10年高考真题汇总—立体几何高考试题汇编.pdf

立体几何分类汇编 一、异面直线夹角 （2007 全国理 I） 如图， 正四棱柱 1111 ABCDA B C D中， 1 2AAAB， 则异面直线 1 AB与 1 AD 所成角的余弦值为 A 5 1 B 5 2 C 5 3 D 5 4 （2008 全国理 II）已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边 长都相等，E是SB的中点，则AESD，所成的角的余弦值为 （） A 1 3 B 2 3 C 3 3 D 2 3 （2009 全国理 I）已知三棱柱 111 ABCABC的侧棱与底面边长都相等， 1 A在底面ABC上的 射影为 111 ABC的中点，则异面直线AB与 1 CC所成的角的余弦值为 （A） 3 4 （B） 5 4 （C） 7 4 D. 3 4 （2009 全国理 II）已知正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 2AAAB， E为 1 AA中点，则异面 直线BE与 1 CD所成的角的余弦值为 A. 10 10 B. 1 5 C. 3 10 10 D. 3 5 （2012 全国理 I）三棱柱 111 ABCABC中，底面边长和侧棱长都相等， 11 60BAACAA ，则异面直线 1 AB与 1 BC所成角的余弦值为_。 （2013 全国理 I）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，M、N分别是CD、 1 CC的中点，则异面直线 1 AM与DN所成角的大小是_。 （2014 全国理 II） 直三棱柱 111 ABCABC中，90BCA ，,M N分别是 1111 ,AB AC的中点， 1 BCCACC， 则BM与AN所成的角的余弦值为（） A. 1 10 B. 2 5 C. 30 10 D. 2 2 二、线面夹角 （2007 全国理 II）已知正三棱ABCA B C 111的侧棱长是底面边长相等，则AB1与侧面 ACC A 1 所成角的正弦等于 A. 6 4 B. 10 4 C. 2 2 D. 3 2 （2008 全国理 I）已知三棱柱 111 ABCABC的侧棱与底面边长都相等， 1 A在底面ABC内的 射影为ABC的中心，则 1 AB与底面ABC所成角的正弦值等于（） A 1 3 B 2 3 C 3 3 D 2 3 （2010 全国理 I）正方体 1111 ABCDABC D中, 1 BB与平面 1 ACD所成角的余弦值为 （A） 2 3 （B） 3 3 （C） 2 3 （D） 6 3 （2016 全国理 I）平面过正方体 1111 ABCDABC D的顶点A，平面 11 CB D，平面 ABCDm，平面 11 ABABn，则,m n所成角的正弦值为 A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 1 3 （2007 全国理 I） 四棱锥SABCD中， 底面ABCD为平行四边形， 侧面SBC 底面ABCD 已知45ABC ,2,2 2,3ABBCSASB （）证明：SABC； （）求直线SD与平面SAB所成角的大小。 三、球 （2007 全国理 II）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上。如果正四棱柱的 底面边长为 1cm，那么该棱柱的表面积为 2 cm. （2008 全国理 II）已知球的半径为 2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆 的公共弦长为 2，则两圆的圆心距等于（） A1B2C3D2 （2009 全国理 I）直三棱柱 111 ABCA BC各顶点都在同一球面上.若 1 2,ABACAA120BAC ，则此球的表面积等于 . （2009 全国理 II）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成 45角的平 截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于 7 4 ，则球O的表面积等于. （2010 全国理 I）已知在半径为 2 的球面上有, , ,A B C D四点，若2ABCD,则四面体 ABCD的体积的最大值为 A. 2 3 3 B. 4 3 3 C.2 3D. 8 3 3 （2011 全国理 I）已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4 的球O的球面上，且 6,2 3ABBC,则棱锥 2 326 9aa a的体积为。 （2011 全国理 II） 已知平面截一球面得圆M， 过圆心M且与成 0 60二面角的平面截 该球面得圆N.若该球面的半径为 4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 A.7B.9C.11D.13 （2012 全国理 II） 已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1的 正三角形，SC为球O的直径，且2SC ；则此棱锥的体积为（） ( )A 2 6 ( )B 3 6 ( )C 2 3 ()D 2 2 四、体积和距离 （2009 全国理 I）已知二面角l 为60，动点,P Q分别在面, 内，P到的距离 为3，Q到的距离为2 3，则,P Q两点之间距离的最小值为 A. 0 60B.2C.2 3D.4 （2010 全国理 II）与正方体 1111 ABCDABC D的三条棱AB、 1 CC、 11 AD所在直线的距离相 等的点 （A）有且只有 1 个（B）有且只有 2 个 （C）有且只有 3 个（D）有无数个 （2010 全国理 II）已知正四棱锥SABCD中，2 3SA ，那么当该棱锥的体积最大时， 它的高为 （A）1（B）3（C）2（D）3 （2010 全国理 II）已知球O的半径为 4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与 圆N的公共弦，4AB 若3OMON，则两圆圆心的距离MN （2011 全国理 II） 已知直二面角l ， 点,AACl C为垂足，,BBDl D 为垂足若2,1,ABACBD，则D到平面ABC的距离等于 A. 2 3 B. 3 3 C. 6 3 D. 1 （2012 全国理 I）已知正四棱柱 1111 ABCDABC D中 ，2AB ， 1 2 2CC ，E为 1 CC的 中点，则直线 1 AC与平面BED的距离为 （A）2（B）3（C）2（D）1 （2013 全国理 I）如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作平面的垂 线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面成45角的平面与半球面相交，所得交线上 到平面的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足60BOP ，则A、P两点间的球 面距离为（） A、 2 arccos 4 RB、 4 R C、 3 arccos 3 RD、 3 R 五、三视图 （2011 全国理 I）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的俯视图可以为 （2013 全国理 II）一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以ZOX平面为投影面，则 得到的正视图可以为() （2014 全国理 I） 如图， 网格纸上小正方形的边长为 1， 粗实线画出的是某多面体的三视图， 则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为 A.6 2B.4 2C.6D.4 （2015 全国理 I）圆柱被一平面截去一部分后与半球（半径为 r） 组成一个几何 休，该几何体的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 16+20，则 r= （A）1B.2C.4D.8 （2016 全国理 II）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积 为 （A）20（B）24（C）28（D）28 六、二面角 （2011 全国理 II）己知点,E F分别在正方体 1111 ABCDABC D的棱 11 ,BB CC上，且 11 2,2B EEB CFFC，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于. C D E A B （2007 全国理 II）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD 底 面ABCD，,E F分别是,AB SC中点。 （1）求证：EF平面SAD （2）设2SDCD，求二面角AEFD的大小 （2008 全国理 I）四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC 底面BCDE， 2BC ，2CD ，ABAC （）证明：ADCE； （）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的大小 A B C D S E F （2008 全国理 II）如图，正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 24AAAB，点E在 1 CC上且 ECEC3 1 （）证明： 1 AC 平面BED； （）求二面角 1 ADEB的大小 （2009 全国理 I）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD， 2,2.ADDCSD点M在侧棱SC上，60ABM . ()证明：M是侧棱SC的中点； （）求二面角SAMB的大小。 A B CD E A1 B1 C1 D1 （2009 全国理 II）如图，直三棱柱 111 ABCABC中，,ABAC D、E分别为 1 AA、 1 BC的 中点，DE 平面 1 BCCw.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）证明：ABAC （II）设二面角ABDC为 60，求 1 BC与平面BCD所成的角的大 小。 （2010 全国理 I）如图，四棱锥SABCD中，SD 底面ABCD，AB CD，ADDC， 1,2,ABADDCSDE为棱SB上的一点，平面EDC平面 SBC. （）证明：2SEEB； （）求二面角ADEC的大小 . （2010 全国理 II）如图，直三棱柱 111 ABCA BC中，ACBC， 1 AAAB，D为 1 BB的 中点，E为 1 AB上的一点， 1 3AEEB （）证明：DE为异面直线 1 AB与CD的公垂线； （） 设异面直线 1 AB与CD的夹角为 45， 求二面角 111 AACB 的大小 （2011 全国理 I）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四 边形，60 ,2,DABABAD PD 底面ABCD. ()证明：PABD； ()若PDAD，求二面角APBC的余弦值。 （2011 全国理 II）如图，四棱锥SABCD中，AB CD,BCCD，侧面SAB为等边三 角形，2,1.ABBCCDSD. （）证明：SDSAB;来源:学_科_网 Z_X_X_K （)求AB与平面SBC所成角的大小. （2012 全国理 I） 如图， 四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形，PA 底 面ABCD，2 2AC ，2PA ，E是PC上的一点，2PEEC。 （）证明：PC 平面BED； （）设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小。 （2012 全国理 II）如图，直三棱柱 111 ABCABC中， 1 1 2 ACBCAA， D是棱 1 AA的中点，BDDC 1 （1）证明：BCDC 1 （2）求二面角 11 CBDA的大小。 （2013 全国理 I）如图，在三棱锥PABC中，90APB ， 60PAB ，ABBCCA，平面PAB 平面ABC。 （）求直线PC与平面ABC所成角的大小； （）求二面角BAPC的大小。 （2013 全国理 II）如图，直三棱柱 111 ABCABC中，DE分别是 1 ,AB BB的中 点， 1 2 2 AAACCBAB (1)证明： 1 BC 平面 1 ACD； (2)求二面角 1 DA CE的正弦值 （2014 全国理 I）如图三棱锥 111 ABCABC中，侧面 11 BBC C为菱形， 1 ABBC. （I）证明： 1 ACAB； （）若 1 ACAB， o 1 60CBB，ABBC，求二面角 111 AABC的余弦值. （2014 全国理 II）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA 平面ABCD，E 为PD的中点. （）证明：PB 平面AEC； （）设二面角DAEC为 60， 1,3APADAP=1， AD=3， 求三棱锥EACD 的体积. （2015 全国理 I） 如图， 四边形ABCD是菱形， 0 120ABC，,E F 是平面ABCD同一侧的两点，ABCDBE平面，ABCDDF平面 ECAEDFBE，2 ()证明：AFCAEC平面平面； ()求直线 AE 与直线 CF 所成有的余弦值。 （2015 全国理 II）如图,四棱锥PABCD中,PD 平面ABCD，/ /ABCD， 90ADC且2,2,1CDADABPD，E在线段PC上移动，且PEPC . ()当 1 3 时,证明:直线/ /PA平面EBD ()是否存在,使面EBD与面PBC所成二面角为直二面角？若存在，求出的值；若 不存在，说明理由. （2