2018合肥一模理数试题和答案.pdf

高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 6 页） 合肥市 2018 年高三第一次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分，共 60 分 一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分，共 60 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C B C C D D A C B B D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.1 14.3 15.（4，4） 16. 21 3 三、解答题：三、解答题： 17.（）根据正弦定理，由已知得：(sin2sin)cossincos0ABCCA?， 1 分 即sincossincos2sincosACCABC?， sin()2sincosACBC?， ACB?，sin()sin()sin0ACBB?， sin2sincosBBC?，从而 1 cos 2 C ?. 5 分 (0)C?， 3 C ? ?. 6 分 （）由（）和余弦定理得 222 1 cos 22 abc C ab ? ?，即 22 12abab?， 7 分 2 2 ()1233 2 ab abab ? ? ? ? ， 9 分 即 2 ()48ab?（当且仅当2 3ab?时等号成立） 所以，ABC?周长的最大值为4 36 3c?. 12 分 18.（）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M， 则 3 3 3 6 119 ()=11 2020 C P M C ? ?， 所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为 19 20 . 5 分 （）随机变量X的所有可能取值有0 1 2 3， ，. 6 分 高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 6 页） 因为 2 111 (=0)= 5480 P X ? ? ? ? ， 2 1 2 411131 (=1)=+ 545448 P XC ? ? ? ? ， 2 1 2 4131333 (=2)=+= 5445480 P XC ? ? ? ? ， 2 439 (=3)= 5420 P X ? ? ? ? ， 10 分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 80 1 8 33 80 9 20 所以 1103336 ()=01232.3 80808080 E X? ? ? ?. 12 分 19.（）证明：连结AC，交BD于点N， N为AC的中点，/MNEC. MNEFCECEFC?平面，平面， /MNEFC平面. 3 分 BFDE，都垂直底面ABCD， /BFDE. BFDE?， BDEF为平行四边形，/BDEF. BDEFCEFEFC?平面，平面， /BDEFC平面. 又MNBDN?，平面BDM平面EFC. 6 分 （）由已知，DE?平面ABCD，ABCD是正方形 DADCDE，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系Dxyz?. 设2AB?， 则4DE?， 从而(2 2 0)B， ，(1 0 2)M， ，(2 0 0)A， ，(0 0 4)E， ， (2 2 0) (1 0 2)DBDM? ? ? ? ， ， ， ， 设平面BDM的一个法向量为( )nx yz? ? ， ， 由 0 0 n DB n DM ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得 220 20 xy xz ? ? ? ? . 令2x ?，则21yz? ? ?，从而(2, 2, 1)n ? ? . 10 分 ( 2 0 4)AE ? ? ? ? ， ，设AE与平面BDM所成的角为?，则 11 分 高三数学试题（理科）答案 第 3 页（共 6 页） 4 5 sin|cos| 15 n AE? ? ? ? ， 所以，直线AE与平面BDM所成角的正弦值为 4 5 15 . 12 分 20.20.（）由已知可得，椭圆E的焦点在x轴上. 设椭圆E的标准方程为 22 22 1 (0) xy ab ab ?，焦距为2c，则bc?， 2222 2abcb?，椭圆E的标准方程为 22 22 1 2 xy bb ?. 又椭圆E过点 2 (1 ) 2 ， 22 1 1 2 1 2bb ?，解得 2 1b ?. 椭圆E的标准方程为 2 2 1 2 x y?. 5 分 （）由于点( 2 0)?，在椭圆E外，所以直线l的斜率存在. 设直线l的斜率为k，则直线:(2)l yk x?，设 1122 () ()M xyN xy，. 由 2 2 (2) 1 2 yk x x y ? ? ? ? ? ? 消去y得, 2222 (12)8820kxk xk?. 由0? ?得 2 1 0 2 k?，从而 2 12 2 8 12 k xx k ? ? ? ， 2 12 2 82 12 k x x k ? ? ? ， 2 22 12 22 24 12 1 (12) k MNkxxk k ? ? ? . 点 2(1 0) F，到直线l的距离 2 3| 1 k d k ? ? ， 2 F MN?的面积为 22 22 1(24) 3 2(12) kk SMN d k ? ? ? . 9 分 令 2 12kt?，则1 2)t? ， 2 2 222 (1)(2)3232131 333132 48 tttt S ttttt ? ? ? ? ? ， 当 13 4t ?即 4 3 t ?( 4 1 2) 3 ? ，)时，S有最大值， max 3 2 4 S?，此时 6 6 k ? ?. 所以，当直线l的斜率为 6 6 ?时，可使 2 F MN?的面积最大，其最大值为 3 2 4 . 12 分 高三数学试题（理科）答案 第 4 页（共 6 页） 21.21.（）( )f x的定义域为 1 2 ? ? ? ? ， 2 22 222 ( ) 21(21) axaxa fx xxxx ? ? ? . 1 分 2 210 0xx? ?，. 令 2 ( )22g xxaxa?，则 （1）若0? ?，即当02a?时，对任意 1 2 x ? ? ? ? ，( )0g x ?恒成立， 即当 1 2 x ? ? ? ? ，时，( )0fx?恒成立（仅在孤立点处等号成立）. ( )f x在 1 2 ? ? ? ? ，上单调递增. 3 分 （2）若0? ?，即当2a ?或0a ?时，( )g x的对称轴为 2 a x ?. 当0a?时，0 2 a ?，且 11 ( )0 22 g?. 如图 1，任意 1 2 x ? ? ? ? ，( )0g x ?恒成立， 即任意 1 2 x ? ? ? ? ，时，( )0fx?恒成立， ( )f x在 1 2 ? ? ? ? ，上单调递增. 当2a ?时，1 2 a ?，且 11 ( )0 22 g?. 如图 2，记( )0g x ?的两根为 2 1 1 (2 ) 2 xaaa? ， 2 2 1 (2 ) 2 xaaa?. 当? 12 1 2 xxx ? ? ? ? ?，时，( )0g x ?； 当? 12 xxx?，时，( )0g x ?. 当? 12 1 2 xxx ? ? ? ? ?，时，( )0fx?， 当? 12 xxx?，时，( )0fx?. ( )f x在 1 1 2 x ? ? ? ，和? 2 x?，上单调递增，在? 12 xx，上单调递减. 综上，当2a ?时，( )f x在 1 2 ? ? ? ? ，上单调递增； 高三数学试题（理科）答案 第 5 页（共 6 页） 当2a ?时，( )f x在 2 11 (2 ) 22 aaa ? ? ? ? ，和 2 1 (2 ) 2 aaa ? ? ? ? ，上单调递增， 在 22 11 (2 ) (2 ) 22 aaaaaa ? ? ? ? ，上单调递减. 6 分 （）( )f xax?恒成立等价于 1 2 x ? ? ? ? ? ，( )0f xax?恒成立. 令( )( )ln(21) a h xf xaxxax x ?，则 ( )f xax?恒成立等价于 1 2 x ? ? ? ? ? ，( )0(1)h xh?（*）. 要满足（*）式，即( )h x在1x ?时取得最大值. 32 2 2(2)2 ( ) (21) axa xaxa h x xx ? ? ? . 8 分 由(1)0 h? ?解得1a ?. 当1a ?时， 2 2 (1)(21) ( ) (21) xxx h x xx ? ? ? ， 当 1 1 2 x ? ? ? ? ，时，( )0h x?；当?1 x?，时，( )0h x?. 当1a ?时 ，( )h x在 1 1 2 ? ? ? ，上 单 调 递 增 ， 在?1 ?，上 单 调 递 减 ， 从 而 ( )(1)0h xh?，符合题意. 所以，1a?. 12 分 22.（）由2cos0?得： 2 2 cos0?. 因为 222 cosxyx?，所以 22 20xyx?， 即曲线 2 C的普通方程为 22 (1)1xy? 5 分 （）由（）可知，圆 2 C的圆心为 2 C (1 0)，半径为 1. 设曲线 1 C上的动点(3cos 2sin )M?， 由动点N在圆 2 C上可得： min2min |1MNMC?. 6 分 222 2 |(3cos1)4sin5cos6cos5MC? 8 分 当 3 cos 5 ?时， 2 min 4 5 | 5 MC?， min2min 4 5 |11 5 MNMC? ?. 10 分 23.（）? ?1121211f xf xxx? ?， 1 分 高三数学试题（理科）答案 第 6 页（共 6 页） 1 2 2121 1 x xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或 11 22 1 2211 x xx ? ? ? ? ? ? ? ? 或 1 2 1 221 1 x xx ? ? ? ? ? ? ? ?