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Chap2 3 函数的连续性 一、函数连续的定义 函数 f (x)在x0的极限存在与否和 f (x)在x0有无定义无关 ，有时候， f (x)在x0的极限恰好等于f (x0), 这时引进 定义1 设 f : U(x0)R, 且 此时x0称为 f (x)的连续点. 若 f (x)在x0不连续, 则称 f (x)在x0间断, 此时x0称为 f (x)的间断点. 连续的三要素: f (x0)和 都存在,且两者相等. “”表述： f (x)在x0连续 0, 0, 当|x x0| 0, 使f (x)在U(x0, )有界. 三、函数连续的性质 局部保号性 若f (x)在x0连续，且 f (x0) 0，则 0, x U(x0, )有 |f (x)| | f (x0)|/2. 局部不等式性 若 f (x), g(x)在x0连续, 且 f (x0) 0, x U(x0, )有 f (x) 0, 0, x, xE且| x x| 0, 0, x, xE且| x x| 0及xn, xnE: limn| xn xn|=0, 但 叙述“f 在x0连续的Cauchy准则”！ 例14 设f (x) = ax + b, 证明 f U.C(R). 例15 说明f (x) = 在(0, 1)内不一致连续. 一致连续的充要条件 1. 定理(Cantor) f Ca, b f U.Ca, b. 2. 定理 设 f C(a, b), 则 f U.C(a, b) f (a+0)及f (b0)存在. (见习题30) 充分性显然，必要性见第三章 3. 设I为区间, 则f U.C(I) 按定义验证 4. 设I为区间, 则f U.C(I) xn, xn I, 且 5. 设I为有界区间, 则 f U.C(I) xn I为Cauchy列, 则f (xn)也为Cauchy列. 必
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