线性代数王定江第3章答案.pdf

- 1- 习习 题题 三三 1. 分别写出下列矩阵的行阶梯形、行最简形和标准形矩阵： （1） 12 ; 34 （2） 123 456 ; 789 （3） 11103 22124 11115 . 解： （1）行阶梯形： 31 3 1212 , 3402 rr 行最简形： 1 3 2 2 1 3 1 2 2 121210 , 340201 r r r r r 也是标准形 （2）行阶梯形： 3121 21 24 7 123123123 456036036 , 7890612000 rrrr rr 行最简形： 2 12 1 3 2 123123101 456036012, 789000000 r rr LL 标准形： 31 32 2 123101100 456012010 . 789000000 cc cc + LL （3）行阶梯形： 3221 31 22 111031110311103 221240012200122 , 111150021200036 rrrr rr 行最简形： 12 3 13 23 1 3 - 2 2 111031110311021 221240012200122 111150003600012 11005 00102, 00012 rr r rr rr + LL 标准形： - 2- 21 51 53 54 23 34 5 2 2 111031100510000 221240010200100 111150001200010 10000 01000 . 00100 cc cc cc cc cc cc + + L 2. 利用矩阵的初等行变换判断下列矩阵是否可逆, 若可逆求其逆矩阵. （1） 121 342 ; 541 （2） 231 123; 415 （3） 3141 1110 . 2011 1120 解： （1）对矩阵() A E做初等行变换, 即 21 31 3 5 121100121100 342010021310 5410010146501 rr rr 2312 32 7 100210100210 0213100201361 00116710011671 rrrr rr + 2 3 1 2 100210 01013 231 2 , 0011671 r r 所以, 矩阵可逆, 且 1 121210420 1 34213 231 21361 . 2 541167132142 = = （2）对矩阵() A E做初等行变换, 即 12 231100123010 123010231100 415001415001 rr - 3- 21 31 2 4 123010 077120 077041 rr rr 32 1012 73 70 077120 000121 rr , 所以, 矩阵不可逆. （3）对矩阵() A E做初等行变换, 即 12 3141100011100100 1110010031411000 2011001020110010 1120000111200001 rr 21 311 413 3 24 2 1110010044400400 0471130004711300 0231021004620420 0030010100300101 rr rrr rrr + + 12 32 40311100 04711300 00111120 00300101 rr rr 3 40311100 04711300 00111120 00300101 r 13 23 43 3 7 3 40042260 0408610140 00111120 00033461 rr rr rr + + 1 2 3 3 3 3 12001266180 0120241830420 00333360 00033461 r r r - 4- 14 24 34 4 8 1200061064 012006268 00300101 00033461 rr rr rr + 12 34 11 , 1212 11 , 33 10001 25 61 21 3 01001 21 61 22 3 001001 301 3 000114 321 3 rr rr , 所以, 矩阵可逆, 且 1 31411 25 61 21 33532 11101 21 61 22 33134 1 . 201101 301 302026 112014 321 368122 = = 3. 利用矩阵的初等变换解下列矩阵方程. （1） 01223 11415. 21036 = X 解：对矩阵() A B做初等行变换, 即 12 0122311415 1141501223 2103621036 rr 31 2 11415 01223 03814 rr 12 32 3 10218 01223 002713 rr rr + 12 32 3 10065 010916 002713 rr rr + 3 1 2 10065 010916 0017 213 2 r , 所以, - 5- 65 916 . 7 213 2 X = （2） 200200 130030 . 521001 = X 解：方法一：对矩阵() TT AB 做初等行变换, 即 1 3 2152006315600 032030032030 001001001001 r 1312 23 13 2 60136306006313 032030030032 001001001001 rrrr rr + 1 2 1 6 1 3 10011 213 6 010012 3 001001 r r , 所以, 11 213 6100600 1 012 31 210 =360 . 6 00113 62 311346 T X = = 方法二： （特殊方法）因为 11 |6 | |1 |6 B BABA A = , 所以 1 BA为可逆矩阵. 又因为()()() 11 BAA EB BAB X =, 所以对矩阵()A E做一系列初等行变 换将 A变为B , 则E 变为 1 XBA= , 即原问题的解. 对矩阵()A E做初等行变换, 即 () 21 3 1 2 5 2 200100200100 1300100301 210 5210010215 201 rr rr A E + = - 6- () 32 2 3 200100 0301 210 00113 62 31 rr B X + = , 所以, 100600 1 1 210 =360 . 6 13 62 311346 X = 4. 求下列矩阵的秩. （1） 101 01 1 . 111 （2） 1234 0112 . 1231 （3） 3132 5323 . 1350 7514 （4） 12111 24311 . 12133 00252 解： （1）对矩阵做初等行变换, 化为行阶梯形得 3132 101101101 01 1011011 , 111012003 rrrr A + = 所以( ) 3.R A = （2）对矩阵做初等行变换, 化为行阶梯形得 31 12341234 01120112 12310005 rr A = , 所以( ) 3.R A = （3）对矩阵做初等行变换, 化为行阶梯形得 - 7- 21 3131 41 5 3 7 313213501350 53235323012273 1350313208182 75147514016364 rr rrrr rr A = 23 32 42 4 11 , 32 1 4 13501350 04910491 04910000 04910000 rr rr rr r , 所以( ) 2.R A = （4）对矩阵做初等行变换, 化为行阶梯形得 21 31 2 1211112111 2431100111 1213300242 0025200252 rr rr A + = 3 32 4243 1 2 6 27 1211112111 0011100111 0006000010 0007000000 r rr rrrr , 所以( ) 3.R A = 5. 设矩阵 111 111 111 111 k k k k = A, 且( )3AR=, 求k的值. 解：对矩阵 A做初等行变换, 化为行阶梯形得 21 3114 41 2 111111111 1111110101 1111110011 1111110111 rr rrrr rkr kkk kkkk A kkkk kkkkk = 4342 111111 01010101 00110011 001(1)(2)000(1)(3) rrrr kk kkkk kkkk kkkkk + + + , 因为 ( )3R A =, 所以10k , (1 )(3)0kk+=, 求解得3.k = - 8- 6. 设矩阵 1223 4312 3119 a = A, 问a为何值时, ( )3RA, 则0.B 6. 设 A为n阶可逆矩阵, 则（ B ） （A）若=ABCB, 则=AC. （B） A总可以经过初等行变换化成E . （C）对矩阵( )A E施行若干次初等变换, 当 A变为E 时, 相应地E 变为 1 A . （D）以上都不对. 7. 设 A是m n 矩阵, ( )Rr=A , C是n阶满秩矩阵, 1 , ( )rr=BACB, 则 （ C ） （A） 1 rr. （B） 1 rr 时, 必有| | 0AB. （B）当mn 时, 必有| | 0=AB. （C）当n m 时, 必有| | 0AB. （D）当nm 时, 必有| | 0=AB. 9. 设 (3)n n 阶方阵 1 1 1 1 aaa aaa aaa aaa = A L L L MMMM L , 若 ( )1rn=A, 则a必为 （ B ） （A）1. （B） 1 1 n . （C） 1 . （D） 1 1n . 解：对 A做初等变换 1 11 11 100 101 10 10001 ii rr aaaaaa aaaaa Aaaaaa aaaa + = LL LL LL MMMMMMMM LL - 18- 1 1,1 1(1)(1)(2) 0100 0010 0001 jj cc j n nananaa a a a + + = + L L L L MMMM L , 因为( ) 1r An= , 所以1(1)0na+=, 即 1 1 a n = . 10. 设 ,A B均为非零n阶矩阵, 且=ABO, 则 A与B 的秩 （ D ） （A）必有一个为零. （B）一个小于n, 一个等于n. （C）都等于n. （D）都小 于n. 证明：因为 ,A B均为非零n阶矩阵, 所以( ),( )R An R Bn. 假设( )R An=, 那么 A为可逆矩阵, 进而由ABO=得BO=, 与已知条件矛盾. 因此, 必有( )R AnA A. （D） T 0, 所以AX= 也可能无 解. （D）若AX0=只有零解, ( ) R An=, 但有可能( )( )R AR A, 所以AX= 也可能 无解. 16. 设 A为m n 矩阵, m n , 非齐次线性方程组 =AX对应齐次线性方程组 =AX0, 下面结论正确的是（ B ） （A） =AX有无穷多解. （B）=AX0有非零解. （C）=AX0只有零解. （D） =AX无解. 17. 若n阶矩阵 A满足 2 +=AAO , 证明( )() RRn+=AAE. 证明：因为 2 AAO+=, 即 ()A AEO+=, 所以( )()R AR AEn+. 另一方面, ( )()()()( )R AR AERAR AER En+=+=. 综上, ( )()R AR AEn+=. 18. 若 2 AE= , 证明 ()().RRn+=AEAE 证明：因为 2 AE= , 即( )()AEAEO+=, 所以()()R AER AEn+. 另一方面, ()()()()(2 )( )R AER AER AER EARER En+=+=. 所以 ()()R AER AEn+=. 19. 设 A为 (2)n n 阶矩阵, * A 为 A的伴随矩阵, 则 () * ,( ) 1,( )1 ( )1 A AA A nRn RRn Rn = = 若 若 0，若 证明：当 ( )R An= 时, A为可逆矩阵, 从而 1 A也为可逆矩阵, 进而由 *1 AA A= 得 * A 也为可逆矩阵, 所以 * ().R An= - 21- 当( )1R An= 时, | | 0A =, 由行列式展开定理得 * AAA EO=, 所以 * ( )()R AR An+, 即 * ()( )1R AnR A= . 另一方面, 由( )1R An=知存在一个非 零的1n阶子式, 即 * A 有非零元素（一阶子式）, 所以 * ()1R A . 综上所证, * ()1