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习题11-4 1. 求函数f(x)=cos x的泰勒级数, 并验证它在整个数轴上收敛于这函数. 解 (n=1, 2, ), (n=1, 2, ),从而得f(x)在x0处的泰勒公式 . 因为(0q1), 而级数总是收敛的, 故, 从而. 因此 , x(-, +). 2. 将下列函数展开成x的幂级数, 并求展开式成立的区间: (1); 解 因为 , x(-, +), 所以 , x(-, +),故 , x(-, +). (2)ln(a+x)(a0); 解 因为, (-1x1), 所以 (-axa). (3)ax; 解 因为, x(-, +), 所以 , x(-, +), (4)sin2x; 解 因为, , x(-, +),所以 x(-, +). (5)(1+x)ln(1+x); 解 因为 (-1x1),所以 (-1x1). (6). 解 因为(-1x1), 所以 (-1x1). 3. 将下列函数展开成(x-1)的幂级数, 并求展开式成立的区间: (1); 解 因为 . 所以 , 即 . 上术级数当x=0和x=2时都是收敛的, 所以展开式成立的区间是0, 2. (2)lg x. 解 , 即 . 4. 将函数f(x)=cos x展开成的幂级数. 解 . 5. 将函数展开成(x-3)的幂级数. 解 , 即 . 6. 将函数展开成(x+
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