总复习-走向清华北大--45点直线平面.ppt

第1页 * 第四十五讲 空间点直线平面之间的位置关系 第2页 * 回归课本 第3页 * 1.平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在 这个平面内. 公理2:过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 注意: 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只 有一条过该点的公共直线. 第4页 * 注意: 用途 公理1证证明点在平面内 证证明直线线在平面内 公理2确定平面的条件 证证明有关点、线线共面问题问题 公理3确定两个平面的交线线 证证明三点共线线或三线线共点 第5页 * 2.空间直线与直线的位置关系 (1)位置关系: 共面与否 公共点个数 第6页 * (2)公理4(平行公理):平行于同一直线的两条直线互相平行. (3)公理5:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个 角相等或互补. 第7页 * (4)异面直线的夹角: 定义:已知两条异面直线a、b经过空间任意一点O作直线 aa,bb,我们把两相交直线a,b所成的锐角(或直角)叫 做异面直线a、b所成的角(或夹角). 范围: 特别地:如果两异面直线所成的角是90,我们就称这两条直线 互相垂直,记作ab. 第8页 * 3.空间中的直线与平面的位置关系 第9页 * 4.平面与平面的位置关系有两种 第10页 * 注意:符合语言:(1)点与线:Al,Al. (2)点与面:A,A. (3)线与线:l1l2,l1l2=O,l1与l2异面. (4)线与面:l,l(l=A,或l). (5)面与面:,=l. 第11页 * 考点陪练 第12页 * 1.下列命题中正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.两条直线确定一个平面 C.两两相交的三条直线一定在同一平面内 D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内 解析:A、B、C均不满足公理2及其推论,故D正确. 答案:D 第13页 * 2.若A表示点,a表示直线,、表示平面,则下列表述中,错误 的是( ) A.a,AaA B.a,AaA C.A,A,=aAa D.Aa,Aa 第14页 * 解析:a的含义是a上所有点都在平面上,故A正确;反之直 线a上有一点不在上,就说明a,故D正确,但是a并不 代表所有点都不在上,故B错误.C就是公理3,故C正确. 答案:B 第15页 * 3.给出下面四个命题: 如果直线ac,bc,那么a,b可以确定一个平面; 如果直线a和b都与直线c相交,那么a,b可以确定一个平面; 如果ac,bc,那么a,b可以确定一个平面; 直线a过平面内一点与平面外一点,直线b在平面内不过 该点,那么a和b是异面直线. 第16页 * 上述命题中,真命题的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:中,由公理4知,ab,故正确;中,a,b可能异面,故 错误;中,a,b可能异面,故错误;正确. 答案:B 第17页 * 4.在正方体ABCDABCD中,EF分别为棱AACC的中 点,则在空间中与三条直线ADEFCD都相交的直线( ) A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条 第18页 * 解析:在AD延长线上取一点H,使AD=DH,在DC延长线上取 一点G, 使CG=2DC,连接HG与EF交于一点,延长DC. 连接DF必与DC延长线相交,延长DA,连接DE必与DA延长 线相交. 连接AC与EF交于EF中点,故选D. 答案:D 第19页 * 5.三条直线两两垂直,那么在下列四个结论中,正确的结论共有 ( ) 这三条直线必共点;其中必有两条是异面直线;三条直 线不可能共面;其中必有两条在同一平面内 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 第20页 * 解析:(1)三条直线两两垂直时,它们可能共点(如正方体同一个 顶点上的三条棱),也可能不共点(如正方体ABCD A1B1C1D1中的棱AA1,AB,BC),故结论不正确,也说明必 有结论不正确;如果三条直线在同一个平面内,根据平面 几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行,就导出了其 中两条直线既平行又垂直的矛盾结论,故三条直线不可能 在同一个平面内,结论正确; 第21页 * 三条直线两两垂直,这三条直线可能任何两条都不相交,即任 意两条都异面(如正方体ABCDA1B1C1D1中的棱AA1,BC 和C1D1),故结论不正确.故选D. 答案:D 第22页 * 类型一点共线问题 解题准备:证明共线问题的常用方法 (1)可由两点连一条直线,再验证其他各点均在这条直线上; (2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上相交两平 面的唯一交线,关键是通过绘出图形,作出两个适当的平面 或辅助平面,证明这些点是这两个平面的公共点. 第23页 * 【典例1】 已知正方体ABCDA1B1C1D1中,EF分别为 D1C1C1B1的中点,ACBD=P,A1C1EF=Q.求证: (1)DBFE四点共面; (2)若A1C交平面DBFE于R点,则PQR三点共线. 第24页 * 解 (1)如图所示,因为EF是D1B1C1的中位线, 所以EFB1D1. 在正方体AC1中,B1D1BD, 所以EFBD. 所以EF,BD确定一个平面, 即DBFE四点共面. 第25页 * (2)在正方体AC1中,设A1ACC1确定的平面为,又设平面 BDEF为. 因为QA1C1,所以Q, 又QEF,所以Q.则Q是与的公共点, 同理,P点也是与的公共点. 所以=PQ. 又A1C=R, 所以RA1C,R且R, 则RPQ,故PQR三点共线. 第26页 * 类型二线共点问题 解题准备:证明共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交 于一点,再证交点在第三条直线上,有时也可将问题转化为 证明三点共线. 第27页 * 【典例2】 如图所示,已知正方体ABCDA1B1C1D1中,EF 分别为棱AB,AA1的中点. 求证:三条直线DA,CE,D1F交于一点. 第28页 * 证明 直线DA平面AD1,直线D1F平面AD1,显然直线DA 与直线D1F不平行,设直线DA与直线D1F交于点M. 同样,直线DA与直线CE都在平面AC内且不平行,设直线AD与 直线CE相交于点M. 又EF为棱ABAA1的中点,易知MA=AD,MA=AD,所以M M为直线AD上的同一点, 因此,三条直线DACED1F交于一点. 第29页 * 反思感悟 设直线DA与直线D1F交于点M,直线DA与直线 CE交于M,再证明M,M重合. 证明三线共点,可以先说明其中两条交于一点M,另两条交于一 点N,再想法证明M,N两点重合.另一种方法是:先证明其中 两条直线交于一点,再证明这个点在第三条直线上.如本题 可先说明直线CE和直线D1F共面且交于一点P,而点P既在 平面AD1内,也在平面AC内,所以点P在它们的交线AD上. 第30页 * 类型三线共面问题 解题准备:证明共面问题的常用方法 证明若干条线(或若干个点)共面,一般来说有两种途径:一是首 先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证明 其余的线(或点)均在这个平面内;二是将所有元素分为几个 部分,然后分别确定几个平面,再证这些平面重合. 第31页 * 【典例3】 已知:a,b,c,d是不共点且两两相交的四条直线,求 证:a,b,c,d共面. 证明 弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义:四条直线 不共点,包括有三条直线共点的情况;两两相交是指任何两 条直线都相交. 第32页 * (1)当四条直线中有三条相交于一点时,不妨设a,b,c相交于一 点A, 直线d和A确定一个平面.(如右图) 又设直线d与a,b,c分别相交于E,F,G, 则A,E,F,G,A,E,A,Ea,a. 同理可证b,c, a,b,c,d在同一平面内. 第33页 * (2)当四条直线中任何三条都不共点时,如右图. 这四条直线两两相交, 则设相交直线a,b确定一个平面. 设直线c与a,b分别交于点H,K,则H,K. 又H,Kc,c.同理可证d. a,b,c,d四条直线在同一平面内. 第34页 * 反思感悟 证明若干条线(或若干个点)共面,一般来说有两 种途径:一是首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平 面,然后再证明其余的线(或点)均在这个平面 内;二是将所有元素分为几个部分,然后分别确定几个平面,再 证这些平面重合.本题最容易忽视“三线共点”这一种情况. 因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话的含义. 第35页 * 类型四异面直线所成的角 解题准备:1.求异面直线所成的角,关键是将其中一条直线平 移到某个位置使其与另一条直线相交,或将两条直线同时 平移到某个位置,使其相交.平移直线的方法有:直线平移 ,中位线平移,补形平移. 2.求异面直线所成的角的一般步骤:一作:即据定义作平行线, 作出异面直线所成的角;二证:即证明作出的角是异面直线 所成的角;三求:在三角形中求得直线所成的角的某个三角 函数值. 第36页 * 【典例4】 在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC= ,且 ADBC,对角线 求AC和BD所成的角. 第37页 * 解 作平行线,找与异面直线所成的角相等的平面角,将空间 问题转化为平面问题. 如图,分别取ADCDABBD的中点EFGH,连接EFFH HGGEGF. 第38页 * 由三角形的中位线定理知,EFAC,且EF= ,GEBD,且 GE= .GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成 的角. 同理, GHAD,HFBC. 又ADBC,GHF=90, GF2=GH2+HF2=1. 第39页 * 在EFG中EG2+EF2=1=GF2, GEF=90,即AC和BD所成的角为90. 第40页 * 反思感悟 立体几何中,计算问题的一般步骤:(1)作图;(2)证 明;(3)计算.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移 的解法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用 特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算 异面直线所成的角通常放在三角形中进行. 第41页 * 错源一基本性质理解不到位 【典例1】 下列说法正确的有( ) (1)在凹凸不平的地面上使用四条腿的凳子比三条腿的凳子更 平稳; (2)两个平面有可能只有一个公共点; (3)如果有n条直线都平行于某一条直线,那么这n+1条直线一 定互相平行. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 第42页 * 剖析 错解对于基本性质理解不到位.在凹凸不平的地面上 使用凳子是否平稳并不取决于凳子腿个数的多少,由基本 性质2可知,三条腿的凳子更平稳;两个平面不可能只有一个 公共点,由基本性质3可知,如果两个平面有一个公共点,那 么它们有且仅有一条通过这个公共点的公共直线,也就是 说,如果两个平面有一个公共点,则它们一定有无数个公共 点;由基本性质4可知,如果有n条直线都平行于某一条直线, 那么这n+1条直线一定互相平行. 正解 B 第43页 * 错源二 对基本性质及其推论的使用条件不当而致误 【典例2】 如图,已知直线a,b,c,ab,ac=A,bc=B,求证 :a,b,c三条直线共面. 错证 因为ab,所以a,b共面, 因为ac=A,所以a,c共面, 因为bc=B,所以b,c共面. 所以a,b,c三条直线共面. 第44页 * 剖析 上述“证明”中出现了三次共面,设为1,2,3,由于无 法得知1,2,3是否为同一平面,因此,不能说a,b,c三条直 线共面. 证明 因为ab,所以a,b可确定一个平面,设为. 因为c=A,所以Aa,又a,所以A,同理B,故 AB,即c. 于是a,b,c在同一平面内,即a,b,c三条直线共面. 第45页 * 技法一快速解题(动手操作) 【典例1】 已知直线a与直线b相交于点P,a与b夹角(交角中 不大于90的角)为60,试问空间中过点P的所有直线中: (1)与直线a、b夹角均为10的直线有_条; (2)与直线a、b夹角均为30的直线有_条; (3)与直线a、b夹角均为45的直线有_条; (4)与直线a、b夹角均为60的直线有_条; (5)与直线a、b夹角均为80的直线有_条; (6)与直线a、b夹角均为90的直线有_条. 第46页 * 解题切入点 凭借空间想象能力,结合动手操作直线模型(选 用几支铅笔作直线模型),本题即可轻松获解. 解析 如图直线a、b夹角为60,l1、l2分别是其夹角(60)及 其补角(120)的角平分线,由l1是空间中与直线a、b夹角最 小的直线知,与直线a、b夹角均为10的直线有0条;同理在 图中,让l1与l2各在其所在的,与直线a、b确定的平面垂直的 平面内转动,会得出与直线a、b夹角均为30的直线只有1 条,即l1; 第47页 * 与直线a、b夹角均为45的直线有2条;与直线a、b夹角均为 60的直线有3条;与直线 a、b夹角均为80的直线有4条;与直线a、b夹角均为90的直 线有1条. 答案 (1)0;(2)1;(3)2;(4)3;(5)4;(6)1 第