MATLAB第三章数值数组及其运算.ppt

第三章 数值数组及向量化运算 1 3.1 数值计算的特点和地位 符号运算优点：可以对包含变量字符、参数字符和 数字的表达式进行推理、运算，并给出符号结果， 与高校教科书中的解析表达式接近。 不足：有很多问题无法解，有些问题求解时间过长 现代主流计算机都只能表示、保存、运算和输出有 限精度的数字，处理离散的信息。数值计算正好适 应了现代计算机的这种特点，它计算速度快，能处 理各种复杂的函数关系。但数值计算是以有限精度 数字为基本操作元素，只能用有限长度的数据，以 有限的精度表现有限时间和范围内的函数关系。 2 例 3.1-1 已知求 (1) 符号计算解法 syms t; ft=exp(sin(t); sx=int(ft, t, 0, 4) Warning: Explicit integral could not be found. sx = int(exp(sin(t),t = 0 4) (2) 数值计算解法 delt=0.01; x=0:delt:4; y=exp(-sin(x); sx=delt*cumtrapz(y); plot(x,y, r, LineWidth, 6); hold on; plot(x, sx, .b, MarkerSize, 15); plot(x, ones(size(x), k); 3 3.2 引导 数值数组(Numeric Array)和数组运算(Array Operations)是 matlat的核心内容. 数组:一组实数或复数排成的长方阵列. 可以是一维的行或列， 二维的矩形, 也可以是三维的若干同维矩形的堆叠,甚至更高维. 数组运算：无论在数组上施加什么运算(加减乘除或函数),总认 为那种运算对被运算数组中的每个元素平等地实施同样的操作 matlab 设计数组和数组运算的目的： 1) 使程序简单易读,使程序指令更接近教科书上的数学计算公式. 2) 提高程序的向量化程度, 提高计算效率, 节省计算机开销 数组运算符: .opr+, -, .* , ./ , . , . , fun 4 3.3 一维数组的创建和寻访 1. 一维数组的创建: (1) 逐个元素输入法： 如：array=2, pi/2, sqrt(3), 3+5i 使用场合及特点 使用场合: 数据元素比较少并都已知.如对 少量实验数据的处理可用此种方法. x=1,2,3,4,5 行向量 列向量 5 (2) 冒号生成法： array=a: inc: b a-数组的第一个元素 inc-采样点之间的间隔, 即步长. 最后一个元素不一定等于 b,其大小为b=a +inc*(b-a)/inc; 步长可以省略, 默认 为1; inc可以取正数或负数, 但要注意当取正时,要保证ba, 数组最后一个元素不超过b, 取负时ba)得到n+1个元素的数组. abinc0 abinc0 6 x=1:5x=1,2,3,4,5 y=5:-1:1y=5, 4, 3, 2, 1 Z=1:2:7z=1,3,5,7 u=1:2:8u=1,3,5,7 x=31 , 32 , 33 , 34 , 35 ,36 , 37 , 38, 39 输出一个等比数列： a=1:1:9; x=3.a 7 A=1: -1 :9 A=Empty matrix: 1-by-0 B=9: 1 : 1B =Empty matrix: 1-by-0 B=1: 2 :8B=1, 3, 5, 7 C=8: -2 :1C=8, 6, 4, 2 8 (3) 定数线性采样法 在设定的总点数下, 均匀采样生成一维行数组格式为： x=linspace (a, b, n) a-数组初始值 b-数组最后值 n-数组总个数 特点：方便对数组的元素的总个数进行控制，最后一个元素肯 定是设定之值三个参数之间不必满足一定条件 增量的计算-inc=(b-a)/(n-1) 等效于: x=a: (b-a)/(n-1) :b 9 2. 一维数组的子数组寻访和赋值 x=1 2 3 4 5; x(3) x(1 2 3), x(1 2 3) x(1:3)=x(1,2,3) % 1:3=1,2,3 x(3:end) % end表示最后一个下标 x(3:-1:1) x( find (x2) ) x(1 2 3 4 5 5 4 3 2 1) 注意: 数组的第一个元素为x(1), 与C语言中第一个元 素为x0不同 10 3.4二维数组的创建 二维数组是由实数或复数排列成矩形而构成的.从数据结构上看, 矩阵和二维数组没区别.当二维数组带有线性变换含义时,该二维 数组就是矩阵 2. 利用文件创建和保存数组 1.直接输入法： 对于较小数组,从键盘直接输入最简便.二维数组必须有以下三个 要素: 1) 整个输入数组必须以方括号“”为其首尾； 2) 数组的行与行之间必须用分号或回车键隔离； 3) 数组元素必须有逗号或空格分隔 11 例3.1 用直接输入法创建数组 a=pi, b=5; array=1, 2*pi, 2+3i ; sqrt(b), sin(pi/4)+i, 6; 例3.2 利用文件创建和保存数组 1. 编写M文件并运行 AM=100,101,102;103,104,105;106,107,108 ，保存为文件名MyMatrix .m 2. 在命令窗中输入MyMatrix 12 3.5 二维数组的标识 (mxn, m1, n1) 2) 单下标标识 数组名(行下标m, 列下标n)-数组的第m行n列的元素 . A=1,2,3; 4,5,6 A(2,3) 只用一个下标来指定元素在数组中的位置将数组中所 有的元素按照从上到下(列), 从左到右的方法从开始 编号, 其编号就是单下标 1) 全下标标识 | 1 2 3 | A= | 4 5 6 | | 7 8 9 | A(:)按单下标方式列出 全部元素 A(:)=1,4,7,2,5,8,3,6,9 13 4) 全下标与单下标间的转换函数 sub2ind-全下标单下标 ind2sub-单下标全下标 3) 单下标与全下标之间的转换 对数组A (m, n)来说，若元素A (r, c)与A (s)是同一元 素，则有： s=m*(c-1)+r 5) 逻辑1标示 A=1,2,3,4,5; TRUE=10; FALSE=01; L=TRUE, FALSE, TRUE, FALSE, TRUE A(L)=1,3,5 14 3.6 二维数组的子数组寻访和赋值 1) 寻访某一个元素 array (r, c)-数组中的第r行c列的元素 array (r,:)-数组的第r行全部元素 array (:,c)-数组的第c列的全部元素 array (r1,r2,:)-数组的第r1,r2行的全部元素 array (x)-按单下标寻访数组,从第一个元素按列数第x个元素 2) 寻访某一列或一行的元素 3) 单下标寻访 4) 寻访全部元素 array (:,:), array(:) 15 A=1,2,3;4,5,6;7,8,9; A(2,3)=6 A(3)=7 A(:,:)=1,2,3;4,5,6;7,8,9; A(:)=1,4,7,2,5,8,3,6,9 A(1,3,5)=1,7,5 A= 1, 2, 3 4, 5, 6 7, 8, 9 例3.6.1二维数组的寻访 x(2,:) = x(2,:) + 1 16 3.7 执行数组运算的常用函数 函数数组运算规则的定义 | x11 x12 x1n | | x21 x22 x2n | 对于(m x n)数组X | | =xij m x n | | | xm1 xm2 xmn | 函数f(.)的数组运算规则是指： f(X)=f(xij)m x n 也就是对数组中每个元素都实施同样的操作 例2.1 x=30, 45, 60; 90, 105, 120, 计算sin( pi/180*x ) 17 常用函数： 名称 含义名称 含义名称 含义 acos反余弦asinh反双曲正弦csch双曲余割 acosh反双曲余弦atan反正切sec正割 acot反余切atan2四象限反正切sech双曲正割 acoth反双曲余切atanh反双曲正切sin正弦 acsc反余割cos余弦sinh双曲正弦 acsch反双曲余割cosh双曲余弦tan正切 asec反正割cot余切tanh双曲正切 asech反双曲正割coth双曲余切 asin反正弦csc余割 三角函数和双曲函数 18 指数函数 名称 含 义义 名称 含 义义名称含 义义 exp 指数(ex)log10 常用对对数pow2 的幂幂 log自然对对 数 log2以为为底对对 数 sqrt平方根 复数函数 名称含 义义名称含 义义名称 含 义义 abs模或绝对绝对 值值 conj 复数共 轭轭 real 复数实实 部 angle 相角(弧度)imag 复数虚部 19 坐标变换函数 名称 含 义 名称 含 义 cart2sph直角坐标变 球坐标pol2cart极坐标变 直角坐标 cart2pol直角坐标变 极坐标sph2cart球坐标变 直角坐标 圆整函数与求余函数 名称 含 义义名称 含 义义 ceil向圆圆整函数 rem求余数 fix向圆圆整函数round 向最近整数圆圆整函 数 floor 向圆圆整函数 sign符号函数 - (-1), + (1) 0 (0)mod 模除求余 20 3.8 数组运算与矩阵运算 数组运算是指每个对应元素之间的运算，比如对应元素相加， 相减，相乘，相除等，而矩阵运算则服从线性代数中的矩阵运 算规则 数组运算符是 .opr, opr为运算符，可以是 , *, /, , 矩阵运算则没有在操作符左边加., matlab中矩阵的运算是按 照线性代数中的定义进行的 数组运算函数：sqrt, exp, log. 矩阵运算函数：sqrtm, expm, logm 21 数组(矩阵)的点乘和乘法的区别 乘法: 是矩阵相乘, 必须满足矩阵相乘的定义, 即只有 Amxn*Bnxk才有意义, 行向量和行向量之间不能相乘 点乘: 是数组对应元素间的乘法，必须满足相乘的两个 数组的维数完全相同，如Amxn.*Bmxn 例 将函数y=xsinx在区间0,2离散化 x=0: 2*pi/100: 2*pi; y=x.*sin(x); x= 0, 2*pi/100, 2*2*pi/100 , 2*pi sin(x)=sin(0), sin(2*pi/100), sin(2*2*pi/100) , sin(2*pi) 22 例2.2 a=1,2,3;4,5,6;7,8,9, b=2,4,6;8,10,12;14,16,18, 计算a + b, a.*b, a*b, sqrt(a), sqrtm(a) +,-相同位置的元素相加,减 .*相同位置的元素相乘 *矩阵相乘, 满足矩阵相乘的条件 .点幂, 数组(矩阵)中每个元素进行幂运算 矩阵的运算 23 3.9 标准数组生成函数和数组操作函数 指令 含 义义 指令 含 义义 diag建立和提取对对角阵阵 rand产产生均布随机数组组 eye产产生单单位数组组randn 产产生正态态分布随即数 组组 magic 产产生魔方数组组zeros 产产生全数组组 ones产产生全数组组空矩阵阵 1) 标准数组生成函数 例2.3 diag, eye, zeros, ones 的演示 eye(3), eye(2,3), zeros(3), zeros(2,3), ones(3), ones(2,3) a=1,2,3;4,5,6;7,8,9, x=1:1:9; diag(a), diag(x) 24 指令 含 义义 cat把大小相同的若干数组组,沿指定维维方向,串接成高 维维数组组 diag提取对对角元素,或生成对对角矩阵阵 flipud矩阵阵作上下翻转转 fliplr矩阵阵作左右翻转转 repmat扩扩大数组组 reshape 改变变矩阵阵大小 kronKronecker张张量积积 rot90矩阵阵旋转转90度 tril提取矩阵阵的下三角部分 triu提取矩阵阵的上三角部分 2) 数组操作函数 25 矩阵的常用操作 (1) 转置 共轭转置-A, z 共轭-conj (A) 转置-conj (A)-复数=A. (2) + - * / A=1,2,3;,4,5,6; 7,8,9; C=2,4,6; 8,10,12;14,16,18 b=12; 15; 20 z=1+i, 2+3i, 5; 2, 3i, 4+i; 4+3i, 5, i (3) tril, triu, reshape a=1,2,3;4,5,6;7,8,9, x=1:1:9; tril(a), triu(a); reshape(x,3,3) 26 数组的组合: x1=1,2,3; x2=4,5,6; x3=7,8,9; a=x1,x2,x3, b=x1;x2;x3 y1=x1, y2=x2, y3=x3 c=y1,y2,y3, d=y1;y2;y3 a=1 2 3 4 5 6 7 8 9 b= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 c= 1 4 7 2 5 8 3 6 9 d=a ,增加列,要保 证行数相等 ;增加行,要 保证列数相等 27 3) 矩阵分析 指 令 含 义义 rank计计算矩阵阵的秩 det计计算矩阵阵行列式的值值 size计计算矩阵阵的大小，行数，列数（二维维） find按条件查查找 null零空间间 trace 计计算矩阵阵的迹 eig求矩阵阵的特征值值和特征向量 norm 计计算矩阵阵或向量的范数 28 例 解多元一次方程 x + 3y + z =15 已知： 2x + y + 3z =20 求 x, y, z之值 x + y =4 1) 将方程化为矩阵与矢量相乘的形式：AX=b,写出 解题步骤： 2) 判断方程组是否有解计算矩阵和其增广矩阵的 3)如果有解，则解为：X=A-1*b =A(-1)*b=inv (A)*b 或 X=Ab A,b 秩 r (A), r (A | b) A=1,3,1; 2,1,3; 1,1,0; b=15,20,4; rank(A); rank(A,b); 29 3.11 非数和空数组 按IEEE规定, 0/0, /, 0*等运算都会产生非数, 在matlab 中 记为nan. 它具有以下性质： 1) nan参与运算所得结果也是nan，即具有传递性 2) 非数没有大小概念，因此不能比较两个非数的大小 功能： 真实记述0/0, / , 0* 运算的后果; 避免可能因以上 运算而造成的程序执行的中断;在数据可视化中,用来裁减图形 30 例2.11-1 非数的产生和性质演示 (1) 非数的产生 a=0/0, b=0*log(0), c=inf - inf (2) 非数的传递性 0*a, sin (a); (3) 非数的属性判断 class (a), isnan (a) isnan-唯一能正确判断非数的指令 31 3.11.2 空数组 空数组的功能： 在没有空数组参与运算时,计算结果中的空可以合理地解释所得 结果的含义(如在某数组中寻找满足一定条件的数据,结果没有, 得到空数组,表示没有满足条件的元素);运用空数组对其他非空 数组赋值,可以改变数组的大小,但不能改变数组的维数 空数组的创建 array1= ; array2=zeros(2,0); array3=1:-5； a=1,2,3; array4=find (a=大于等于 大于=不等于 说明： 1) 标量可以与任何维数的数组进行比较,比较在此标量和数组 每个元素之间进行,因此比较结果为与被比数组同维的数组. 2) 数组进行比较时,两数组必须是同维的, 结果也得到一个同 维