ch-7-5微积分实际应用举例.pptx

数学分析 第五节 微积分实际应用举例 一、微元法 三、平均值与均方根 二、定积分在物理上的应用 四、简单数学模型和求解 五、小 结 重点：求功、压力、引力 数学分析 1、面积表示为定积分的步骤 （3） 求和，得A的近似值 一、微元法 数学分析 a b x y o （4） 求极限，得A的精确值 提示 面积元素 数学分析 数学分析 2、微元法的步骤 数学分析 这个方法通常叫做微元法或元素法 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长 ；功；水压力；引力和平均值等 定积分的物理意义：非均匀线形物体的质量 数学分析 解 例 1 推广 数学分析 解法二 数学分析 解 体积元素为 例 2 数学分析 二、定积分在物理上的应用 2、变力沿直线所作的功 3、水压力 4、引力 1、质量 数学分析 0 6 x 图7.5.1 解 例 3 二、定积分在物理上的应用 1、质量 数学分析 2、变力沿直线所作的功 数学分析 点击图片任意处播放暂停 解建立坐标系如图 例 4 数学分析 这一薄层水的重力为 功元素为 (千焦) 数学分析 解 建立坐标系 第一次锤击时所作的功为 例5 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的 阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第 一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作 的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？ 设 次击入的总深度为 厘米 次锤击所作的总功为 数学分析 依题意知，每次锤击所作的功相等 次击入的总深度为 第 次击入的深度为 数学分析 3、水压力 数学分析 解 在端面建立坐标系如图 例 6 数学分析 数学分析 x y 解 建立坐标系如图 任取 y 例 7 x 数学分析 4、引力 数学分析 解 建立坐标系如图 将典型小段近似看成质点 小段的质量为 例8 数学分析 小段与质点的距离为 引力 水平方向的分力元素 由对称性知，引力在铅直方向分力为 数学分析 函数 在区间 上的平均值为 几何平均值公式 区间长度 三、平均值与均方根 数学分析 解设电阻为 ， 则电路中的电压为 功率 一个周期区间 平均功率 例 10 数学分析 结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率 等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一 数学分析 通常交流电器上标明的功率就是平均功 率交流电器上标明的电流值都是一种特 定的平均值，习惯上称为有效值 数学分析 按定义有 有效值计算公式的推导 即 数学分析 结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的 数学分析 四、简单数学模型和求解 数学分析 解 例 10Malthus人口模型 数学分析 例 11Logistic人口模型 数学分析 数学分析 利用“微元法”思想求变力作功、 水压力和引力等物理问题 （注意熟悉相关的物理知识） 五、小结 数学分析 函数的平均值 函数的有效值 （理解平均功率、电流的有效值等概念） 数学分析 作 业 P345: 2, 4, 5, 6, 10, 12, 16. P330: 6, 7(4) 数学分析 练习有一半径为的四分之一圆周，线密度为 r 的均匀细丝，在其圆心处 有一质量为m的质点， 计算该细丝对质点的引力 解 建立坐标系如图