2015届江苏省盐城市高三第三次模拟考试 数学试题及答案.doc

盐城市2015届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题 (总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.已知集合，集合，则 . 第3题2.若复数是纯虚数，其中为实数，为虚数单位，则的共轭复数 . 3.根据如图所示的伪代码，则输出的的值为 . 4.若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则的值为 .5.某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间61, 120的人数为 6.某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，若这四人被录用的机会均等，则甲与乙中至少有一人被录用的概率为 7.若满足约束条件, 则目标函数的最大值为 8.已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则侧棱的长为 .9.若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值为 . 10.动直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取得最大值时，的值为 . 11.若函数，则是函数为奇函数的 条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)12.在边长为1的菱形中，若点为对角线上一点，则的最大值为 . 13.设是等差数列的前项和，若数列满足且，则的最小值为 14.若函数有两个极值点，其中，且，则方程的实根个数为 .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15. (本小题满分14分)已知，记函数.（1）求函数取最大值时的取值集合；（2）设的角所对的边分别为，若，求面积的最大值.16(本小题满分14分)第16题在直三棱柱中，点分别是棱的中点.（1）求证:/平面；（2）求证:平面平面.17(本小题满分14分)某地拟建一座长为米的大桥，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩、造价总共为万元，当相邻两个桥墩的距离为米时（其中），中间每个桥墩的平均造价为万元，桥面每1米长的平均造价为万元.（1）试将桥的总造价表示为的函数；（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩、除外)应建多少个桥墩？第17题18. (本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点. 当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时， 弦的长为.（1）求椭圆的方程；（2）若点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭圆于另一点，求的面积；第18题（3）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.19(本小题满分16分)设函数，.（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；（3）是否存在实数,使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由.20(本小题满分16分)设函数（其中），且存在无穷数列，使得函数在其定义域内还可以表示为.（1）求（用表示）；（2）当时，令，设数列的前项和为，求证：；（3）若数列是公差不为零的等差数列，求的通项公式.盐城市2015届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21选做题 在a、b、c、d四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. a.（选修41：几何证明选讲）在中，已知是的平分线，的外接圆交于点.若，求的长.b.（选修42：矩阵与变换）若矩阵属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵的逆矩阵.c（选修44：坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），试判断直线与曲线的位置关系，并说明理由.d(选修4-5：不等式选讲）已知为正实数，求证：，并求等号成立的条件. 必做题 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.22（本小题满分10分）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，底面，设点满足.（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值；（2）若二面角的大小为，求的值.23（本小题满分10分）设.（1）若数列的各项均为1，求证：；（2）若对任意大于等于2的正整数，都有恒成立，试证明数列是等差数列.盐城市2015届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. 2. 3. 15 4. 1 5. 6. 7. 6 8. 9. 10. 11. 充分不必要 12. 13. 14. 5 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15解：（1）由题意，得，当取最大值时，即，此时，所以的取值集合为.7分（2）因，由（1）得，又，即，所以，解得，在中，由余弦定理，得，所以，所以面积的的最大值为.14分16. 证明：（1）在直三棱柱中，且，因点分别是棱的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，即且，又且，所以且，即四边形是平行四边形，所以，又平面，所以平面.7分（2）因，所以四边形是菱形，所以，又点分别是棱的中点，即，所以.因为，点是棱的中点，所以，由直三棱柱，知底面，即，所以平面，则，所以平面，又平面，所以平面平面14分17解：（1）由桥的总长为米，相邻两个桥墩的距离为米，知中间共有个桥墩，于是桥的总造价，即（）7分（表达式写成同样给分）（2）由（1）可求，整理得，由，解得，（舍），又当时，；当 时，所以当，桥的总造价最低，此时桥墩数为14分18解：（1）由，设，则，所以椭圆的方程为，因直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点，即，代入椭圆方程，解得，于是，即，所以椭圆的方程为5分（2）将代入，解得，因点在第一象限，从而，由点的坐标为，所以，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，解得，又过原点，于是，所以直线的方程为，所以点到直线的距离，10分（3）假设存在点，使得为定值，设，当直线与轴重合时，有，当直线与轴垂直时，由，解得，所以若存在点，此时，为定值2. 12分根据对称性，只需考虑直线过点，设，又设直线的方程为，与椭圆联立方程组，化简得，所以，又，所以，将上述关系代入，化简可得.综上所述，存在点，使得为定值216分19解：（1）当时，在处的切线斜率，由，在处的切线斜率，.4分（2）易知函数的定义域为，又，由题意，得的最小值为负，（注：结合函数图象同样可以得到），（注：结合消元利用基本不等式也可）.9分（3）令，其中则，设在单调递减，在区间必存在实根，不妨设即，可得（*）在区间上单调递增，在上单调递减，所以，代入（*）式得根据题意恒成立.又根据基本不等式,当且仅当时,等式成立所以,.代入（*）式得,即16分(以下解法供参考，请酌情给分)解法2：，其中根据条件对任意正数恒成立即对任意正数恒成立且，解得且，即时上述条件成立此时.解法3：，其中要使得对任意正数恒成立，等价于对任意正数恒成立，即对任意正数恒成立，设函数，则的函数图像为开口向上，与正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与轴有一个交点，即，所以.20解:（1）由题意，得，显然的系数为0，所以，从而，.4分（2）由，考虑的系数，则有，得，即， 所以数列单调递增，且，所以，当时，.10分（3）由（2），因数列是等差数列，所以，所以对一切都成立，若，则，与矛盾，若数列是等比数列，又据题意是等差数列，则是常数列，这与数列的公差不为零矛盾，所以，即，由（1）知，所以.16分（其他方法：根据题意可以用、表示出，由数列为等差数列，利用，解方程组也可求得.）解法2：由（1）可知，因为数列是等差数列，设公差为，.又由（2），所以得，若即时，与条件公差不为零相矛盾，因此则.由,可得,整理可得代入,或若,则，与矛盾，若,则,满足题意, 所以附加题答案b解：由题意，得，解得，所以.设，则，解得，即.10分c解：将直线与曲线的方程化为普通方程，得直线：，曲线：，所以曲线是以为圆心，半径为的圆，所以圆心到直线的距离，因此，直线与曲线相交. 10分22. 解：（1）以为坐标原点，建立坐标系，则，所以，.当时，得，所以，设平面的法向量，则，得，令，则，所以平面的一个法向量，所以，即直线与平面所成角的正弦值.5分（2）易知平面的一个法向量.设，代入，得，解得，即，所以，设平面的法向量，则，消去，得，令，则，所以平面的一个法向量，