2015年考研数学三真题及答案解析介绍.pdf

考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 1 页 押中原题才叫牛，押中原题才叫牛， 严真老师点题严真老师点题 1 01 0分钟， 直接命中分钟， 直接命中 2 0 1 52 0 1 5两道政治大题，两道政治大题，全国最多，全国最多，1 0 0 %1 0 0 %原题原题 腾讯腾讯公司证明押题真实性公司证明押题真实性： /class/10860.html 20152015 考研政治真题大题第考研政治真题大题第 3737 题：（题：（2 2）为什么）为什么“ “全面推进依法治国，必须坚持党的领全面推进依法治国，必须坚持党的领 导导“ “？ 严真老师十分钟点题截图：严真老师十分钟点题截图： 20152015 考研政治真题大题第考研政治真题大题第 3838 题：（题：（2 2）如何理解习近平所说的）如何理解习近平所说的“ “中国这头狮子已经醒中国这头狮子已经醒 了，但这是只和平的、可亲的、文明的狮子了，但这是只和平的、可亲的、文明的狮子“ “？ 严真老师十分钟点题截图：严真老师十分钟点题截图： 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 2 页 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析 一、选择题一、选择题:18 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分.下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的只有一个选项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在请将所选项前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. (1)设 n x是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim = n n xa,则 221 limlim + = nn nn xxa (B) 若 221 limlim + = nn nn xxa, 则lim = n n xa (C) 若lim = n n xa,则 331 limlim + = nn nn xxa (D) 若 331 limlim + = nn nn xxa,则lim = n n xa 【答案】(D) 【解析】答案为 D, 本题考查数列极限与子列极限的关系. 数列() n xa n 对任意的子列 k n x均有() k n xa k ,所以 A、B、C 正确； D 错(D 选 项缺少 32n x + 的敛散性),故选 D (2) 设函数( )f x在(), +内连续,其 2 阶导函数( )fx的图形如 右图所示,则曲线( )=yf x的拐点个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C) 【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是不存在的点或 的点处产生.所以有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导 函数符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为 2，故选 C. (3) 设 () 2222 ,2 ,2=+Dx y xyx xyy,函数(),f x y在D上连续,则(),d d D f x yx y = ( ) (A) ()() 2cos2sin 42 000 4 dcos , sinddcos , sindf rrr rf rrr r + (B) ()() 2sin2cos 42 000 4 dcos , sinddcos , sindf rrr rf rrr r + (C) () 2 1 011 2d,d x x xf x yy (D) () 2 12 0 2d,d x x x xf x yy 【答案】(B) 【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域 ( )fx ( )0fx=( )yf x= ( )fx 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 3 页 所以， 故选 B. (4) 下列级数中发散的是( ) (A) 13nn n = (B) 1 11 ln(1) n n n = + (C) 2 ( 1)1 ln n n n = + (D) 1 ! n n n n = 【答案】(C) 【解析】A 为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收 敛；B 为正项级数，因为，根据级数收敛准则，知收敛；C， ，根据莱布尼茨判别法知收敛， 发散，所以根据级数 收敛定义知，发散；D 为正项级数，因为 ， 所以根据正项级数的比值判别法收敛， 所以选 C. (5)设矩阵 2 111 12 14 a a = A, 2 1 d d = b.若集合1,2 =， 则线性方程组=Axb有无穷多解的充分必要 条件为 ( ) (A) ,ad (B) ,ad (C) ,ad (D) ,ad 【答案】(D) 1 ( , ) 0,02sin 4 Drr = 2 ( , ),02cos 42 Drr = 2sin2cos 42 000 4 ( , )( cos , sin )( cos , sin ) D f x y dxdydf rrrdrdf rrrdr =+ 1 1 11 3 limlim1 33 3 n nn n n n n n + + + = 11111 1 01 0 22222 P XP YP XP Y=+=. 三、解答题：三、解答题：1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 设函数 3 ( )ln ( 1)sin , ( )f xxaxbxx g xckx=+=.若( )f x与( )g x在0x 时是等价无穷小，求 , ,a b k的值. 【答案】 11 1, 23 abk = = 【解析】法一法一： 因为， (0,0) 12 33 dzdxdy= 2 ( )2 xx y xee =+ 20yyy+= 2 20+=2= 1= 2 12 ( ) xx y xC eC e =+( )y x0x = (0)3y=(0)0 y = 1 1C = 2 2C = 2 ( )2 xx y xee =+ 23 3 ln(1)() 23 xx xxo x+=+ 3 3 sin() 3! x xxo x=+ 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 7 页 则有， 可得：，所以， 法二：法二： 由已知可得得 由分母，得分子，求得 c； 于是 由分母，得分子 ，求得； 进一步，b 值代入原式 233 33 000 (1)()() ( )ln(1)sin 23 1limlimlim ( ) xxx aa a xbxxo x f xxaxbxx g xkxkx + + = 10 0 2 1 3 a a b a k += = = 1 1 2 1 3 a b k = = = 3 00 sin)1ln( lim )( )( lim1 kx xbxxax xg xf xx + = 2 0 3 cossin 1 1 lim kx xbxxb x a x + + + = 03lim 2 0 = kx x )cossin 1 1 (lim 0 xbxxb x a x + + + 0)1 (lim 0 =+= a x )( )( lim1 0 xg xf x = 2 0 3 cossin 1 1 1 lim kx xbxxb x x + + = ）（xkx xxbxxxbx x + + = 13 cos)1 (sin)1 ( lim 2 0 2 0 3 cos)1 (sin)1 ( lim kx xxbxxxbx x + = kx xxbxxbxxxbxxbxb x 6 sin)1 (coscos)1 (cos)1 (sin1 lim 0 + = 06lim 0 = kx x sin)1 (coscos)1 (2sin1 lim 0 xxbxxbxxxbxb x + 0)cos21 (lim 0 =+= xb x 2 1 =b )( )( lim1 0 xg xf x = kx xxxxxxxx x 6 sin)1 ( 2 1 cos 2 1 cos)1 (sin 2 1 1 lim 0 + = k xxxxxxxxxxxxxx x 6 cos)1 ( 2 1 sin 2 1 sin)1 ( 2 1 sin 2 1 cos 2 1 sin)1 (coscos 2 1 lim 0 + = 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 8 页 ，求得 (16)(本题满分 10 分) 计算二重积分()d d D x xyx y+ ，其中 222 ( , )2,.Dx y xyyx=+ 【答案】 2 45 【解析】 (17)(本题满分 10 分) 为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q为该商品的需求量，P为价格，MC 为边际成本，为需求弹性(0). (I) 证明定价模型为 1 1 MC P = ； (II) 若该商品的成本函数为 2 ( )1600C QQ=+，需求函数为40QP=，试由（I）中的定价模型确定 此商品的价格. 【答案】(I)略(II) . 【解析】(I)由于利润函数,两边对求导，得 . 当且仅当时，利润最大，又由于,所以, 故当时，利润最大. k6 2 1 =. 3 1 =k 2 () DD x xy dxdyx dxdy+= 2 2 12 2 0 2 x x dxx dy = 1 222 0 2( 2)xxxdx= 2sin 1 2222 4 00 22 2222sin2cos 55 xt xx dxttdt = = 2 22 42 00 222 2sin 2sin. 5545 ut tdtudu = = 30P = ( )( )( )( )L QR QC QPQC Q=Q ( ) dLdPdP PQC QPQMC dQdQdQ =+=+ 0 dL dQ =( )L Q P dQ Q dP = 1dPP dQQ = 1 1 MC P = 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 9 页 (II)由于,则代入(I)中的定价模型，得 ,从而解得. (18)(本题满分 10 分) 设函数( )f x在定义域I上的导数大于零，若对任意的 0 xI，曲线( )yf x=在点 00 (,()xf x处的切线 与直线 0 xx=及x轴所围成区域的面积恒为 4，且(0)2f=，求( )f x表达式. 【答案】( ) 8 4 f x x = 【解析】曲线的切线方程为，切线与轴的交点为 故面积为：. 故满足的方程为,此为可分离变量的微分方程, 解得，又由于，带入可得，从而 (19)(本题满分 10 分) （I）设函数( ), ( )u x v x可导，利用导数定义证明 ( ) ( )( ) ( )( ) ( );u x v xu x v xu x v x=+ （II）设函数 12 ( ),( ),( ) n u x uxux可导， 12 ( )( )( )( ) n f xu x uxux=，写出( )f x的求导公式. 【答案】 【解析】 （I） （II）由题意得 ( )22(40)MCC QQP= 40 P dQP Q dPP = = 2(40) 40 1 P P P P = 30P = ()()() 000 yf xfxxx=x () () 0 0 0 ,0 f x x fx () () 2 0 0 1 4 2 fx S fx = ( )f x( )( ) 2 8fxfx= ( ) 8 f x xC = + ( )0 = 2f4C = ( ) 8 4 f x x = 12 ( )( )( )( ) n fxu x uxux= 121212 ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) nnn ux uxuxu x uxuxu x uxux =+ 0 () ()( ) ( ) ( ) ( )lim h u xh v xhu x v x u x v x h + = 0 () ()() ( )() ( )( ) ( ) lim h u xh v xhu xh v xu xh v xu x v x h + = 00 ()( )()( ) lim ()lim( ) hh v xhv xu xhu x u xhv x hh + =+ ( ) ( )( ) ( )u x v xu x v x=+ 12 ( )( )( )( ) n fxu x uxux= 121212 ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) nnn ux uxuxu x uxuxu x uxux =+ 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 10 页 (20) (本题满分 11 分) 设矩阵 10 11 01 a a a A=，且 3 =AO. (I) 求a的值； (II)若矩阵X满足 22 +=XXAAXAXAE，其中E为 3 阶单位矩阵，求X. 【答案】 312 0,111 211 aX = 【解析】(I) 323 10010 0111100 011 a AOAaaaaa aaa = = = (II)由题意知 ()() ()()()()()() () 2222 1 1 1 222 1 2 XXAAXAXAEX EAAX EAE EA X EAEXEAEAEAEA XEAA += = = 2 011 111 112 EAA = ， 011 100111 010 111 010011 100 112 001112 001 MM MM MM 111 010111 010 011100011100 021011001211 MM MM MM 110 201100 312 010 111010 111 001 211001 211 MM MM MM 312 111 211 X = (21) (本题满分 11 分) 设矩阵 023 133 12a = A相似于矩阵 120 00 031 b B =. (I) 求, a b的值； 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 11 页 （II）求可逆矩阵P，使 1 P AP为对角矩阵. 【答案】 231 4,5,101 011 abP = 【解析】(1) ( )( )311ABtr Atr Bab=+= + 023120 13300 12031 = = ABb a 14 235 = = = aba abb 023100123 133010123 123001123 = =+ =+ AEC () 1231 1231123 1231 = = C C的特征值 123 0,4= 0=时(0)0=EC x的基础解系为 12 (2,1,0) ;( 3,0,1)= TT 5=时(4)0=EC x的基础解系为 3 ( 1, 1,1)= T A 的特征值1:1,1,5= + AC 令 123 231 ( ,)101 011 = P， 1 1 1 5 = P AP (22) (本题满分 11 分) 设随机变量X的概率密度为( ) 2ln2,0 0,0 x x f x x = ,对X进行独立重复的观测,直到第2个大于3 的观 测值出现时停止，记Y为观测次数 (I)求Y的概率分布； (II)求( )E Y. 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 12 页 【答案】(I) 1222 1 17 11 88 nn n P YnCpppn =()()( ) ( )，2 3, ,n = ； (II)16E Y =( ). 【解析】(I) 记p为观测值大于 3 的概率，则 3 1 322 8 ()ln x pP Xdx + = ， 从而 1222 1 17 11 88 nn n P YnCpppn =()()( ) ( )，2 3, ,n = 为Y的概率分布； (II) 法一法一:分解法分解法: 将随机变量Y分解成=Y MN+两个过程,其中M表示从1到()n nk次试验观测值大于3首次发生， N表示从1n+次到第k试验观测值大于3首次发生. 则MGe n p( ,)，NGe kn p(,)(注：Ge 表示几何分布) 所以 1122 16 1 8 E YE MNE ME N ppp =+=+=+=( )()()() . 法二法二:直接计算直接计算 2221 222 17777 112 88888 nnnn nnn E Yn P Ynnnnn = =+ ( )()( ) ( )()( )( )( ) 记 2 1 2 111( )() n n S xnnxx = = ，则 21 1 3 222 2 1 1 nnn nnn S xnnxn xx x = = ( )()()() () ， 12 21 3 22 2 11 1 ( )()()( ) () nn nn x SxnnxxnnxxS x x = = ， 2 222 31 3 22 2 11 1 ( )()()( ) () nn nn x S xnnxxnnxx S x x = = ， 所以 2 123 3 2422 2 11 ( )( )( )( ) () xx S xS xSxS x xx + =+= ， 从而 7 16 8 E YS=( )( ). (23) (本题满分 11 分