《音乐中的数学之美》PPT课件.ppt

LOGO 音乐中的数学之美 目 录 音乐与数学结合的起源 乐理中的数学规律 乐曲结构与黄金分割 和声的傅立叶分析 乐器中的数学奥妙 音乐与数学结合的起源 最早将音乐与数学联系起来的研究要追溯至公元 前六世纪的毕达哥拉斯学派，他们用比例把二者有 机结合起来。 乐声的协调与所联系的整数之 间有着密切的关系，拨动一根 弦发出的声音取决于绷紧的弦 的长度 协和音由长度与原弦长的比为 整数比的弦给出 被拨动弦的每一种和谐的结合 ，都能表示为整数比，由增大 成整数比的弦的长度，能够产 生全部的音阶。 音乐与数学结合的起源 C B A G F E D C 2 . 音乐与数学结合的起源 五度相生律也是毕达哥拉斯的首创，故又 名毕达哥拉斯律 基础音：发音体整体振动产生的最低的音是基础 音，是由一根弦或空气柱整体振动时产生的 泛音：以基础音为标准，其余1/2、1/3、1/4等 各部分也是同时振动，是泛音。泛音的组合决定 了特定的音色，并能使人明确地感到基音的响度 。乐器和自然界里所有的音都有泛音。 音乐与数学结合的起源 根据第一、二泛音间频率比为2：3的关 系进行音的繁衍，以此为纯五度，进行一系 列的五度相生，从而得到调中诸音。 纯律取泛音列中第一、二泛音之间的纯 五度以及第三、四泛音间的大三度这两种音 程为繁衍新音的要素，由频率比为4:5:6的 几个大三和弦确定诸音高。 纯律的实际应用及乐谱记载在六世纪由我国梁 代丘明传谱的碣石调幽兰。直至十六世纪我国 在数学运算上有所突破，在算盘上用开两次平方和 一次立方的方法求出了十二次方根，这实际就是一 百多年后由德国人沃克梅斯特提出的十二平均律， 其频率由等比数列通项公式 确定，公比 为1.05946，是2开12次方的算数根。 音乐与数学结合的起源 乐理中的数学规律 音程转位 音程：两个音之 间在音高上的关 系 单音程：八度以 内的音程 音程转位：将音 程的冠音和根音 相互颠倒位置 乐理中的数学规律 音程转位 对单音程而言，原音程及其转位音程的度 数之和为9。 在音符方面，小于全音符的诸音符由除法 确定，如二分音符为全音符的 ，四分音符为全 音符的 。 拍子是拍的分组，如 拍子是以全音符的 为1拍，每小节有3拍，即 ，而 拍子 可认为以全音符的 为一拍，每小节有6拍，即 。 ？ 乐曲结构与黄金分割 对称 在数学上就是1:1， 由上下句构成的乐 段，由起承转合四 部分构成的作品， 由四个乐章构成的 交响曲，都体现了 造型的对称美 作曲 黄金分割 把线段L分成两段， 使其中较长段x为全 段与较短段（L-x） 的比例中项，即满 足等式L:x=x:（L-x ）.x=0.618034倍 L 乐曲结构与黄金分割 巴托克的顶峰之作 弦乐、打击乐与 钢片琴的音乐 乐 谱 结 构 这部作品第三乐章 89小节 B 34小节 A 21小节 A 34小节 一 21小节 二 13小节 二 8小节 一 13小节 二 21小节 一 13小节 高潮 55小节 34：55 13：21 21：34 8：13 黄 金 分 割 8、13、21、34、55、89等小节数数字本 身，则均含于黄金分割的另一种形式斐波 那契数列（即1，1，2，3，5，8，13，21，34 ，55，89，144等，且从第三项起每项均为前 两项之和）。这个数列前两项之比1:1反映对 称关系，而自第三项起，每相邻两项之比如 2:3、3:5、5:8、8:13等均近似反映黄金分割 的比例关系，且愈往后精确度愈高。由此可认 为，上述乐曲的结构明显受斐波那契数列的制 约。 和声的傅立叶分析 一个音叉所发出的声音，其图像就是一个 正弦函数，如 。任何乐声 的图像都是周期性的图像，它有固定的音高和 频率。而傅立叶定理指出，任何一个周期函数 都可以表示为三角级数的形式，如任何一个周 期函数都可表示为 其中频率最低的一项为基本音，其余的为 泛音。由公式知，所有泛音的频率都是基本音 频率的整数倍，称为基本音的谐波。 和声的傅立叶分析 根据傅立叶定理，每个乐音都可以分解成一 次谐波与一系列整数倍频率谐波的叠加。假设do 的频率是 ，那么它可以分解成频率为 ， ， ， ，的谐波的叠加，即 ；同理，高音do的频 率是 ，同样可以分解为频率为 ， ， ， ，的谐波的叠加，即 。这两列谐 波的频率有一半是相同的，所以do和高音do是最 和谐的。 傅立叶还发现每种声音都有三种品质： 与曲线的频率有关与曲线的振幅有关 与周期函数的形状 有关 音调音量音色 乐器中的数学奥妙 能与某音发生共鸣的空气柱长度为该音波波长的 、 、1、2等倍。低音乐器发音低，声波长，所以要求共鸣 箱有较大体积；高音乐器则反之，发音高，声波短，所以共 鸣箱需较小体积。 由于一件乐器可以发出多个乐音，所以又要求其形状 复杂，以利于在各个不同方位上形成不同长度的共鸣空气柱 ，适合于不同高度音响的需要。如中央C音频率为261.63Hz ，波长1.3米，波长的 是0.325米，为保证该音共鸣，则 共鸣箱的内空至少有一个方位为0.325米（或其2、4、8等倍 数）。音越低，波长越大，跨越障碍的本领也越强，再加上 频率低，能量损耗小的特点，决定了低音的传远性。 乐器中的数学奥妙 乐器之王钢琴的键盘，其琴键的音程恰好与斐 波那契数列有关。在钢琴的键盘上，从一个C键到下一 个C键就是音乐中的一个八度音程，其中共包括13个键 ，分别是8个白键和5个黑键，而5个黑键分成2组，一组 有2个黑键，一组有3个黑键。2、3、5、8、13恰好就是 斐波那契数列中的前几个数。 音乐是心灵的算术练习。 莱布尼茨 音乐是由数规定的运动。 奥古斯丁 音乐中出现数学与数学中存在音乐并非偶然 ，而是音乐与数学融合一体的完美体现。音乐可 以抒发人们的情感，是对人们自己内心世界的反 应和对客观世界的感触，因而是以一种