数值分析—填空练习复习题.pdf

1 绪论 (1). 要使20的近似值的相对误差限0.1%, 应至少取_4_位有效数字。 200.410, a1=4, r 1 2 1 a 10-(n-1) 0.1% ，故可取 n4, 即 4 位有效数字。 (2). 要使20的近似值的相对误差限0.1%, 应至少取_4_位有效数字,此时的绝对 误差限为 3 1 10 2 (3). 设 y=f (x1,x2) 若 x1,x2,的近似值分别为 x1*, x2*,令 y*=f(x1*,x2*)作为y 的近似值,其绝 对误差限的估计式为: | |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2| (4). 计计算算 f=(2-1) 6 , 取 21.4 , 利用下列算式，那个得到的结果最好？答： _C_. (A) 6 12 1 )( , (B) (3-22)2, (C) 3 223 1 )( , (D) 99-702 (5). 要使17的近近似似值值的相对误差限0.1%, 应至少取_位有效数字？ 170.410, a1=4, r 1 2 1 a 10-(n-1) 0.1% 故可取 n3.097, 即 4 位有效数字。 (6). 设 x=3.214, y=3.213，欲计计算算 u=yx , 请给出一个精度较高的算式 u=. u= yx yx (7). 设 x=3.214, y=3.213，欲计算 u=yx , 请给出一个精度较高的算式 u= . u= yx yx (8). 设 y=f (x1,x2) 若 x1,x2,的近似值分别为 x1*, x2*,令 y*=f(x1*,x2*)作为y 的近似值,其绝对误 差限的估计式为: | |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2|； 2 方程根 (9). 设设迭迭代代函函数数 ( (x x) )在在 x x* *邻近有有 r r（ 1 1）阶阶连连续续导导数数，且且 x x* * = = ( (x x* *) )，并并且且有有(k)(x*)=0 (k=1,r-1)，但(r) (x*)0，则 xn+1=(xn)产生的序列 xn 的收敛阶数为_r_ (10). 称称序序列列 x x n n 是是 p p 阶阶收敛的的如如果果c xx xx p n n n * * lim 1 (11). 用牛顿法求 f(x)=0 的 n 重根，为了提高收敛速度，通常转化为求另一函数 u(x)=0 的单根，u(x)= ( ) ( ) f x fx (12). 用用N Ne ew wt to on n法法求 求方方程程f f( (x x) )= =x x 3 3 + +1 10 0x x - - 2 20 0= =0 0 的的根根， 取取初初值值x x 0 0 = = 1 1. .5 5, , 则则x x 1 1 = = _ 解解 x x1 1 = =1 1. .5 59 97 70 01 14 49 9 (13). 用牛顿法解方程01 23 xx的迭代格式为_ 解 kk kk kk xx xx xx 23 1 2 23 1 (14). 迭代过程)( 1kk xx 收敛的充分条件是)(x 1._ (15). 用 Newton 法求方程 f(x)=x 3+10x-20=0 的根，取初值 x 0= 1.5, 则 x1= 1.5970149 (16). 用牛顿法解方程01 23 xx的迭代格式为 _ kk kk kk xx xx xx 23 1 2 23 1 _ (17). 用用N Ne ew wt to on n法法求 求方方程程f f( (x x) )= =x x 3 3 + +1 10 0x x - - 2 20 0= =0 0 的的根根， 取取初初值值x x 0 0 = = 1 1. .5 5, , 则则x x 1 1 = = _ 解解 x x1 1 = =1 1. .5 59 97 70 01 14 49 9 ( (1 18 8) ). . 迭迭代代公公式式 x xk k+ +1 1 = =x xk k( (x xk k2 2+ +3 3a a) ) / / ( (3 3x x k k2 2 + +a a) )是是求求 a a1 1/ /2 2的的 (12) 阶阶方法 3 方程组 (19). 矩阵的 LU 分解中 L 是一个 _为单位下三角阵，而 U 是一个上三角阵_。 (20). 设线性方程组的系数矩阵为 A= 6847 1531 3148 3412 ,全主元消元法的第一次可选的主 元素为 -8，或 8_，第二次可选的主元素为 8+7/8 或-8-7/8 _. 列主元消 元法的第一次主元素为 _8_；第二次主元素为(用小数表示) 7.5_; (21). 在方阵 A 的 LU 分解中, 方阵 A 的所有顺序主子不为零,是方阵 A 能进行 LU 分解的 充 分 (充分,必要)条件； 严格行对角占优阵 能_(能,不能)进行 LU 分解； 非奇 异矩阵_不一定_(一定，不一定)能进行 LU 分解。 (22). 设 A 是正定矩阵，则 A 的 cholesky 的分解 唯一 (唯一,不唯一). (23). 设 20 21 012 a aA，为使 A 可分解为 A=LLT，其中 L 是对角线元素为正的下三角 形矩阵，则 a 的取值范围是 ，取 a=1，则 L= 。 (24). 解 )3, 3(a， 3 2 3 2 0 0 2 3 2 1 002 4 迭代 (1). 32 11 A，则 1 | A ， 2 | A ， | A ； 答：4，3.6180340，5； (2). 已知方程组 2 1 2 1 132. 0 21 b b x x ，则解此方程组的 Jacobi 迭代法_是_收敛 （填“是”或“不” ） 。 (3). 给定方程组 1 1 1 211 111 112 3 2 1 x x x 记 此 方 程 组 的 Jacobi 迭 代 矩 阵 为 BJ=(aij)3 3，则 a23= -1； , 且 相应的 Jacobi 迭代序列是_发散_的。 (4). 设 3 ( )1f xx， 则( )f x关于0,1C的f 1 , 2 f 1 7 (5). 13 01 A，则) 1,) 1(|(|1)(, 4| 2, 1 2 1 AIAA (6). Rn 上的两个范数|x|p, |x|q等价指的是_C,DR,_C_|x|q _|x|pD |x|q _； Rn 上的 两个范数_一定_是等价的。 （选填“一定”或“不一定” ） 。 (7). T x)12, 4, 0 , 3(，则 1 | x 19 , 2 | x13_， | x_12 ； (8). 已知方程组 2 1 2 1 132. 0 21 b b x x ， 则解此方程组的 Jacobi 迭代法_收敛 （填 “收 敛”或“发散” ） ， (9). T X)4, 3 , 2(则 1 | X ， 2 | X ， | X 解 4| ,29| , 9| 21 XXX (10). 已知方程组 2 1 2 1 132. 0 21 b b x x ， 则解此方程组的 Jacobi 迭代法_ 收敛（填“是”或“不” ） ， 解 （3）因 132. 0 21 A的 Jacobi 迭代矩阵 032. 0 20 B，8 . 0)(B， 故 Jacobi 迭代是收敛的， (11). 已知方程组 26203 825 yx yx ，其雅可比法的迭代矩阵是_，高 斯-塞德尔法的迭代格式是_； 解 10 13 20 3 5 8 5 2 , 0 20 3 5 2 0 )1()1( )()1( kk kk xy yx (12). 已知方程组 2 1 2 1 132. 0 21 b b x x ， 则解此方程组的 Jacobi 迭代法_ 收敛（填“是”或“不” ） ， 解 因 132. 0 21 A的 Jacobi 迭代矩阵 032. 0 20 B，8 . 0)(B，故 Jacobi 迭 代是收敛的， (13). 已知方程组 26203 825 yx yx ，其雅可比法的迭代矩阵是_，高斯-塞 德尔法的迭代格式是_； 解 10 13 20 3 5 8 5 2 , 0 20 3 5 2 0 )1()1( )()1( kk kk xy yx (14). 2 1 0 10a A，要使0lim k k A，a 应满足_； 解 1a (15). T X)4, 3 , 2(则 1 | X ， 2 | X ， | X 。 13 01 A，则 1 | A ，)(A 。 解 4| ,29| , 9| 21 XXX。 ) 1,) 1(|(|1)(, 4| 2, 1 2 1 AIAA (16). 设若 10 31 A ,则矩阵 A 的 1-范数 1 A 4 ，cond1(A)= 16 。 (17). 如果线性方程组Axb用 Jacobi 迭代法，其迭代矩阵B满足 1 1B。如果用 Gauss-Seidel 迭代法解此线性方程组Axb， 则方法 一定 (一定,不一定)收敛 (18). 设 1111 1111 1111 1111 Q，则 2 Q 2 (19). T x)12, 4, 0 , 3(，则 1 | x ， 2 | x ， | x ； 答案： （1）19，13，12； (20). 方程组Axb用超松驰法求解时，迭代矩阵为UD)1()LD(B 1 , 要使迭代法收敛，条件 02 是 必要条件 (充分条件、必要条件、充要条件)； 如果A是正定矩阵，用超松驰法求解，方法收敛当且仅当在区间 (0,2) 时。 (21). 给定方程组 1 2 11 12 xa xa ，其 Jacobi 迭代格式的迭代矩阵为 0 0 a a 当 a 1 时，Jacobi 迭代格式收敛；其 Gauss-Seidel 迭代格式的迭代矩阵为 2 0 0 a a ，当 a 1 时 Gauss-Seideli 迭代格式收敛。 (22). 已知方程组 2 1 2 1 132. 0 21 b b x x ， 则解此方程组的 Jacobi 迭代法_是_收敛 （填 “是”或“不” ） (23). 已 知 43 21 A, 则 1 A_6_ ，A_7_ , A的 谱 半 径 ( )A 1 (533) 2 (24). （1）.设 3 ( )1f xx，则( )f x关于0,1C的f 1 , 1 f 1 4 , 2 f 1 7 。 (25). T X)4, 3 , 2(则 1 | X ， 2 | X ， | X 解 4| ,29| , 9| 21 XXX (26). 已知方程组 26203 825 yx yx ，其雅可比法的迭代矩阵是_，高斯-塞 德尔法的迭代格式是_； 解 10 13 20 3 5 8 5 2 , 0 20 3 5 2 0 )1()1( )()1( kk kk xy yx 设线性方程组的系数矩阵为 A= 6847 1531 3148 3412 ,列主元消元法的第一次主元素为 (13) ； 第二次主元素为(用小数表示) (14) ; 记此方程组的高斯-塞德尔迭代矩阵为 BG=(aij)4 4，则 a23= (15) , . (13) -8 ; (14) 7 .5; (15) -17/4; (27). 5 插值 (28). 在等式 n k kkn xfaxxxf 0 10 )(,中, 系数 ak与函数 f(x)有 关。 （限填“有” 或“无” ） (29). 设 lk(x) 是 关 于 互 异 节 点x0, x1, xn, 的 Lagrange 插 值 基 函 数 ， 则 n k k m k xlxx 0 )()(0 m=1,2,n (30). 用1n个不同节点作不超过n次的多项式插值，分别采用 Lagrange 插值方法与 Newton 插值方法所得多项式 (相等, 不相等)。 (31). 函数 3 32 0,10 ( ),01 (1) ,12 x f xxx xxx 与函数 3 3 21,10 ( ) 221,01 xxx g x xxx 中, 是三次样条函数的函数是 _f_ ，另一函数不是三次样条函数的理由是 _ 二阶导不连续_ 。 a) 设 Pk(xk,yk) , k=1,2,5 为函数 y=x2-3x+1 上的 5 个互异的点，过 P1,P5且次数 不 超过 4 次的插值多项式是 x2-3x+1 。 函数 3 32 0,10 ( ),01 (1) ,12 x f xxx xxx 与 函数 3 3 21,10 ( ) 221,01 xxx g x xxx 中,是三次样条函数的函数是 ( )g x ，另 一函数不是三次样条函数的理由是 不满足具有二阶连续导数 。 (32). 令 f(x)=ax7+ x4+3x+1, 则 f20, 21,27= a ；f20, 21,28= 0 (33). 设 )()()( )()()( )( 110 110 niiiiii nii i xxxxxxxx xxxxxxxx xl (i=0,1,n)，则 n k kk xlx 0 )( _x_ , 这里（xixj,ij, n2） 。 (34). 牛顿插商与导数之间的关系式为： ! )( , )( 10 n f xxxf n n (35). 设 x0, x1,x2是区间a, b上的互异节点，f(x)在a, b上具有各阶导数，过该组节点的 2 次插值多项式的余项为： R2(x)= )( ! 3 )( 2 0 )3( k k xx f (36). 在等式 n k kkn xfaxxxf 0 10 )(,中, 系数 ak与函数 f(x)_ 无_关. (37). 高次插值容易产生_龙龙龙龙格格格格（R Ru un ng ge e）现现象象。 (38). (39). 设 Pk(xk,yk) , k=1,2,5 为函数 y=x2-3x+1 上的 5 个互异的点，过 P1,P5且次数 不超过 4 次的插值多项式是 _ x2-3x+1_ 。 (40). 令 f(x)=x7+ x4+3x+1, 则 f20, 21,28 =_0_ (41). 确定 n+1 个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要_4n_个 (42). 若 f (x) 充充 分分 光 滑， 若 2 n+1 次 多 项 式 H2n+1(x) 满 足 H2n+1(xi)= f (xi), ), 2 , 1(),()( 12 nixfxH iin ,则称 H2n+1(x)是 f (x)的的 _ _ Hermite 插值_多项式，且余项 R（x）=f (x)H2n+1(x)= _ 22 1 2 0 )22( )()()( )!22( )( )( n n xxxxxx n f xR _； (43). 设 Pk(xk,yk) , k=1,2,5 为函数 y=x2-3x+1 上的 5 个互异的点，过 P1,P5且次数 不超过 4 次的插值多项式是 _ 。 解 （4）y=x2-3x+1 (44). 用1n个作不超过n次的多项值插值，分别采用 Lagrange 插值方法与 Newton 插 值方法所得多项式 相等 (相等, 不相等) 6 拟合 (1). 采用正正交交多多项项式式拟拟合合可 可避避免免最最小小二 二乘乘或或最最佳佳平 平方方逼逼近近中中常 常见见的的 _法方程组病态 _问问题题。 (2). 试确定0,1区间上 2x3的不超过二次的最佳一致逼近多项式 p(x), 该多项式唯一 否？答： p(x)=(3/2)x, ; 唯一。 (3). 设 f(x)Ca,b， f(x)的最佳一致逼近多项式是_一定_存在的。 (4). 在函函数数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (10) 范数, 在函数的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (11) 范数. 无穷范数； |f|；2-范数 (5). 若0(x), 1(x), n(x)是a,b上的正交族。 n k kk xax 0 )()(为 f(x)的最佳平方 逼近。系数 ak= , 1 , 0 ),( ),( nk f a kk k k (6). 在函数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 无穷 范数. 在函数的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 2 范数. (无 穷范数；2-范数，1-范数) ( (7 7) ). . 设 f(x)=2x4在-1,1上的不超过 3 次最佳一致逼近多项式 P(x)= 2x2-1/4 。 (8). 采采用用正正交交多多项 项式式拟拟合合可可避 避免免最最小小二二乘 乘或或最最佳佳平平方 方逼逼近近中中常常见 见的的 (9) 问 问题题. . (9). 在函函数数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (10) 范数. (10). 函数的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (11) 范数. (11). 函数 f(x)=|x| 在-1,1的，次数不超过一次的最佳平方逼近多项式是 1 2 。 7 积分 (45). Gauss 型求积公式不是 插值型求积公式。 （限填“是”或“不是” ） (46). n 个不同节点的插值型求积公式的代数精度一定会超过 n-1 次 (47). 设 )(n k C称为柯特斯系数 则 0 ( ) n n k k C =_1_ (48). 为辛卜生（Simpson）公式具有_3_次代数精度。 (49). 2n 阶 Newton-Cotes 公式至少具有 2n+1 次代数精度。 (50). 设公式 n k kkn xfAI 0 )(为插值型求积公式， 则 ), 1 , 0( d)( nkxxlA b a kk , 且 0 n k k A =b-a (51). n 个节点的插值型求积公式的代数精度不会超过 2n1 次。 (52). Gauss 点与积分区间_无关_但与被积函数_有关。 (53). 当常数 A= 10 9 ，B= 10 9 ，a 12 5 时，数值积分公式 2 2 16 ( )()(0)( ) 9 f x dxAfafBf a是 Gauss 型积分公式 (54). Simpsons 数 值 求 积 公 式 具 有 _3_ 次 代 数 精 度 ， 用 于 计 算 dxxxx)45. 02)2(ln( 2 1 0 4 所产生的误差值为_ 120 1 _； (55). 形如 b a n k kk xfAdxxf 0 )()(的插值型求积公式，其代数精度至少可达到 _n_阶，至多可达到_2n+1_阶； (56). 勒让德（Legendre）多项式是区间_-1,1_上，带权_1_正交的正 交多项 (3) 用梯形公式计算积分 23 2 x edx 9.219524E-003:此值比实际值 小 (大,小) (57). 用复化梯形公式计算积分 1 0 ( )f x dx ,要把区间0,1一般要等分 41 份才能 保 证满足误差小于 0.00005 的要求（这里 (2)( ) 1fx ） ；如果知道 (2)( ) 0fx ，则 用复化梯形公式计算积分 1 0 ( )f x dx 此实际值 大 (大，小)。 (58). 若用复化梯形求积公式计算积分 1 0 x Ie dx 区间0,1应分 2129 等分， 即要 计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过 7 1 10 2 ；若改用复化 Simpson 公式，要达到同样精度区间0,1应分 12 等分，即要计算个 25 点的函数值。 (59). Simpsons 数 值 求 积 公 式 具 有 _3_ 次 代 数 精 度 ， 用 于 计 算 dxxxx)45. 02)2(ln( 2 1 0 4 所产生的误差值为_ 120 1 _； (60). 形如 b a n k kk xfAdxxf 0 )()(的插值型求积公式，其代数精度至少可达到 _n_阶，至多可达到_2n+1_阶； (61). 若用复化梯形求积公式计算积分 1 0 x Ie dx 区间0,1应分 2129 等分， 即要 计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过 7 1 10 2 ；若改用复化 S