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72 第四章 不定积分 习题习题习题习题A A A A 一、选择题 1、 设)(xf的导函数是xsin,则)(xf的一个原函数是（） ； （A） 1+xsin（B）1-xsin（C）1+cosx（D）1-cosx 2、设函数)(xf在()+,上连续,则( ) dxxfd=（） ； （A）)(xf)（ B）( )f x dx（C）( )f xc+（D）dxxf)( 3、如果=+= dxxxfCxdxxf)1(,)( 22 则()； （A）cxx+ 22) (2（B）cx+ 22) 1(2 （C）cx+ 22 )1( 2 1 （D）cx+ 22 )1( 2 1 4、 =+=)(, 2 sin2)(xfc x dxxf则若()； （A）c x + 2 cos（B） 2 cos x （C）c x + 2 cos2（D） 2 cos2 x 5、 =)(),()(xdFxfxF则若()； （A）)(xf（B）)(xF（C）cxf+)(（D）cxF+)( 6、 =)()(xdgxdf若,则下列结论错误的是（） ； （A）)()(xgxf=（B）)()(xdgxdf= （C）)()(xgxf=（D）dxxgddxxfd =)()( 7、 函数x 2 cos 一个原函数是（） ； （A） 2 sin 2x （B） 2 sin 2 x （C） 2 sin 2x （D） 2 sin 2 x 8、 下列等式中正确的是（） ； （A）)()(xfdxxf= （B）)()(xfxdf= 73 （C）dxxf dx d xf)()( =（D）)()(xfdxxfd= 9、若)(xf在( , )a b内连续，则在( , )a b内)(xf()； （A）必有导函数（B） 必有原函数（C） 必有界（D） 必有极限 10、 设)(xf的一个原函数是ln(2 )x,则=)(xf()； （A） 2 1 x （B） x 1 （C）)2ln(x（D）)2ln(xx 11、下列各对函数中,是同一个函数的原函数是（） ； （A）xarcxcotarctan和（B）2lnln)2ln(+xx和 （C）2ln2 2ln 2 + x x 和（D） xxxx eeee 222 )( +和 12、若 2 1 ()(0),fxx x =则( )f x=()； （A）cx+2（B）cx+ln（C）cx+2（D）c x + 1 13、 若 x exf 2 )( =,则= dx x xf)(ln （） ； （A）c x + 2 1 Bc x + 2 1 （C）cx+ln（D）cx+ln 14、dx x x 2 ln =()； （A）cx x +)1(ln 1 （B）cx x +)1(ln 1 （C）cx x +)1(ln 1 （D）cx x +)1(ln 1 15、 如果=+= dxefeCxFdxxf xx )(,)()(则()； （A）ceF x +)(（B）ceF x + )(C.c x eF x + )( （D）ceF x + )( 16、设)(xf的一个原函数是sinx,则=dxxxf)()； （A）cxxx+ cossin（B）cxxx+ cossin （C）cxxx+sincos（D）cxxx+sincos 17、 dx ax 22 1 =（） ； （A）c ax ax a + + ln 2 1 （B）cax+ 22 ln（C）c ax ax a + + ln 2 1 （D）c a x a +arctan 1 74 18、dx xx +)1( 1 =()； （A）cx+arctan2（B）cx+arctan（C）cx+arctan 2 1 （D）cxarc+cot2 二、填空题 1、= xdx dx d sec； 2、 dxxdarctan=； 3、)1ln(xd=； dx x xsin =； 4、dxxf) 3 2 (=; dx x xf)(ln =； 5、已知, 1 1 )( 2 x xf + =且, 2 )1( =f则( )f x=； 6、如果=+= dxxxfCxFdxxf)2(,)()( 2 则； 7、如果=+= dx x xf CxFdxxf )(ln ,)()(则； 8、如果=+ = dxxxfC x x dxxf)(cossin, 1 )( 2 则； 9、设( )f x的一个原函数是 x xcos ,则=dxxf x)(； 10、设( )f x的一个原函数是 2 x e ,则=xdxxf 2 sec)(tan。 三、求下列不定积分 1、dx xx 43 1 2、 + dx x xe x 4 arctan 1 2 3、 + dx x xx 3 34 12 4、 + dx x xx 10 52 11 5、 + dx xx)1( 1 22 6、dx xxcos2sin 1 7、 + + dx x xx cos1 sin 8、 dx x xxx 2 sincos 9、dx x x )sin(ln 10、dx x x +tan1 sec2 75 11、dx xx )21( 1 12、dx xx +)2( 2 13、dx ee e xx x +22 2 14、dx x x 2 cos1 2sin 15、 + dx xx x 2 )ln( ln1 16、dx xx x +)1( arctan 17、 + dx xx)1( 1 3 18、dx xf xf )( )( 19、 dx xsin1 1 20、 + dx ee xx 1 21、dx xx +)4( 1 22、dx xx x sincos tanln 23、xdx 4 cos24、 + + dx x x 6 4 1 1 25、 3 1 1 dx x+ 26、 + + dx xx x 32 52 2 27、 dx xx 2 1 28、 + dx xx 2 44 1 29、dx x x x + 1 1 30、 2 2 ln(1) 1 xx dx x + + 31、 dx xxxlnlnln 1 32、 + dx ee xx2 1 33、 + dx x x 2sin tan1 34、 + dx xtan1 1 35、 dx xx x )1( arcsin 36、dx x xa 2 22 （0a） 37、dx x x + 2 cos tan23 38、dx xa xa 22 39、dxx 2 940、 dx x x 2 2 1 41、 + dx xx 22 1 1 42、dx x x 9 2 76 43、dx x + 3 1 1 44、dx x +321 1 45、 dx x 2 3 2) 1( 1 46、 + dx xa 2 3 22 )( 1 47、 + dx e x 1 1 48、 + dx e x 1 1 49、dx xx + 3 33 1 50、dx xx 32 1 四、解答题 1、已知xxf+=1)(sin，求：)(xf。 2、已知)(xf的一个原函数为sinx,求:dxxf x)(。 3、已知)(xf的一个原函数为 x e,求: dxxf x)(。 4、已知)(xf二阶连续可导,求: dxxf x)12(。 5、设( )f x= + + 2 2 1 )1ln( ax dx bax,问ba,分别取何值时，4)0(= f。 6、设( )arcsinxf x dxxC=+ ，求 1 ( ) dx f x 。 77 习题 B 一、选择题 1、 + dx e e x x 1 1 =()； （A）cex+1ln（B）cex+1ln（C）cex x +1ln2（D）cxe x +1ln2 2、 + dx x x tan1 tan1 =()； （A）cx+12sinln（B）cxx+sincosln （C）cxxx+2cosln2tan2secln（D）cxx+secln22tan1ln 3、2xxdx =()； （A）22 xx xc+（B） 2 1 22 ln2(ln2) xx x c+ （C） 2 2 ln2 (ln2) xx xxc+（D） 2 1 2 2 x xc+ 4、设)(xf的一个原函数是 2 x e ,则=dxxf x)()； （A）cex x + 2 2 2（B）cex x + 2 2 2（C）cxe x + )12( 2 2 （D） dxxfxxf)()( 5、=dxxcos()； （A）2sincosxxxc+（B）cx+sin （C）cxxx+ cossin 2 1 （D）2sincosxxxc+ 6、 若 x exf =)(,则= dx x xf)(ln （） ； （A）c x + 1 （B）c x + 1 （C）cx+ln（D）cx+ln 7、 如果 33 (),( )fx dxxCf x=+= 则()； （A）cx+ 3 5 5 6 （B）cx+ 3 5 5 9 （C）cx+ 3 （D）cx+ 78 8、dx xx )1( 1 =()； （A）cx+)12arcsin(2（B）cx+)12arcsin( （C）cx+arcsin 2 1 （D）cx+arcsin 9、设)(xf的一个原函数是lnxx,则=dxxxf)()。 （A）cxx+)ln 4 1 2 1 ( 2 （B）cxx+)ln 2 1 4 1 ( 2 （C）cxx+)ln 2 1 4 1 ( 2 （D）cxx+)ln 4 1 2 1 ( 2 二、填空题 1、设( )f x的一个原函数是 x xe,则=dxxf x)(； 2、cxdx x xf += 2 )(ln ,则=)(xf； 3、若 2 2 1 )(xxf=，则=dxxf)( 2 ； 4、若53)1( 2 +=+xxxf，则=dxxf)(； 5、如果=+= dx e ef C x dxxf x x) ( , 1 )( 2 则； 6、dx x 13 1 =； 7、 + dx x249 1 =； 8、dx xx +)1( 1 =； 9、 + dx xx x 83 32 2 =； 10、 + + dx x x 2cos1 cos1 2 =； 11、dx x x cos tan =； 12、( )xfx dx =； 79 13、在积分曲线族 xx dx 中，过（1,1）点的积分曲线是； 14、已知曲线上任一点的切线斜率为 x+2，且曲线过点(2,5)，则曲线方程为； 15、已知动点在时刻 t 的速度为 v=3t-2,且 t=0 时 s=5，则此动点运动方程为。 三、求下列不定积分 1、dxxx2 2 2、 + dx xx x 54 2 3、+dxex x )2(4、dxxx 2cos 5、dxex x 2 6、dxex x23 7、xdxln8、dxx)sin(ln 9、xdxxarctan10、xdxexsin 11、dxxx)ln(tansin12、dxxsin 13、dxe x 14、dxxx 332 1+ 15、 2 lnsin sin x dx x 16、+dxxx)11ln( 17、 + dx xx)1( 1 18、dx x 4 cos 1 19、 + dx xx x ln1 )2ln( 20、 + dx x x 3 )1( arctan 21、dx x x 6 32) 9( 22、dx xx x 32 tancos 23、 + dx x x 3 4 1 24、0 , 0 , cossin sin + badx xbxa x 25、 + dx xx)1( 1 3 26、dx xx 24 sincos 1 27、dx e xe x x 1 28、dx x x lnln 80 29、dxxx 2 tan30、 dx x x 1 3 31、 + dx x xx 4 2 1 )1( 32、 + dx x x cos1 cos1 33、dx e e x x 23 2 34、 + dx x xx 2 3 2) 1( ln 35、 dx x x 2 3 2) 1( arccos 36、dx xx x 4ln 2ln 37、 2 1 1 x dx x x + 38、 + dx xx x 42 2 2 39、dx x x )(lncos 2 40、 dx xbax)( 1 （ba0） 41、 + dx x ex x 2 2 )2( 42、dx x xxx e x 2 3 sin cos sincos 43、 + dx x e x 2 3 2 arctan )1( 44、 xdx 3 sec 45、dx x x 2 ) ln (46、 + dx e e x x) 1ln( 47、dxxx 2 )(arctan48、 + dx x x x 1 1 ln 2 49、 + +dxe x x x x 1 ) 1 1(50、 + dx x x 4 1 51、 dx xcos45 1 52、 + dx xtan21 1 53、 cos2 1sincos x dx xx+ 54、 4 tanxdx 55、 2 ln(1)xx dx x + 56、 2 ln (2) x dx x 57、 2 2 1 1 x x e dx e + 58、 arctan x x e dx e 59、 22 arctan (1) x dx xx+ 60、 1 (2) 1 dx xx 81 四、解答题 1、已知 22 (cos)cos2tan(0)fxxx x=+，试求( )f x。 2、设 2 2 2 (1)ln 2 x f x x = ，且( ( )lnfxx=，求( )x dx 。 3、已知 101 (ln ), 1 x fx xx ，试求( )f x 82 习题 A 答案 一、选择题 （1）B； （2）B； （3）C； （4）B； （5）D； （6）C； （7）A； （8）C； （9）B； （10）A； （11）D； （12）C； （13）A； （14）A；(15）D；(16）B；(17）C；(18）A； 二、填空题 (1）secx；(2）arctanxdx；3） sin ln(1), x xC x +；(4） 32 () 23 fxC+；(ln )fxC+ (5）arctan 4 x +；(6） 2 1 (2) 2 FxC+；(7）(ln )FxC+；(8） 2 cos 1cos x C x + ； (9） 2 sincosxxC x +；(10） 2 tanx eC +. 三、求不定积分 1） 33 22 22 (34)(3)(4) 33 xxdxxxC+=+ ； 2） 2 arctan 1 2 x eC+；3） 111 642 4122xxxC +； 4） 1121 ( )( ) 5ln2 2ln5 5 xx C+5） 1 arctanxC x +； 6） 11 ln csccot 2cos2 xxC x +7）tan 2 x xC+； 8） sinx C x +；9）coslnxC+； 10）ln 1tanxC+11）ln 21 x C x + ； 12）ln 2 x C x + + ；13） 2 ln221 xxx eeeC+； 14）2 sinxC+；15） 1 ln C xx +； 16） 2 (arctan)xC+；17） 3 1 lnln 1 3 xxC+ 18）2( )f xC+；19） 2 tan1 2 C x + ； 20）arctan x eC+；21）arctan 2 x C+； 83 22） 2 1 (lntan ) 2 xC+；23） 11 (32sin2sin4 ) 84 xxxC+； 24） 3 1 arctanarctan 3 xxC+； 25） 2 11121 ln 1ln1arctan 3633 x xxxC + +； 26） 2 31 ln23ln 43 x xxC x + + ；27）arcsin(21)xC+； 28） 2 1 ln 2144 2 xxxC+ +；29） 22 1 11arcsin 22 x xxxC+； 30） 3 2 2 2 ln1 3 xxC+；31）ln lnlnxC+； 32）ln 1 xx eeC +；33） 1 (ln tantan ) 2 xxC+； 34） 1 (ln sincos ) 2 xxxC+；35） 2 (arcsin)xC+； 36） 22 2 arcsin axx C xa +（令sinxat=） ； 37） 3 2 1 (32tan ) 3 xC+；38） 22 arcsin x aaxC a +； 39） 2 9 arcsin9 232 xx xC+（令3sinxt=） ； 40） 2 1 arcsin1 22 x xxC+（令sinxt=） ； 41） 2 1x C x + +（令tanxt=） 42） 2 93 3(arcsin) 3 x C x +（令3secxt=） ； 43） 2 33 3 (1)3ln1 2 xxC+（令 3 xt=） ； 44）23ln 123xxC+（令23xt+=） ； 45） 2 1 x C x + （令sinxt=） ；46） 222 x C aax + + （令tanxat=） ； 47） 11 ln 11 x x e C e + + + （令1 x et+=） ；48）ln(1) x xeC+（令1 x et+ =） 84 49） 366 2333636ln31xxxxC+ +（令 3 3xt+=） ； 50） 2 66 3(1)6ln1xxC+（令 6 xt=） 。 四、解答题 1）令sin ,arcsintx xt=，于是( )1arcsinf tt= +，即( )1arcsinfxx= +， 所以 () 2 ( )1arcsin(1arcsin )1f xx dxxxxC=+=+ 。 2）( )sin ,( )cos( )F xx F xxf x=，于是( )sinf xx= ，所以 ( )( )( )cossinxfx dxxf xf x dxxxxC=+ 3）由于( ) x F xe=，得( )( ) x F xef x=，于是 ( )( )( )( )( )( )xfx dxxdfxxfxfx dxxfxf xC=+ xx xeeC=+。 4） 11 (21)(21) (21)(21) 22 xfxdxxfxdxxdfx= 11 (21)(21) 22 xfxfxC=+ 5） 2222 222 22242 ( ),( ) 1(1) axbaa xa xabx fxfx axax + = + ，于是 (0)242,faab=为任意实数。 6） 22 11 ( )(arcsin)( ) 11 xf xxCf x xxx =+= 于是 3 22 2 11 1(1) ( )3 dxxx dxxC f x = + 习题 B 答案 一、选择题 (1）D；(2）B；(3）B；(4）C；(5）A；(6）B；(7）B；(8）B；(9）B。 二、填空题 (1） 2x x eC +；(2） 2x e；(3） 3 1 3 xC+； (4） 32 11 3 32 xxxC+；(5） 2x eC+；(6） 2 31 3 xC +； 85 (7） 12 arctan 63 xC+；(8）2arctanxC+；(9） 2 ln38xxC+； (10） 1 (tan ) 2 xxC+；(11） 2 cos C x +；(12）( )( )xfxf xC+； (13） 2 3y x =；(14） 2 1 21 2 xx+；(15） 2 3 25 2 stt=+。 三、求不定积分 1） 753 222 288 (2)(2)(2) 753 xxxC+； 2） 22 452ln(45)xxxxxC+； 3）(1) x xeC+；4） 11 ( sin2cos2 ) 22 xxxC+； 5） 2 22 xxx x exeeC +；6） 22 2 1 () 2 xx x eeC+； 7）lnxxxC+；8） 1 (sinlncosln ) 2 xxxC+； 9） 2 1 (arctanarctan ) 2 xxxxC+；10） 1 (sincos ) 2 x xx eC+ 11）cos lntanln csccotxxxxC+； 12）2cos2sinxxxC+ 13）2(1) x xeC+；14） 4 2 3 1 (1) 4 xC+； 15）cotlnsincotxxxxC+； 16） 11 ln( 11)arcsin 22 xxxxxC+； 17） 2 1 ln 2 xxxC+；18) 3 1 tantan 3 xxC+ 19） 3 2 2 (1ln )2(ln2 1) 1ln 3 xxC+（令1lnxt+=） ； 20） 2 2 arctan111 ln 1ln(1) 2(1)4(1)48 x xxC xx + + ； 21） 2 5 19 () 45 x C x +（令3sinxt=） ；22） 2 1 (cot) 2 tan x xxC x +； 86 23） 74 44 33 12 (1)3(1) 7 xxC+； （令 4 xt=） 24） 22 1 (lnsincos )axbaxbxC ab + + ； 25） 3 1 lnln1 3 xxC+（令 1 x t =） ；26） 3 1 cot2tantan 3 xxxC+； 27）21414arctan1 xxx x eeeC + +(令1 x et =)； 28）ln (lnln1)xxC+；29） 2 tanln cos 2 x xxxC+； 30） 2 11121 ln1ln1arctan 3633 x xxxC + +； 31） 24 11 arctanln(1) 24 xxC+；32）2tan 2 x xC+； 33） 2 32(34) 27 xx eeC+（令32 x et=或凑微分） ； 34） 2 2 ln11 ln1( ) 1 x C xx x + + ； 35） 2 2 1 arccosln 1 2 1 x xxC x + （令arccoscosxtxt= =） ； 36）ln4ln2ln ln4xxC+； 37） 2 11 arccos x C xx +（令secxt=） 38） 2 21 ln24arctan 33 x xxxC +； 39） 11 (lnsin(2ln ) 22 xxC+；40）2arcsin xa C ba + ； 41） 2 2 x xx x e xeeC x + + ；42） sin sin cos x x e xeC x +； 43） arctan 2 11 2 1 x x eC x + + + ；44） 1 (sectanln sectan) 2 xxxxC+； 45） 2 ln2ln2xx C xxx +；46）ln(1)ln(1) xxx eexeC +； 87 47） 222 11 (1)(arctan )arctanln(1) 22 xxxxxC+； 48） 3 22 111 lnln 1 3133 xx xxC x + + ；49） 1 x x xeC + + 50） 2 1 arctan 2 xC+；51） 2 arctan(3tan) 32 x C+； 52） 2 ln cos2sin) 5 xxC+（令tanxt=） ；53