类比推理与演绎推理.ppt

2.1.1 合情推理与演绎推理 归纳推理 歌德巴赫猜想的提出过程 ： 3710，31720，131730， 1037，20317，301317 63+3， 一个偶数（不小于6）总可以表示成两个 奇质数之和； 没有发现反例 。 83+5，105+5，125+7，147+7，165+11，1 00029+971， 归纳推理的定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事 物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实 概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般 的推理。 例如：金、银、铜、铁受热后体积膨胀。它们是 金属的部分小类对象，受热后分子的凝聚力减弱，分 子运动加速，分子彼此距离加大，从而导致体积膨胀 。 所以，所有的金属受热后都体积膨胀。 归纳推理的一般步骤 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； 提出带有规律性的结论，即猜想； 检验猜想。 例1、已知数列an中，a1=1，且 试归纳出这个数列的通项公式。 费马猜想：任何形如 （nN*）的数都是质数 注意：归纳推理仅是猜想，其结论不一定正确 反例： 可能存在生命 这种由两类对象具有某些类似特征， 和其中一类对象的某些已知特征，推出另 一类对象也具有这些特征的推理称为类比 推理（简称类比）简言之，类比推理是 由特殊到特殊的推理 类比推理的定义 找出两类对象之间可以确切表述的相似特 征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象 的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。 观察、比较联想、类推猜想新结论 类比推理的一般步骤 例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长 的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的 集合. 圆 弦 直径 周长 面积 球 截面圆 大圆 表面积 体积 圆的性质球的性质 圆心与弦(不是直径)的中点 的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两弦相等 ；与圆心距离不等的两弦不 等，距圆心较近的弦较长 圆的切线垂直于过切点的半 径；经过圆心且垂直于切线 的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直 线必经过圆心 球心与截面圆(不是大圆)的圆点 的连线垂直于截面圆 与球心距离相等的两截面圆相等 ；与球心距离不等的两截面圆不 等，距球心较近的截面圆较大 球的切面垂直于过切点的半径； 经过球心且垂直于切面的直线必 经过切点 经过切点且垂直于切面的直线必 经过球心 课本P72探究 ： 类比推理举例 可以从不同角度确定类比对象： 构成几何体的元素数目：四面体 三角形 直角三角形 C90 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c 例3、类比平面内直角三角形的勾股定理,试给 出空间中四面体性质的猜想 3个面两两垂直的四面体 PDFPDEEDF90 4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1 个“斜面” S 因为tan三角函数, 观察与思考 1.所有的金属都能导电, 2.一切奇数都不能被2整除, 3.三角函数都是周期函数, 4.全等的三角形面积相等 所以铜能够导电. 因为铜是金属, 所以(2100+1)不能被2整除. 因为(2100+1)是奇数, 所以是tan期函数 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等. 如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等, 大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的 结论，这种推理称为演绎推理 注： 演绎推理是由一般到特殊的推理； “三段论”是演绎推理的一般模式；包括 大前提-已知的一般原理； 小前提-所研究的特殊情况 结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断 “三段论”是演绎推理的一般模式；包括 大前提-已知的一般原理； 小前提-所研究的特殊情况； 结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断 3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 若集合M的所有元素都具 有性质P,S是M的一个子集,那 么S中所有元素也都具有性质 P. M S a 例4.如图;在锐角三角形ABC中,ADBC, BEAC,D,E是垂足, 求证:AB的中点M到D,E的距离相等. A D E C MB (1)因为有一个内角是只直角的三角 形是直角三角形, 在ABC中,ADBC,即ADB=900 所以ABD是直角三角形 同理ABD是直角三角形 (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, M是RtABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线 所以 DM= AB 同理 EM= AB 所以 DM = EM 大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论 证明: 例:证明函数f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数. 满足对于任意x1,x2D,若x10 因为x1,x21所以x1+x2-20 因此f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2) 所以函数f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数. 大前提 小前提 结论 证明: 演绎推理是证明数学结论、建立数学体系 的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现