming more and more convincing that the necessity of our geometry cannot be proved, at least not by human reason nor for human reason. Perhaps in another life we will be able to obtain insight into the nature of space which is now unattainable.” 高斯高斯对几何对几何的深思的深思 高斯： 当下我们不能把几何与本质是先验的算 术相提并论，只适宜将它与力学并列。 “Until then we must place geometry not in the same class with arithmetic which is purely a priori, but with mechanics.” 物理物理学学的的影响影响 n高斯研究的是二维曲面内的几何。高 维流形的内蕴几何是由黎曼提出的。 n黎曼在他的教授就职演说建构几何 学的假设中，利用尺度的无限小形 式，引入了抽象空间。在那里高斯曲 率有了明确的涵义。 n这是一个重要的时刻，人们终于摆脱 了平坦的欧氏（线性）空间，而成功 创造一个自我生存的内蕴空间了 。 黎曼 抽象空间（现代几何学的诞生） 黎曼在1852年的就职演说 第一位创建广义的新几何学体系的数学 家是黎曼.他必须通过就职演讲，才能担任 无报酬的哥廷根大学的讲师职位.他提交了 三个题目由教授会选择，他希望他们选中 前两个中的一个，这是他已经准备好了的. 但是他轻率地提出的第三个题目正是高斯 仔细考虑了60年或更长时间的问题几 何基础，而这个题目他没有准备.使黎曼大 吃一惊的是，高斯指定第三个题目. 黎曼在1852年的就职演说 “所以我又处在绝境中了，”他给父亲写 信说，“因为我不得不作出这个题目.我恢 复了对电、磁、光和引力的研究，我已经 进行到可能没有丝毫怀疑地发表它.我越来 越相信高斯已经在这个题目上工作了许多 年，并对一些朋友谈到过它.” 黎曼在1852年的就职演说 黎曼的就职演讲（1854年6月10日）得到热 情接受.这篇演讲无论就数学还是就文笔来说，都 是杰作.它改革了几何学的研究,并且被认为是整 个数学史上篇幅最短，内容最丰富的文章.在演讲 的结尾，他说， “这样一种研究的价值也许在于能使我们从先 入之见中解放出来，需要用某种不同于欧几里得 几何学的几何学来研究物理定律的日子必将到来 .” 这些预见在他死后五十年，由于爱因斯坦的广义 相对论而实现了. 就职演说的贡献 n对黎曼的简单扼要的论文的任何解释，都 不能说明这篇论文的全部内涵.有三点最基 本的贡献需要指出.这就是流形的概念，度 量的定义和流形的曲率的概念. n将高斯关于欧氏空间中曲面的内蕴几何推 广成任意空间的内蕴几何。他把 n 维空间 称作一个流形， n 维流形中的一个点，可 用n 个参数x1 , x2 , , x n 的一组特定数 值来表示，称作流形的坐标。 就职演说的贡献 n 定义流形中的两点距离（即度量），假定这微小 距离的平方是一个二次微分齐次 n 由度量定义流形的曲率， 常见三种曲率空间： （1）曲率为正常数；（黎曼几何空间） （2）曲率为负常数；（罗氏几何空间） （3）曲率恒等于零。（欧氏几何空间） 黎曼的新发现从根本上改变了数 学家对几何的看法。从此以后，几 何学家研究的空间不再依赖于欧氏 空间，我们可以独立地讨论抽象空 间的几何了（即黎曼几何）。他的 后继者Christoffel、Ricci、Levi- Civita和Beltrami开拓了流形上的微 积分和张量分析等研究。不过对绝 大多数人而言，这些高维抽象空间 要不是枯燥无味，就是跟大自然风 马牛不相及。 Christoffel Ricci Beltrami 黎曼几何 黎曼几何学与广义相对论 n 真正使黎曼几何受到重视的是爱因斯坦的广义相 对论。 n 大致说起来，爱因斯坦的广义相对论是要把物理 几何化，也就是说把物理的性质变为几何的性质 ，因此黎曼几何就成为物理学家一定要念的一门 数学。 n 到了黎曼空间一样有曲率的概念，只是因为黎曼 空间是高维的，所以它的曲率概念就变得相当复 杂。 n 在爱因斯坦的广义相对论中的基本公式里，大致 说起来，物理的力是一个曲率；数学家讲曲率和 物理学家讲力、位势 (potential)、速度，是完全 可以把它们连在一起的。 联络、矢量丛、规范场论 o在黎曼几何中，Levi-Civita 平行性是一 个重要的观念。 oLevi-Civita 以为在伪黎曼几何（广义相 对论里的其中一种，称为劳伦兹几何）都有 一个很基本的性质，那就是平行性；在这个 时候，空间不再是只用一个坐标系表示的空 间，而是需要很多不同的坐标系才能表现的 流形(manifold)，这样又把几何研究 的空间推广了。 联络、矢量丛、规范场论 o陈省身常有个比喻，如果我们把几何空间的推 广和人类穿衣服的过程相对照， o那么一开始的欧几里得几何，便好比人在原始 社会中没有穿衣服，是裸体的；然后笛卡儿把 坐标的概念加入了赤裸的空间，就好比人 类开始穿衣服；而到了流形的阶段，就好比现 代人，不只穿一件衣服，还要常常换。 o也许有些人不太能接受这样奇装异服式的 换坐标，但是没有关系，爱因斯坦花了七年的 时间，才终于接受坐标可以转换的概念，而能 从狭义相对论进展到广义相对论。 联络、矢量丛、规范场论 o空间中有不同的坐标系，那么麻烦就来了， 因为几何的性质便和坐标系的选取有关了， 不过不要紧，只要我们能控制坐标变换的性 质，使在变换前既有的性质，经过变换之后 仍为我们所控制，那么换坐标就没关系了， 这是近代几何学比较困难的地方。 联络、矢量丛、规范场论 o用以表示流形的坐标系是任意的，因此可能是 非线性的坐标，在处理上就变得比较困难; o但是我们可以取线性的空间去逼近流形。换句 话说，虽然流形本身是非线性的，但在流形上 的一点，都有一个和普通空间一样的线性空间 ，即切空间。 o这些切空间之间原本是没有关系的，而 Levi- Civita 平行性就是要建立二点之间的切空间的 关系；之后，微分几何学家发现，这个平行性 是非常基本的性质。 联络、矢量丛、规范场论 o又因为拓扑学 (topology) 的发展，我们把这 个观念推广了，不一定要谈切空间，任意一个 空间都可以。 o于是就有矢量丛 (vector bundles) 和联络 (connections) 的观念。 o也就是说流形的切空间差不多是平的，但是矢 量丛却可以是一个竖起来的空间，任何的矢量 空间都可以。 o从黎曼几何推广到有联络的矢量丛，这也就是 物理上规范场论 (gauge field) 的数学基础 。 o法国数学家加当（E.Cartan 1869- 1951）于1923年提出了一般联络的理论 ，是纤维丛概念的发端，加当还是利用外 微分形式和活动标形法的首创者。 o美国数学家莫尔斯（Morse 1892- 1977 ）于1934年创建了大范围变分学 理论，为微分几何提供了有效的工具。 现代微分几何 o美籍华裔数学家陈省身（1911-2005） 建立了代数拓扑和微分几何的联系，又是 纤维丛概念的创建人之一，对推进整体微 分几何学的发展做出了重大贡献。国际上 公认，陈省身是现代微分几何的奠基者， 加当的继承人。 现代微分几何 陈省身： “我为我们说不清楚它（指现代微分几何） 是什么而高兴，我希望它不要象其它数学 分支那样被公理化，保持着它把局部和整 体相结合的精神，它在今后长时期中仍将 是一片肥沃的疆域。” 结束语结束语 与几何有关的与几何有关的FieldsFields奖奖 与几何有关的与几何有关的FieldsFields奖奖 与几何有关的与几何有关的FieldsFields奖奖 n1924年在加拿大多伦多举行的国际数学家会议 ，决定每四年一度的国际数学家会议将颁发两 枚金牌给对数学界有突出贡献和成就的人物， 而当届的秘书加拿大数学家、教育家J.C. 菲尔兹（Fields）捐了一笔钱作为这个奖项 的基金，所以便以他的名字作为这个奖项的名 称