统计学考题集及答案.pdf

练习练习 1.1. 采用简单随机重置抽样的方法，从采用简单随机重置抽样的方法，从 20002000 件产品中抽查件产品中抽查 200200 件，其中合格品件，其中合格品 190190 件。要求：件。要求： （1 1）计算合格品率及其抽样平均误差。计算合格品率及其抽样平均误差。 （2 2）以以 95.45%95.45%概率保证程度，对合格品率和合格品数目进行区间估计。概率保证程度，对合格品率和合格品数目进行区间估计。 （3 3）如果合格品率的极限误差为如果合格品率的极限误差为 2.31%2.31%，则其概率保证程度是多少？，则其概率保证程度是多少？ 解：已知( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( ( ) ) ) )% %Z Z Z Z F F F F n n n n N N N N31313131. . . . 2 2 2 245454545. . . .959595952002002002000000000000002 2 2 2= = = = = = = = = = = = = =件件件件 ( ( ( ( ) ) ) )%p p p p 95959595 200200200200 190190190190 1 1 1 1= = = = = = =样本合格频率为：样本合格频率为： ( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) ) % n n n n P P P P P P P P p p p p 54545454. . . . 1 1 1 1 200200200200 95959595. . . . 0 0 0 01 1 1 195959595. . . . 0 0 0 01 1 1 1 = = = = = = = = = = = = ( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) ) ( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) )件件：合格产品数估计区间：合格产品数估计区间： ，：产品合格率的估计区间产品合格率的估计区间 , , , , NPNPNPNP % , , , , % P P P P %Z Z Z Z Z Z Z Z %Z Z Z Z F F F F 9619619619611 1 1 18388388388381 1 1 108080808. . . .989898980000000000002 2 2 292929292. . . .919191910000000000002 2 2 2 08080808. . . .9898989892929292. . . .9191919108080808. . . . 3 3 3 39595959508080808. . . . 3 3 3 395959595 08080808. . . . 3 3 3 354545454. . . . 1 1 1 12 2 2 22 2 2 29546954695469546. . . . 0 0 0 02 2 2 2 = = = = = = = =+ + + + = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ( ( ( ( ) ) ) )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( () ) ) )% F F F FZ Z Z Z F F F F % % Z Z Z Z Z Z Z Z 64646464. . . .868686865 5 5 5 . . . . 1 1 1 15 5 5 5 . . . . 1 1 1 1 54545454. . . . 1 1 1 1 31313131. . . . 2 2 2 2 3 3 3 3= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 练习练习 2 2某电子产品的使用寿命在某电子产品的使用寿命在 30003000 小时以下为次品，现在用简单随机抽样方法，从小时以下为次品，现在用简单随机抽样方法，从 50005000 个产品中抽个产品中抽 取取 100100 个对其使用寿命进行测试，其结果如下：个对其使用寿命进行测试，其结果如下： 电子产品使用寿命表 使用寿命（小时）产品个数 3 000 以下2 3 0004 00030 4 0005 00050 5 000 以上18 合计100100 根据以上资料，要求：根据以上资料，要求： （1 1）按重置抽样和不重置抽样计算该产品平均寿命的抽样平均误差。）按重置抽样和不重置抽样计算该产品平均寿命的抽样平均误差。 （2 2）按重置抽样和不重置抽样计算该产品次品率的抽样平均误差。）按重置抽样和不重置抽样计算该产品次品率的抽样平均误差。 （3 3）以）以 95%95%的概率保证程度，对该产品的平均使用寿命和次品率进行区间估计的概率保证程度，对该产品的平均使用寿命和次品率进行区间估计。 解： 使用寿命(小 时) 产品个数 （个） x x f f ( ( ( () ) ) )f f f fx x x xx x x x 2 2 2 2 分组组中值组中值 x xf小 时 3 000 以下2 2 50050025 5 0000006 6 771771 200200 3 0004 0003 3 50050030105105 0000002121 168168 000000 4 0005 0004 4 50050050225225 0000001 1 280280 000000 5 000 以上5 5 500500189999 0000002424 220220 800800 合计100100434434 0000005353 440440 000000 （1）( ( ( () ) ) )( ( ( ( ) ) ) )( ( ( () ) ) )小时小时小时小时 x x x xS S S S x x x x7 7 7 7 . . . .734734734734 1 1 1 1100100100100 00000000000044044044044053535353 3403403403404 4 4 4 100100100100 000000000000434434434434 = = = = = = = = = = = = = = 重置抽样 ( ) ()小时 5 .73 100 7 . 734 n X x = 不重置抽样：765.7299 . 0 5 . 73)1 ( 2 x = N n n （2）重置抽样： ()() %4 . 1 100 02 . 0 1 02. 0 n P1 P p = = = 不重置抽样：%386 . 1 99 . 0 %4 . 1 5000 100 1%4 . 1)1 ( )P1 (P p = = N n n （3）( ( ( ( ) ) ) )96969696. . . . 1 1 1 1%95959595= = = = = = =Z Z Z ZZ Z Z ZF F F F ()小时144 5 . 7396 . 1 = X %7 . 2%4 . 196 . 1 p = 估计区间为： ( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) ) , , , , X X X X小时小时，：4844844844844 4 4 41961961961964 4 4 41441441441443403403403404 4 4 41441441441443403403403404 4 4 4= = = =+ + + + ( ( ( () ) ) )( ( ( () ) ) ) %. . . . , , , , P P P P P P P P7 7 7 74 4 4 40 0 0 0: : : :7 7 7 7 . . . . 2 2 2 22 2 2 27 7 7 7 . . . . 2 2 2 22 2 2 2即即，：+ + + + 1.1.假设检验：总体平均数、总体成数假设检验：总体平均数、总体成数双侧和单侧；双侧和单侧； 练习练习 3 3 某牌号的彩电规定无故障时间为某牌号的彩电规定无故障时间为 1000010000 小时，厂家采取改正措施，现在从新批量彩电中抽取小时，厂家采取改正措施，现在从新批量彩电中抽取 100100 台台，测测 得平均无故障时间为得平均无故障时间为 1015010150 小时，标准差为小时，标准差为 500500 小时，能否据此判断该彩电无故障时间有显著增加（小时，能否据此判断该彩电无故障时间有显著增加（ 01. 0 =） ？ 解：()()() 150 10x 100n 000 10X 0小时件小时已知：= ( )() 01 . 0 500X （大样本）小时= ( ( ( () ) ) ) Z Z Z Z X X X X H H H H X X X X H H H H 检验检验单侧、单侧、： ：设：设： 00000000000010101010 00000000000010101010 1 1 1 1 0 0 0 0 = = = = ( ( ( () ) ) )33333333. . . . 2 2 2 298989898. . . . 0 0 0 001010101. . . . 0 0 0 02 2 2 21 1 1 101010101. . . . 0 0 0 0= = = = = = = = = = = = = = Z Z Z Z Z Z Z Z F F F F、 n n n n X X X Xx x x x Z Z Z Z3 3 3 3 100100100100500500500500 0000000000001010101015015015015010101010 = = = = = = = = = = = = Z Z Z ZZ Z Z Z= = = = = = = =33333333. . . . 2 2 2 23 3 3 3 显著的增加。显著的增加。该彩电的无故障时间有该彩电的无故障时间有接受接受拒绝拒绝 H H H H , , , , H H H H 1 1 1 10 0 0 0 练习练习 4 4 某市全部职工中，平常订阅某报纸的占某市全部职工中，平常订阅某报纸的占 40%40%，最近从订阅率来看似乎出现减少的现象，随机抽，最近从订阅率来看似乎出现减少的现象，随机抽 200200 户户 职工家庭进行调查，有职工家庭进行调查，有 7676 户职工订阅该报纸，问报纸的订阅率是否有显著下降（户职工订阅该报纸，问报纸的订阅率是否有显著下降（ 05 . 0 =、） ？ %p p p p n n n n n n n n P P P P 38383838 200200200200 76767676 05050505. . . . 0 0 0 0767676762002002002004 4 4 4 . . . . 0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 0 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 样本订阅率：样本订阅率： 已知：已知： ( ( ( () ) ) ) Z Z Z Z . . . .P P P P H H H H P P P P H H H H 检验检验单侧、单侧、： ：设：设： 4 4 4 40 0 0 0 4 4 4 4 . . . . 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 50F（t）=0.9973t3 所以， XX t30.0870.26（克） 这批茶叶的平均重量为 150.30.26 克，因此，可以认为这批茶叶达到了规格重量要求。 4对一批成品按不重复随机抽样方法抽选 200 件，其中废品 8 件，又知道抽样单位数是成品总量的 1/20， 当概率为 0.9545 时，可否认为这批产品的废品率不超过 5？（t=1.96） 4根据资料得： 027 . 0 0135 . 0 2 0135. 01 1 4 200 8 1 ）（ ）（ = = pp p t N n n PP n n P 所以，这批产品的废品率为（42.7） ，即（1.3，6.7） 。因此，不能认为这批产品的废品率 不超过 5。 2、某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，采取重复抽样方法随机抽取了 100 名下岗职工，其中 65 人为女性。试以 95的置信水平估计该城市下岗职工中女性所占比例的置信区间。 （ 2 1.96z=） （8 分） 2、解：已知100n=， 2 1.96z=， 65 65% 100 p= 根据公式得： 2 (1)65% (1 65%) 65% 1.96 100 pp pZ n =4 分 即 659.35%=(55.65%，74.35%)，95的置信水平下估计该城市下岗职工中女性所占比例的置信区 间为 55.65%74.35%。 4、某小区居民共有居民 500 户，小区管理者准备采用一项新的供水设施，想了解居民是否赞成。采取重复 抽样方法随机抽取了 50 户，其中有 32 户赞成，18 户反对。 （1）求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间，置信水平为 95.45%（ /2 2Z=） （6 分） （2）如果小区管理者预计赞成的比例能达到 80%，应抽取多少户进行调查？（设边际误差 E=0.08） （6 分） 4、(1) n = 50p = 32/50 =64%2 分 E= () () 2 1 0.640.36 213.58% 50 64%13.58%50.42%,77.58% pp n = 置信区间为即 ()() () 2 2 2 22 1 20.80.2 (2)100 0.08 pp n E = 应抽取 100 户进行调查。 4、为研究产品销售额与销售利润之间的关系，某公司对所属 6 家企业进行了调查，设产品销售额为 x(万 元)，销售利润为 y(万元)。调查资料经初步整理和计算，结果如下： x=225x 2=9823 y=13y 2=36.7 xy=593 要求：(1)计算销售额与销售利润之间的相关系数； (2)配合销售利润对销售额的直线回归方程。 （3）解释回归系数的含义（本题 10 分） 979797970 0 0 0 2 2 2 2515151518313831383138313 633633633633 131313137 7 7 7363636366 6 6 622522522522598239823982398236 6 6 6 131313132252252252255935935935936 6 6 6 r r r r ) ) ) )y y y y( ( ( (y y y yn n n n) ) ) )x x x x( ( ( (x x x xn n n n y y y yx x x xxyxyxyxyn n n n r r r r 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 . . . . . . . . . . . . = = = = = = = = = = = = = = = = （3 分） 2 分 2 分 5 分 1 分 686868680 0 0 0 6 6 6 6 225225225225 0760760760760 0 0 0 6 6 6 6 13131313 n n n n x x x x b b b b n n n n y y y y a a a a ) ) ) )0760760760760 0 0 0 8313831383138313 633633633633 22522522522598239823982398236 6 6 6 131313132252252252255935935935936 6 6 6 b b b b x x x xx x x xn n n n y y y yx x x xxyxyxyxyn n n n b b b b 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 . . . . . . ( ( ( (. . . . ) ) ) )( ( ( ( = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = (4 分 ) x x x x0760760760760 0 0 0686868680 0 0 0y y y yc c c c. . . . . .+ + + + = = = =（1 分） 回归系数的含义：当销售额每增长 1 万元时，销售利润平均增长 0.076 万元。 2、某企业生产一批灯泡 10000 只，随机抽取 400 只作耐用时间试验，测算结果，平均使用时间为 2000 小时，标准差为 12 小时。其中合格品 380 件。 要求：（1）试以 95.45%（t=2）的概率估计该批灯泡的耐用时数范围。 （2）试以 95.45%（t=2）的概率估计该批灯泡的合格率范围。（本题 10 分） 以 95.45%的概率，估计平均灯泡的耐用时数： （2 分） xx xxx+ （1 分） 595959590 0 0 02 2 2 22000200020002000x x x x595959590 0 0 02 2 2 22000200020002000. . . . . . + + + + （1 分） ( ( ( () ) ) )时）时）（ 181818182001200120012001x x x x 828282821998199819981998. . . . . . （1 分） 以 95.45%的概率，估计灯泡的合格率的范围： %95959595 400400400400 380380380380 p p p p= = = = = = =（1 分） ( ( ( () ) ) )%. . . . . . . .757575754 4 4 4050505050 0 0 0959595950 0 0 0p p p p1 1 1 1p p p p 2 2 2 2 p p p p = = = = = = = = = = = = （1 分） ( ( ( () ) ) ) %. . . .%)%)%)%)( ( ( ( . . . . ) ) ) )070707071 1 1 14 4 4 41 1 1 1 400400400400 04750475047504750 0 0 0 N N N N n n n n 1 1 1 1( ( ( ( n n n n p p p p1 1 1 1p p p p p p p p = = = = = = = = = = = = （1 分） pp pPp+ %. . . .%. . . .%070707071 1 1 12 2 2 295959595P P P P070707071 1 1 12 2 2 295959595 + + + + （1 分） %. . . .%. . . .1414141497979797P P P P8686868692929292 （1 分） 3、根据某地 2000 年到 2006 年财政收入的资料，得到财政收入的直线趋势方程为 X=27+5.5t(2000 年 t=1)，又知该地区文教科卫支出与财政收入的直线趋势方程为 Y=-0.01+0.2X，其中自变量是财政收入，试 估计 2007 年文教科卫的支出(单位：百万元)。 （本题 10 分） 因：在长期趋势X=27+5.5中 t=1 时为 2000 年 2007 年t=8（2 分） ) ) ) )08080808717171718 8 8 85 5 5 55 5 5 527272727X X X X2007 200720072007 ( ( ( (. . . . . . = = = = + + + += = = =（4 分） ) ) ) )1919191914141414 08080808717171712 2 2 20 0 0 0010101010 0 0 0 X X X X2 2 2 20 0 0 0010101010 0 0 0Y Y Y Y2007 200720072007 ( ( ( (. . . . . . . . . . . . . . . . . . = = = = + + + + = = = = + + + + = = = = （3 分） 此 2007 年文教科卫支出的估计值为 14.19 百万元。（1 分） 4、有甲乙两个生产小组，甲组平均每个工人的日产量为 36 件，标准差为 9.6 件，乙组工人日产量资料如 下： 日产量（件数）工人数（人） ) ) ) )( ( ( (. . . .%)%)%)%)( ( ( () ) ) )时时 595959590 0 0 04 4 4 41 1 1 1 400400400400 12121212 N N N N n n n n 1 1 1 1( ( ( ( n n n n 2 2 2 22 2 2 2 x x x x = = = = = = = = = = = = 102015 203038 304034 405013 （1）计算乙组平均每个工人的日产量和标准差； （2）比较甲、乙两生产小组哪个组的日产量差异程度大？（本题 12 分） 答： 组中值工人数（人）xf f f f fX X X Xx x x x 2 2 2 2 ) ) ) )( ( ( (75 2538950769.5 353411901028.5 45135853123.25 合计-29508075 （件）（件） 乙乙 5050505029292929 100100100100 2950295029502950 100100100100 1313131345454545343434343535353538383838252525251515151515151515 f f f f xfxfxfxf X X X X . . . .= = = = = = = = + + + + + + + + + + + + = = = = = = = (4 分) ( ( ( () ) ) ) （件）（件） 乙乙 999999998 8 8 8 100100100100 8075807580758075 f f f f f f f fx x x xx x x x 2 2 2 2 . . . .= = = = = = = = = = = = （4 分） 267. 0 36 6 . 9 = X V 甲 （1 分） 305. 0 5 .29 986. 8 = X V 乙 （1 分） 因为 0.3050.267，（1 分） 故乙组工人的日产量差异程度更大。(1 分) 5、某农场小麦播种面积为 1 万亩，为预计小麦产量，采用不重复简单随机抽 样， 从中抽取了 100 亩作样本，进行实割实测，得知样本平均亩产 200 公斤，样本方差 72 公斤。 要求：(1)以 95.45%（t=2）的可靠程度估计该农场小麦平均亩产的可能范围? (2)若概率保证程度为 95.45%，而抽样允许误差不超过 1 公斤， 必要抽样数目应为多少亩? （本题 12 分） 以 95.45%的概率，估计该农场小麦平均亩产范围： （4 分） xx xxx+ （1 分） ( ( ( () ) ) ) 848484840 0 0 01 1 1 11 1 1 1 100100100100 72727272 N N N N n n n n 1 1 1 1( ( ( ( n n n n 2 2 2 2 x x x x . . . .%)%)%)%)( ( ( () ) ) )= = = = = = = = = = = = 848484840 0 0 02 2 2 2200200200200x x x x848484840 0 0 02 2 2 2200200200200. . . . . . + + + + （2 分） ( ( ( () ) ) )）（ 68686868201201201201x x x x 32323232198198198198. . . . . . （1 分） 4某工厂有 1500 个工人，用简单随机重复抽样的方法抽出 50 个工人作为样本，调查其月平均产量 水平，得每人平均产量 560 件，标准差 32.45 要求： （1）计算抽样平均误差（重复与不重复） ； （2）以 95%的概率（z=1.96）估计该厂工人的月平均产量的区间； （3）以同样的概率估计该厂工人总产量的区间。 解：（1） 重复抽样：59 . 4 50 45.32 = n x 不重复抽样：=) 1500 50 1 ( 50 4532 )1 ( 22 N n n x （2）抽样极限误差 xx z= 1.964.59 =9 件 月平均产量的区间：下限:x x =560-9=551 件 上限:+x x =560+9=569 件 （3）总产量的区间： （5511500 826500 件；5691500853500 件） 5采用简单随机重复抽样的方法，在 2000 件产品中抽查 200 件，其中合格品 190 件. 要求： （1）计算合格品率及其抽样平均误差 （2）以 95.45%的概率保证程度（z=2）对合格品率和合格品数量进行区间估计。 （3）如果极限误差为 2.31%，则其概率保证程度是多少？ 解：(1)样本合格率 p = n1n = 190200 = 95% 抽样平均误差 n pp p )1 ( = 1.54% (2)抽样极限误差p=zp= 21.54% = 3.08% 下限:xp=95%-3.08% = 91.92% 上限:+xp=95%+3.08% = 98.08% 则：总体合格品率区间： （91.92%98.08%） 总体合格品数量区间（91.92%2000=1838 件98.08%2000=1962 件） (3)当极限误差为 2.31%时，则概率保证程度为 86.64% (z=) 28128128128116161616280280280280 10280102801028010280 288000028800002880