数理统计引言及4.1总体与样本(.ppt

数理统计的基础知识 1 1. 某电视机厂全年生产的电视机， 2.某个交通路口， 3.某汽车在高速公路上行驶, 4.有一大批工业产品, 其中参数 电视机的寿命， 设X为任一 服从什么分布？ 在任意一个小时内通过的车辆 服从什么分布？ 任一时刻的速度 服从什么分布？ 其中有正品和次品, 任取一件,记 服从01 分布: 数为X， 为X, 从中 该产品为正品 该产品为次品 2 数理统计 就是研究怎样有效地收集、整理和 带有随机性的数据,以便对所考察的问题 作出推断和预测, 分析, 直至为采取一定的决策和行动 提供依据和建议. 这种由局部观察来对总体下结论 必须建立在 科学的方法基础上,否则就会犯错误.数理统计的 就是给出这种统计推断任务之一以科学的理论 及方法. 3 数理统计 1. 如何从总体中抽样? 2.如何用所抽样品对总体进行推断? 抽样 全面调查(如人口普查) 部分调查 总体 部分 抽样 统计推断 估计假设检验 主要研究两方面的问题: 4 由于抽样是一个随机现象, 对总体所作的推断不可能绝对准确, 多少含有一定程度的不确定性, 这种不确定性 概率大推断比较可靠 概率小推断不太可靠 数理统计的核心问题是: 从总体中抽取样本 并且 必须伴有一定的概率 这种伴有一定概率的推断 所以根据部分观测 或试验的结果 用概率的大小表示. (部分资料), 根据样本所得到 的部分信息 对该总体作出推断(检验、估计) 以表明推断的 称为统计推断. 要求每个推断 可靠程度. 5 1.抽样分布 是进行统计推断的基础理论部分. 2. 参数估计 假设总体的分布类型已知, 3. 假设检验 对总体的分布 估计其中的参数. 或分布中的参数提出假设,讨论 样本信息 对假设作出成立与否的判断.怎样利用 4. 回归分析 之间的相互关系, 根据样本信息,对两个或两个以上 随机变量 进行统计推断. 6 4.1 总体与样本 一、总体与总体分布 总体：研究的对象的全体构成的集合. 个体：组成总体的每一个成员. 统计学中关心的不是每个个体的所有特性, 而仅仅关心它的某一项或某几项数量指标. 总体是一个随机变量.( 或随机向量 ) 总体的分布称为总体分布. 定义4.1 统计学中称随机变量( 或随机向量 )X 为总体, 并把随机变量( 或随机向量 ) X的分布 称为总体分布. 用X表示每个个体的这一项 数量指标. （几项） 7 总体中所含个体的数量 容量有限的总体 容量无限的总体 称为总体容量. 称为无限总体; 称为有限总体; 8 说明: 表示总体的X 既可以是随机变量， 也可以是 随机向量. 如果只关心每一个体的 一项数量指标， 则总体是随机变量； 数量指标， 如果关心两项 或两项以上 则总体就是随机向量. 但为简化讨论， 本书只考察一项数量指标的情形, 因此, 今后总体都是随机变量. 9 二、样本与样本分布 10 由于 所以样本通常 但当一次抽样实现后, 称它们为样本值 一是指某次抽取的 有时泛指一次抽取的可能结果, 从总体X中随机抽取n个个体 称为总体X的 这n个 一个容量为 的样本, n称为 是从总体X中可能 结果,是n个随机变量, 也把它们看成一个元随机向量 它们就变成了n个具体的 或样本观测值. 常有一个容量为n的样本时,每当提到总体 的 双重意义:具体数值,即样本值 这时 个体 样本容量. 随机抽取出来的 数值: 是指样本随机变量 11 抽样应满足下面两个条件: (1)随机性: (2)独立性: 满足以上两个条件的抽样 简单随机样本一定相互独立, 有了简单随机样本， 都与总体 总体中的每一个个体 有同等的机会 每次抽取的结果,不受其它抽取结果 也不影响其它抽取结果. 称为简单随机抽样 且每个 有相同的分布. 被抽到. 的影响, 就可以利用概率论中 独立， 同分布 条件下的一系列结论. 12 定义4.2 是一组相互 独立， 在一次试验中, 称为样本值 设X是总体, 的随机变量.且与 有相同分布则称 简单随机样本, 简称样本. 为来自总体 的 称为样本容量, 样本的具体观测值 或样本观测值. 13 设总体X的分布函数为 故样本的分布函数为： 因都与总体同分布， 故 的分布函数也是 14 由于 相互独立, 所以 (1) 若总体X 是连续型的 与总体 有相同的分布,所以 由于 所以 的 联合密度函数为 其概率分布为 由于 独立, 是离散型的, (2) 若总体X 与X同分布, 15 4.2 统计量 定义4.3 的函数,任一不含未知参数 为统计量. 说明: 也是随机变量. (2)统计量中可以有参数, 是来自总体X的样本, 称 (1)统计量 但不能有未知参数. 设 16 例 当已知时, 当未知时, 的一次观测值 由于统计量 就可以算出 称为统计量 观测值. 设总体 是来自 的一个样本, 是统计量; 不是统计量. 中不含未知参数, 对样本 的 17 二、常用的统计量 是来自总体X的样本,设 1.样本均值 2.样本方差 未修正样本方差 修正样本方差 要估计总体的方差用比用更好,简称 为样本方差. 18 未修正样本方差 样本方差 当 n 较大时, 19 样本方差 3.样本标准差 4.样本k阶原点矩 5.样本k阶中心矩 15 统称为矩统计量, 简称为样本矩. 它们都可表为样本的显式函数. 20 5.样本k阶中心矩 时， 21 6. 顺序统计量 是来自总体X的样本,设将各分量 按由小到大的次序排列成 称 为样本的一组 称为样本极小值; 称为样本极大值; 称为样本的极差. 顺序统计量. 22 三、枢轴量 定义 的分布已知, 中仅包含总体的一个 则称 是来自总体X的样本,设 如果函数 未知参数并且 设总体X的分布中 含有未知参数,为了估计, 需构造一个包含的样本函数 其分布已知. 已知分布 为枢轴量. 23 4.3 常用的统计分布 24 给定的 一、分位数 定义4.4 设随机变量X 对给定 的实数,如果实数满足条件 则称为X的分布的水平的上侧分位数. 当X是连续型随机变量时， 其密度函数为 的分布函数为 25 为 的 水平的上侧分位数. 给定的 为 的 水平1-的上侧分位数. 26 例 求标准正态分布的上侧分位数： 解 27 如果连续型随机变量X 的密度函数是偶函数. 即密度函数的图像关于 y 轴对称. 称X是对称分布的随机变量, 此时可定义 定义4.5其分布函数 对给定的实数,如果正实数 满足条件 则称水平的双侧分位数. 双侧 分位数. 设X是对称分布的随机变量, 为 为X的分布的 注意: 只有具有对称分布 的随机变量,才有双侧分位数. 28 具有对称分布 水平的双侧分位数.为X的分布的 对于的随机变量X 29 例 求标准正态分布的水平=0.05, 的双侧分位数. 及=0.1 解 =0.05时,设对应的双侧分位数为 =0.1时,设对应的双侧分位数为 30 函数: 如 函数有性质 如 31 1.定义 定义4.6 记为 则称X服从自由度为 的其中 时 与 有关. 若随机变量 的密度函数为 n为给定自然数. 32 即 当 时 , 指数分布.就是参数为 的 当 时 , 密度函数的图像 皆为单峰曲线， n 越大, 峰值越靠右, 曲线越平缓. 33 定理4.2 推论 相互独立，设随机变量 与都服从 则 若随机变量 相互独立, 则 分布, 都服从 分布, 34 定理 设则 因为 定理 若随机变量相互独立,且 则 证 相互独立,所以 也相互独立.根据 分布的可加性 , 即 P66，例2.29 当n较大时,可用正态分布近似. 35 例 且 求 解 设 相互独立 , 则 分布的自由度就是其数学期望 . 进而可求出 设 36 设对于给定的 水平的上侧分位数 给定的 37 例 设 例 例 设 当n较大时,可用正态分布近似. 当n45时, 有表可查.的上侧分位数 38 例 设 解 求 解 求 例 设总体 一个简单随机样本 , 为来自 的 39 相互独立 也相互独立. 求 例 设总体 一个简单随机样本 , 为来自 的 解 40 函数 如 函数有性质 在区间 41 三、F 分布 1.定义 定义4.7 的概率密度函数为 若随机变量 则称X服从 记为 自由度为m和n其中 是给定自然数. 的F分布, 称为第一自由度, 称为第二自由度. 42 即 43 2. F分布的典型模式 定理4.3 则 设随机变量X和Y 相互独立, 推论 若随机变量则 44 3. F分布的 设对于给定的 水平的上侧分位数 给定的 45 例 ( P276 ) 即 即 当0.1时, 可查表. 46 在F分布表中， 当 较大时, 例 设求 0.975 可用结论: 解 47 一般地，对有 证 设 证毕 48 四、t分布 1.定义 定义4.8 的概率密度函数为 若随机变量 则称X服从 记为t 分布, 其中 是给定自然数. 说明:为偶函数,其图象关于 轴对称. 轴为 的渐近线 . 与标准正态分布 的密度函数接近 . (4)当 较大时, 自由度为n 的 为函数的最大值. 49 即 是偶函数,得到由 分布的密度函数 50 定理4.4 2. 分布的典型模式 设随机变量 且X与Y独立, 则 51 设对于给定的 水平的上侧分位数 给定的 给定的 52 例 设 P286 53 例 设 54 4.4 抽样分布 55 定理 设 则 定理 若随机变量相互独立,且 则 定理4.3 则 设随机变量X和Y 相互独立, 定理4.4 设随机变量 且X与Y独立, 则 56 一、正态总体的抽样分布 定理 一个简单随机样本, 证 故它们的 X的则 因为独立,即且都与 同分布 , 线性组合 设总体 是来自 57 在此定理的条件下， 定理 一个简单随机样本, X的 则 设总体 是来自 58 定理4.1 一个简单随机样本,来自X的 设总体 是 分别为样本均值则 相互独立 . 和样本方差, 与 59 定理4.2 一个简单随机样本,来自X的 设总体 是 分别为样本均值和样本方差, 则 1. 单正态总体的抽样分布 60 2. 双正态总体的抽样分布 设两个正态总体 的样本, 与 相互独立, 是总体X的容量为 的样本 , 是总体Y的 容量为 与也相互独立,故 P134 定理4.3 （1） 61 设两个正态总体 的样本, 与 相