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stat 第三章第三章 统计数据的表现形式统计数据的表现形式 总量指标总量指标 相对指标相对指标 平均指标平均指标 变异指标变异指标 stat 、总量指标 一、总量指标的概念和作用 二、总量指标的分类 1、反映总体内容不同： 总体单位总量 总体标志总量 2 、时间状态不同： 时期指标 时点指标 stat 1、按反映总体的特征分 总体总量由总体单位数直接加总而 来的，是反映总体单位数多少的总量指标 ； 标志总量是用来反映总体单位某一 数量标志值总和的总量指标。 例： 1992年我国有工业企业861.21万个， 工业净产值7287.63亿元。 stat 2、按反映的时间状况分 时期指标反映总体在一段时期内活动过 程的总量指标。时期指标的指标值可以连续计数 ，累计相加，其值的大小和时间的长短有直接关 系； 时点指标反映总体在某一时刻（瞬间） 状况的总量指标。时点指标的数值只能间断计数 ，不能累计相加计算，其值的大小和时间的长短 没有直接关系。 区分关键：不同时期的总量指标加总后是否有 实际意义。 stat 下列指标属于时期指标还是时点指标？ n国内生产总值 n居民银行存款余额 n居民住房总面积 n总人口数 n出生人口数 stat 三、统计总量指标时应注意的问题 n科学性 n可比性 n统一性 stat 、相对指标 一、相对指标概述 1、概念：相对指标又称相对数，它是 两个有联系的指标对比的比率。 2、作用：最常用的对比分析方法 3、表现形式 stat 二、相对指标的分类 计划完成相对数检查计划完成程度 结构相对数反映总体内部的结构和分布 比例相对数反映现象内部比例关系 比较相对数反映同一现象在不同总体之间的关系 动态相对数反映现象发展变化的状态 强度相对数反映现象强度、密度和普及程度 stat （一）计划完成相对指标 1、概念和公式 公式： 计划数为 绝对数 计划数为 相对数 例1、某地上年国内生产总值为500亿元，计划 当年比上年增加50亿元，实际增加了60亿元。该地 计划完成程度如何？ 只能： =101.8% 实际完成数 计划完成数 101.8%的经济意义：国内生产总值计划超额完成1.8% 60 / 50 ? 例2、某地计划国内生产总值比上年增长10%，实 际增长12%。该地计划完成程度如何？ 例3、某企业计划明年把单位成本降低3% ，实际降低2%。该企业是否完成了单位成本 降低计划？ 问：是否完成任务？ 该企业未完成降低单位成本的计划 stat 2、判断完成计划与否的标准 n正指标： 计划任务按最低限额规定以达到和 高于100为完成或超额完成计划。 （产量、产值、利润等） n逆指标： 计划任务按最高限额规定以达到或 低于100为完成或超额完成计划。 （成本、原材料消耗等） stat 检查中长期计划任务的完成情况时，根据计划指标检查中长期计划任务的完成情况时，根据计划指标 的性质不同，分为水平法和累计法。的性质不同，分为水平法和累计法。 n n 水平法水平法是以计划期期末水平为考核对象，适用于反映生产是以计划期期末水平为考核对象，适用于反映生产 能力的经济指标。能力的经济指标。 n n 计算公式：计算公式： 关于长期计划完成程度的考核关于长期计划完成程度的考核 计划完成相对数 计划期末实际达到的水平计划期末实际达到的水平 计划期规定的期末水平计划期规定的期末水平 在计划期内连续在计划期内连续1212个月内（可跨年度）达到计划个月内（可跨年度）达到计划 规定的期末水平就算完成任务。规定的期末水平就算完成任务。 stat 例4：某企业五年计划中规定：产量在最后一 年达到50万吨。实际完成情况如下： 第第 一一 年年 第第 二二 年年 第三年第三年第四年第四年第五年第五年 上上 半半 年年 下下 半半 年年 一一 季季 度度 二二 季季 度度 三三 季季 度度 四四 季季 度度 一一 季季 度度 二二 季季 度度 三三 季季 度度 四四 季季 度度 产量（ 万吨） 404043432222222210101111111112121212131313131414 计算计划完成相对指标； 计算提前完成时间 stat n n 累计法：累计法：以整个计划时期的累计总和为考核对象，适 用于检查计划期内构成国民财产存量个经济指标。 n n 计算公式：计划完成相对数计算公式：计划完成相对数=实际完成累计数实际完成累计数/ /计划规计划规 定累计数定累计数100%100% n n 例例5 5、某地区、某地区“ “九五九五” ”期间，五年基本建设投资总额计划期间，五年基本建设投资总额计划 为为250250亿元，而这一时期实际累计的投资额为亿元，而这一时期实际累计的投资额为275275亿元亿元 ，计算计划完成相对数。，计算计划完成相对数。 stat 例6：某地基本建设投资第八个五年计划资料如下 ： 19911992199319941995合计 计划投资额2002402603003601360 实际完成投资额2082502904205101678 累计完成投资额20845874811681678 单位：亿元 stat （二）结构相对指标 结构相对数（又称比重）：统计分 组的基础上，利用总体的部分数值与总体 的全部数值的对比，来反映社会经济现象 的内部结构以及分布状况 stat 我国第四次人口普查按文化程度分组统计资料 文化程度人数（万人）比重（） 大学本科及以上613.85 0.62 大学专科 961.90 0.97 中专 1728.37 1.74 高中 7260.38 7.30 初中 26338.49 26.50 小学 42020.53 42.27 文盲及半文盲 20485.48 20.61 总计 99408.99 100.00 stat 年份 国内生产总 值(亿元) 国内生产总值构成（% ） 年底 从业 人员( 万人) 从业人员构成（%） 第一 产业 第二 产业 第三 产业 第一 产业 第二 产业 第三 产业 199226651.921.843.934.36555458.821.719.8 199334560.519.947.432.76637356.422.421.2 199446670.020.247.931.96719954.322.723.0 199557494.920.548.830.76794752.223.024.8 199666850.520.449.530.16885050.523.526.0 199773142.719.150.030.96960049.923.726.4 199876967.118.649.332.16995749.823.526.7 199980729.817.348.732.97058650.123.026.9 国内生产总值构成与从业人员构成 (国内生产总值=100) stat 结构相对指标的特点 n子项指标数值包含在母项指标数值中 n同一总体中，各部分（组）结构相对指 标相加的总和等于100或系数1 n分子与分母不能互换位置 stat （三）比例相对指标 比例相对数：是在总体分组的基础上， 各组成部分之间的数量对比的比值，反映 总体内部的比例关系（结构性的比例）。 我国人均可支配收入比较分析 9999年年9595年年9090年年8686年年 最高最高5 5城市城市 ( (元）元） 9 0649 064 6 4036 403 1 9921 992 1 1631 163 最低最低5 5城市（元城市（元 ） 4 4614 461 3 1593 159 1 2141 214 755755 两者之比（倍两者之比（倍 ） 2.032.03 2.032.031.641.641.541.54 绝对差额（元绝对差额（元 ） 4 6034 6033 2443 244777777408408 stat （四）比较相对数 比较相对数：相同时间不同空间同类 现象数值的对比，用以比较不同国家、不 同地区、不同单位之间的差异程度。 该指标一般用倍数或百分数表示，分子与 分母可以互换。 stat 小学小学中学中学高等院校高等院校 美国美国18.3 18.314.214.215.615.6 中国中国24.2 24.216.816.89.89.8 二者之比二者之比 （倍或（倍或%） 0.7560.756（倍）（倍） (75.6%)(75.6%) 0.845(0.845(倍倍) )（ 84.5%)84.5%) 1.592(1.592(倍倍) )（ 159.2%)159.2%) 1997年中美小学、中学、高等院校生师比 stat （五）动态相对指标 动态相对数：是总体不同时间的同一指标 对比的比值，可以反映现象发展变化的相对程 度（即发展速度）。 stat 国别、地区进出口总额出口额进口额 99年98年 99年是98年 的（%） 99年 99年是98年 的（%） 99年 99年是98年 的（%） 美国1754916250108.06950101.810599112.5 德国1013110135100.0540599.64726100.4 日本72716684108.84175107.63096110.4 英国58915881100.2268498.43207101.7 法国5850594898.4299097.9286098.8 加拿大45884225108.62386111.32202105.8 意大利4468458197.5230895.32160100.1 荷兰39313684106.7201101.51890112.9 中国36073240111.31949106.01658118.2 中国香港3543359498.61748100.0179597.2 世界主要地区进出口变化表 stat （六）强度相对指标 强度相对数：是性质不同但又有联系 的两个现象的总量指标对比的比值，用来 反映现象的强度，密度和普遍程度。例如 人口密度、每万人拥有医院病床数、人均 绿地面积等均为强度相对数。 按人口平均的主要工业产量指标 年 份 布 （米/人 ） 糖 (公斤/人) 钢 (公斤/人) 原煤 （吨/人 ） 原油 (公斤/人 ) 发电量 (千瓦小时/人) 199016.65.158.41.0122547 199115.85.661.70.9123589 199215.97.069.51.0122647 199319.66.576.01.0123712 199417.75.077.71.0123779 199521.64.679.21.1125836 199617.25.282.31.2129888 199720.25.788.61.1131923 199819.46.693.11.0130939 199919.96.999.10.8128989 stat 1、是惟一有单位的相对数； 强度相对数的特点： 2、分子分母可以互换 3、强度相对数常带有“人均”字样，但不 是平均数（含义不同）。 stat 例例7 7、某地区面积、某地区面积100100平方公里，拥有人口平方公里，拥有人口25002500 万，计算人口密度。万，计算人口密度。 例例8 8、某市人口数、某市人口数158000158000人，有零售商店人，有零售商店790790个个 ，计算该市的零售商业网点密度，计算该市的零售商业网点密度 stat 不同时期 比 较 动 态 相对数 强 度 相对数 不同现象 比较 不同总体 比较 比 较 相对数 同一总体中 部分与部分 比 较 部分与总体 比 较 实际与计划 比 较 比 例 相对数 结 构 相对数 计划完成 相对数 同一时期比较 同类现象比较 stat 三、计算和应用相对指标应注意的问题 1 正确选择对比基数 2 确保可比性 3 相对数与绝对数结合运用 4 多种相对数综合运用 stat 、平均指标 一、平均指标概述 统计分组的局限统计分组的局限 （一）平均指标的概念 平均指标又称平均数，它是将一个同质总体 各单位之间量的差异抽象化，用一个指标来代表总 体各单位的一般水平，是对总体分布集中趋势集中趋势或中中 心位置心位置的度量。 数据集中区 变量x stat （二）平均指标的种类（二）平均指标的种类 静态平均数静态平均数和和动态平均数动态平均数 数值平均数数值平均数根据统计数列的所有各根据统计数列的所有各 项数据计算的平均数。项数据计算的平均数。 位置平均数位置平均数根据总体中处于特殊位根据总体中处于特殊位 置上的个别单位或部分单位的标志值来确定置上的个别单位或部分单位的标志值来确定 的平均数。的平均数。 stat 二、数值平均数 （一）算术平均数 1、基本公式 例： 平均工资=工资总额/职工人数 平均成本=总成本/产量 stat 2、简单算术平均数 计算公式 stat 例9： 6名学生的考试成绩(分)分别 为：79、82、87、60、95、91，他们的 平均成绩是多少？ stat 日产量（件）工人人数（人 ） 1050 20100 表1 某企业日产量 日产量（件）工人人数（人 ） 10100 2050 表2 某企业日产量 stat 3、加权算术平均指标 n公式： 按频数 按频率 stat 例10： 工人日产产量（件 ） 工人人数（人 ） 工人人数比重（%） 10 11 12 13 14 70 150 380 150 100 8.75 12.50 47.50 18725 12.50 合 计计800100.00 stat 总产量： 月工资组中值职工人数 500以下450208 93600 500-600550314 172700 600-700650382 248300 700-800750456 342000 800-900850305 259250 900-1000950237 225150 1000-1100105078 81900 1100以上115020 23000 合计-2000 1445900 例11： 某企业职工按月工资分组 元 stat 注意：相对数的平均数 n计算相对数的平均数，应符合所求的相 对数本身的公式。 n如：计划完成相对数的平均数 stat v 对于分组资料，当各组的权数完全相等时 ， 简单算术平均指标加权算术平均指标 即： 当f1f2fn时， stat 4、算术平均指标的特点和数学性质 特点： v 算术平均数受变量值和变量值出现次数 的 共同影响； v 算术平均数靠近出现次数最多的变量值 ； v 算术平均数受极端变量值的影响； stat 数学性质： v 各个变量值与平均数离差之和等于零 v 各个变量值与平均数的离差平方之和为 最小值 stat 例12：某供销社分三批收购某种农副产品，其 收购单价及各批收购额如下 （二）调和平均数 批次单价（元） 收购额（元） 12.406000 22.2512000 32.152150 合计20150 xfx stat 调和平均数和算术平均数的关系 平均数形式适用情况 算术平均数 简单1、未分组数据；2、已知分布数 列各组代表值且频数相等 加权已知变量各组代表变量值和频 数（频率） 调和平均数已知各组的代表变量值和标志 总量 stat 销售计划完销售计划完 成程度（成程度（ ） 商店商店 个数个数 实际零售实际零售 额（万元额（万元 ） 流通费用流通费用 率（）率（） 80-90445914.3 90-100368413.2 100-1108134412.0 110-120594311.0 合计20 流通费用（流通费用（ 万元）万元） 计划零售计划零售 额（万元额（万元 ） stat （三）几何平均数 分组数据 stat 例13： 某企业生产某种产品要经过三道工序 ，各工序的合格品率分别为95%、96%和 98%。该产品三道工序的平均合格品率为多 少？ n例14 n 某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产 品的不合格率分别为5%、8%、10%、15% 、 20%，整个 流水线产品合格率？ n例15 n 某金融机构以复利方式计息。近12年来的年利率有4 年为3%、2年为5、2年为8%、3年为10%、 1年 为15%。则12年的平均年利率？ n 平均年利率=106.82%-1=6.82 stat 二、位置平均数 （一）中位数 中位数是根据变量值的位置来确定 的平均数。将变量值按大小顺序排序， 处于中间位置的变量值（或数据）即中 位数。由于中位数是位置代表值，所以 不会受极端值的影响，具有较高的稳健 性。 stat 中位数的确定方法 n未分组资料 1、将标志值按大小顺序排列 2、当n为奇数，中位数为第（n1）/2 项，即中间一项所对应的标志值； 3、当n为偶数，中位数为中间两项的算 术平均数。 stat n分组资料 1、计算累计频数，确定中位数组 2、根据公式计算中位数： 下限公式（按由小到大累计）： 上限公式（按由大到小累计）： 例16：某公司职工按月工资分组 月工资职工人数（人 ） 向上累计次数（人 ）500以下208 208 500-600314 522 600-700382 904 700-800456 1360 800-900305 1665 900-1000237 1902 1000-110078 1980 1100以上20 2000 合计2000 stat （二）众数 众数是指总体中出现次数最多或频 率最大的变量值（数据）。众数也是一 种位置平均数，且也不受极端值的影响 。 公司职工按月工资分组 月工资职工人数（人 ） 500以下208 500-600314 600-700382 700-800456 800-900305 900-1000237 1000-110078 1100以上20 合计2000 其中： stat 四、各种平均数的比较 （一）数值平均数和位置平均数的比较 （二）算术平均数与众数、中位数的比较 中位数、众数和平均数之间的数量关系决 定于总体内次数分配的状况。 对称钟形分布情形下： 非对称左偏分布情形下： 非对称右偏分布情形下： stat 位置平均数与算术平均数的关系 X f X f X f (对称分布) 正偏态分布（右 ） 负偏态分布(左 ） 在偏斜不大时 stat 作业：根据某城市500户居民家计调查结果，将居民户按其食 品开支占全部消费开支的比重（即恩格尔系数）分组后，得到 如下的频数分布资料： 要求：1、据以计算该城市恩格尔系数的中位数和众数 ，并说明其具体的分析意义； 2、据以计算恩格尔系数的算术平均数； 3、试分析，该算术平均数是否能说明该城市恩 格尔系数的一般水平？为什么？ 恩格尔系数（）居民户户数（户户）向上累计户计户 数（户户 ） 20以下66 20303844 3040107151 4050137288 5060114402 607074476 70以上24500 合计计500 stat 统计陷阱统计陷阱 n房地产 年收入约1500015000美元 n纳税委员会 年收入约35003500美元 精心挑选的平均精心挑选的平均 数数 stat 第五节 变异指标 一、变异指标的概述 设某车间有如下两个生产小组，某周5天的产量： 甲：171，172，172，172，173（件） 乙：220，190，170，150，130（件） 不难看出两组的平均日产量均为172件。平均日 产量172件的代表性甲组比乙组好。 stat 购货代理商 定期向两个不同的供货商订货，两家供货商都表示定期向两个不同的供货商订货，两家供货商都表示 大约需要大约需要1010个工作日交付订货。个工作日交付订货。 若干个月后：两家交付订货时间的平均数都市若干个月后：两家交付订货时间的平均数都市1010天天 下图是交货时间频数分布图下图是交货时间频数分布图 愿意选择哪一家供货商？愿意选择哪一家供货商？ stat stat 1、变异指标的概念 变异指标反映总体各单位标志值差异程度 或离散程度的综合指标。 2、作用 （1）反映平均指标的代表性 （2）表明现象的稳定性和均衡程度。 变异指标越大，平均数代表性和现象稳定性越小 变异指标越小，平均数代表性和现象稳定性越大 stat 二、极差和分位差 （一）极差（全距） 即最大的变量值与最小的变量值之差，用 表示。 极差反映了变量分布的变异范围或离散幅 度，在总体中任何两个单位的标志值之差都不 可能超过极差： stat :极差的特点 n计算简便，涵义直观，运用方便 n仅仅取决于两个极端值的水平，不能反 映其间的变量分布情况 n受个别极端值的影响过于显著 n对于组距式数据只能求近似值。 stat 二、平均差 公式 未分组资料 分组资料 stat 例17： 计算某公司200名工人日产量的平均差 日产量 （件） 工人数 （人）f （件）x 20-301025250-1717170 30-4070352450-77490 40-5090454050+33270 50-6030551650+1313390 合计20084001320 组中值 stat 三、标准差和方差 n方差和标准差是测度标志变异最重要， 最常用的指标。 未分组 分组 成绩（分 ） 学生人数f 552-20.37829.8738 6515-10.371613.0535 7519-0.372.6011 85159.631391.0535 85319.631156.0107 合计544992.5926 stat :性质 n1、方差和标准差具有“平移不变”的特性。 若a为任意常数，则变量yxa的方差和 标准差与原变量相同，即有： n2、将原变量乘以一个任意常数b，则新变 量ybx的方差和标准差分布为原来的b2 倍和|b|倍，即有： stat n3、如果两个变量x和y相互独立，它们的代数 和的方差就等于原来两个变量的方差之和， 它们的代数和的标准差则等于两个变量方差 之和的正平方根，即有： stat 例18：已知某校一年级小学生语文成绩x的 标准差为10分，数学成绩y的标准差为6分， 则两门功课总成绩的方差和标准差为多少？ 解： stat n4、在总体分组的条件下，变量的总方差 可以分解为组内方差平均数和组间方差两 部分，即有： 其中： 组内方差平均数 组间方差 stat 例19：设某集团所属三个公司的员工人数和工资 水平资料如下表所示，问该集团员工工资水平的 方差是多少？ 所属公司员员工人数（人 ） 平均工资资 （元） 工资标资标 准差（ 元） A公司1501000252.98 B公司1151043306.21 C公司501320433.13 stat stat 四、是非标志的平均数和标准差 1、是非标志 1具有某种属性 p具有某种属性的单位的概率 0不具有某种属性 q不具有某种属性的单位的概率 其中： pq1 2、平均数和标准差 平均数p 标准差 stat 五、变异系数 其他指标的局限： “有计量单位，需要换算； “变量值水平不相同的情况下，难以衡量； “变量性质不同时，难以衡量 stat 平均差系数 stat 练习：有两种不同的农作物品种，分别在练习：有两种不同的农作物品种，分别在5 5 个田块上试种，其产量资料如下：个田块上试种，其产量资料如下： 甲品种乙品种 田块面积（公顷 ） 产量（千克）田块面积（公顷 ） 产量（千克） 1.212001.51680 1.110451.31300 1.011001.31170 0.98101.01208 0.88400.9630 分别计算甲乙两品种农作物平均产量，并判别谁 的代表性大。 stat Excel 应用 n常用的统计函数 stat 复习和补充复习和补充 n n 统计数据收集统计数据收集 n n 五种调查方式五种调查方式 n n 统计数据的整理统计数据的整理 n n 统计分组统计分组 n n 统计表和统计图统计表和统计图 n n 统计数据的表现统计数据的表现 n n 总量指标总量指标时期指标和时点指标时期指标和时点指标 n n 相对指标相对指标计划完成相对数计划完成相对数 n n 平均指标平均指标数值平均数和位置平均数数值平均数和位置平均数 n n 变异指标变异指标标准差和标准差系数标准差和标准差系数 分布数列分布数列 种类种类 编制编制 stat 标准差的简化公式： stat 案例 大学毕业生表现 n1、问题的提出 振兴大学是一所综合性大学，有三个附属学院， 分别是商贸学院、生物学院和医学院。近期该校管理 层为了了解社会对本校学生的满意程度，以此促进本 校教学改革，其中进行了一项对本校毕业生的调查。 调查者随机抽查了48名毕业生组成样本，要求他们 所在的工作单位对其工作表现、专业水平和外语水平 三个方面的表现进行评分，评分由0到10，分值越大 表明满意程度越高。收集有关样本数据如表3-1和表 3-2。 stat 表3-1 48名毕业生调查评分资料表 学生 编号 工作 表现 专业 水平 外语 水平 学生 编号 工作 表现 专业 水平 外语 水平 178313877 289414966 387415956 498516773 576317752 674618954 776419977 865820995 986321864 1096722765 1176623945 1292224868 stat 续前表 学生 编号 工作 表现 专业 水平 外语 水平 学生 编号 工作 表现 专业 水平 外语 水平 2566637882 2678438763 2777739885 28752401075 29962411076 3087642967 3198443747 3274544845 3397945866 34965461086 3589547987 3676648857 stat 表3-2 分学院评分汇总表 stat 校管理层希望在调查分析报告中阐述以下几 个问题： &用人单位对该校毕业生哪个方面最为满意？哪 个方面最不满意？应在哪些方面做出教学改革？ &用人单位对该校毕业生哪个方面的满意程度差 别最大？什么原因产生的？ &社会对三个学院的毕业生的满意程度是否一致 ？能否提出提高社会对该校毕业生的满意程度的 建议？ stat n2、数据描述和分析 （1）从图一可看出，随机抽取的48名学生是由附属商贸 学院、生物学院和医学院毕业生组成，各学院学生毕业生人 数分别是17人、17人和14人，分别占样本的35.4%、35.4%和 29.2%，可见各学院抽取毕业生人数大致相同，样本具有一 定代表性。 stat 工 作 表 现现 专专 业业 水 平 外 语语 水 平 平均数8.0426.3755.083 中位数865 众数765 标标准差1.0311.3621.173 方差1.0621.8563.142 峰值值-0.861-0.532-0.628 偏度0.0360.064-0.107 极差457 最小值值642 最大值值1099 求和386306244 计计数484848 表3-3 48名毕业生描述统计表 （2）从表3-3可以看出： a. 用人单位对振兴大学毕业生的工 作表现评估分最高，而外语水平 评估分最低。两者的平均评估分 相差2.96分，由此可见用人单位 最满意该校毕业生的工作表现， 最不满意毕业生的外语水平。这 反映出毕业生适应能力比较强， 也反映出振兴大学在培养学生社 会实践能力方面卓有成效。从用 人单位对毕业生外语水平评分普 遍偏低看，反映出该校的外语教 学方面存在严重问题，今后需要 在外语方面加大力度进行改革。 stat n 用人单位对振兴大学毕业生的外语水平评估 分差异最大，样本评估分的标准差为1.77分 ，毕业生的外语水平评估分最高达9分，最低 才2分，相差7分，这说明了振兴大学毕业生 外语程度相差悬殊，参差不齐，这可能是该 校在招生中忽视对学生外语成绩的考虑所致