2018江苏高考数学压轴题的分析与解.pdf

2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇） 2018 年江苏卷年江苏卷 11 若函数 32 ( )21()f xxaxaR在(0,)内有且只有一个零点， 则( )f x在 1,1上的最大值与最小值 的和为 解析：-3 函数( )f x导函数为 2 ( )622 (3)(0)1fxxaxxxaf， 情况一：0a .此时( )f x在(0,)递增，又(0)1f，所以( )f x在(0,)无零点，舍去. 情况二：0a .此时( )f x在(0, ) 3 a 递减，在( ,) 3 a 递增. 在(0,)上，在 3 a x 处取得极小值 333 227 ( ) 327927 aaaa f 1=0 3a 此时 32 ( )231f xxx，( )6 (1)fxx x， 1,1x ( )f x在 1,0递增，在0,1递减，( 1)4f ，(1)0f. 可得 max ( )(0)1f xf， min ( )( 1)4f xf maxmin ( )( )3f xf x 12.在平面直角坐标系xOy中，A 为直线:2l yx上在第一象限内的点，(5,0)B，以 AB 为直径的圆 C 与直 线 l 交于另一点 D若0AB CD ，则点 A 的横坐标为 解析：3 方法一：几何法. 由0AB CD ，ACDCBC，可得ADB为等腰直角三角形. 因为 tan2DOB ,5OB 所以 11 1 45 OMMBOB,22DMOM 构造如图所示一线三垂直，有 ANDDMB 2ANDM 2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇） 3 A xOMAN 方法二：向量法. 设( ,2 )A aa，0a ，( ,2 )D bb，ba，则 5 (, ) 2 a Ca 由0AB CD 和0AD BD ，得 5 (5)()2 (2)0 2 ()(5)4 ()5(1)()0 a AB CDa baba AD BDba bb babba 解得 3 1 a b 3 A xa 方法三：解析法. 设( ,2 )A aa，0a ，则 5 (, ) 2 a Ca 圆 C 方程 2 222 5(5) ()() 24 aa xyaa 与2yx联立，得 1 D x ，(1,2)D 55(3)(1) (5)(1)2 (2)0 22 aaa AB CDaaa 3 A xa 13. 在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，120ABC，ABC的平分线交AC与点 D，且 1BD ，则4ac的最小值为 解析：9 方法一：正余弦定理. ABD和CBD中，正弦定理得 sin60sin ADc ， sin60sin DCa 所以 ADc DCa （角平分线分线段成比例） ABD和CBD中，余弦定理得 22 1ADcc ， 22 1CDaa 2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇） 所以 22 22 1 1 ccc aaa 即 ()()()ac acac ac 恒成立. 可得 acac， 11 1 ac 1144 4(4)()5529 caca acac acacac 当且仅当 4ca ac 即2ca时取等 方法二：面积法. 由ABC面积可得 111 sin120sin60sin60 222 acac acac，(1)(1)1ac 44(1)(1)52 4(1)(1)59acacac 当且仅当 4ca ac 即2ca时取等 方法三：几何法 1. 如图作垂线，可得 1 21 2 tan= 33 2 a a CDM ， 1 21 2 tan= 33 2 c c CDN 222 3(1) 3 tan()3 4221 12 1 3 ac ac CDMCDN acac acac acac 同上可求. 方法四：解析法. 建立如图所示坐标系，则 2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇） 3 (, ) 22 c c A， 3 (,) 22 a a B ，(1,0)D 于是 3() AB ca k ca ，直线 AB 的方程为 3 () 223() acaa yx ca 又直线 AB 经过点 D ，有 3 1 223() acaa ca acac 同上可求. 方法五：向量法. 由角平分线分线段成比例，得 c CDAD a 向量共线定理 ca BDBCBA acac 对上式进行平方得 22 2 1= () a c ac acac 同上可求. 方法六：几何法 2. 构造如图所示图形，则 11c ac acac 同上可求. 14. 已知集合 * |21,Ax xnnN， * |2 , n Bx xnN将AB的所有元素从小到大依次排列构 成一个数列 n a记 n S为数列 n a的前 n 项和，则使得 1 12 nn Sa 成立的 n 的最小值为 解析：27 由 1 12 nn Sa 可知，24n 且 1n aB . 2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇） 当 1 22(1) 12 mm nm （即 1 2121 22 mm mnm ） 此时5m 且 1 2(1) 121 n anmnm ， 21 ()22 m n Snm 由 1 12 nn Sa 得 21 ()2212(21) m nmn 221 2(12)(22414)0 m nmnmm 若5m ，解和，得27n ，成立. 所以 min 27n. 此题亦可先将5m 带入得 1 29 n an ， 2 (5)62 n Sn 从而求出 min 27n. 18如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆 C 过点 1 ( 3, ) 2 ,焦点 12 (3,0),( 3,0)FF,圆 O 的直径为 12 FF (1) 求椭圆 C 及圆 O 的方程； (2) 设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； 直线 l 与椭圆 C 交于,A B两点若OAB的面积为 2 6 7 ，求直线l的方程 解析： （1） 椭圆C的方程： 2 2 1 4 x y 圆O的方程： 22 3xy （2） x y O F1 F2 (第 18 题) 2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇） 方法一：利用一元二次方程求解. 直线 l 存在斜率，设直线 l 方程为 (0,0)ykxm km 与椭圆方程联立，相切0 ，有 2222 a kbm，则 22 41km 与圆方程联立，相切0 ，则 22 33km 解得 2k ，3m 所以直线 l 方程为 23yx 与圆方程联立得切点( 2,1)P 方法二：利用切线方程求解. 设直线 l 与圆切点 00 (,)P xy 00 (0,0)xy，则直线 l 方程为 00 3x xy y 设直线 l 与椭圆切点 11 ( ,)Q x y，则直线 l 方程为 11 44x xy y 直线 l 方程是相同的，所以 00 11 3 44 xy xy 即 10 4 3 xx， 10 1 3 yy 由于点 11 ( ,)Q x y在椭圆上，有 22 11 44xy 带入得 22 00 4 1 99 xy 又点 00 (,)P xy在圆上，有 2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇） 22 00 3xy 解得 0 2x ， 0 1y 所以切点( 2,1)P 设直线 l 方程为 (0,0)ykxm km 与椭圆方程联立得 222 (41)8440kxkmxm 设与椭圆的两交点 11 ( ,)A x kxm， 22 (,)A x kxm 由知与圆相切，与椭圆相交，有 22 22 33 41 km km 解得 2k ， 2 3(1)mk 22 16(41)km 方法一：利用三角形底高公式求解. 222 2 12 2 4 411 1 41 kmk ABxxk k 原点 O 到直线 l 距离 2 1 m d k 22222 22 2 223(1)1 4 4112 6 = 241417 1 AOB kkkmkm S kk k 解得 5k ，3 2m 所以直线 l 方程为 53 2yx 方法二：利用三角形宽高公式求解. 2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇） 将0x 带入直线 l 方程，得(0,)Dm 2222 12 22 223(1)11 4 412 6 = 2241417 AOB kkkm Sxx ODm kk 解得 5k ，3 2m 所以直线 l 方程为 53 2yx 19. 记( ),( )fx g x分别为函数( ), ( )f x g x的导函数若存在 0 x R，满足 00 ()()f xg x且 00 ()()fxg x，则 称 0 x为函数( )f x与( )g x的一个“S点” (1) 证明：函数( )f xx与 2 ( )22g xxx不存在“S点” ； (2) 若函数 2 ( )1f xax与( )lng xx存在“S点” ，求实数a的值； (3) 已知函数 2 ( )f xxa ， e ( ) x b g x x 对任意0a ，判断是否存在0b ，使函数( )f x与( )g x在区 间(0,)内存在“S点” ，并说明理由 解析： （1） 对( )f x和( )g x求导，得 ( )1fx，( )22g xx 因为 00 ()()f xg x且 00 ()()fxg x，得 2 000 0 22 122 xxx x 无解，所以( )f x与( )g x不存在“S点” （2） 对( )f x和( )g x求导，得 ( )2fxax， 1 ( )g x x 因为 00 ()()f xg x且 00 ()()fxg x，得 2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇） 2 00 0 0 1ln 1 2 axx ax x 解得 2 e a （3） 对( )f x和( )g x求导，得 ( )2fxx ， 2 (1) ( ) x bex g x x 因为 00 ()()f xg x且 00 ()()fxg x， 0 (0)x，得 0 0 2 0 0 0 0 2 0 (1) 2 x x be xa x bex x x 因为0b ，由得 0 01x 将带入可得 2 00 0 0 ()(1) 2 axx x x 分离变量 232 2 000 0 00 23 11 xxx ax xx 构造函数 3232 33 ( )(01,0) 11 xxxxaxa h xaxa xx 构造函数 32 ( )3(0)m xxxaxa a 由于 (0)0,(1)20mam 所以( )m x在(0,1)上有零点 所以( )h x在(0,1)上有零点 2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇） 即对于任意0a ，总存在 0 01x和0b ，使得成立，函数( )f x与( )g x在区间(0,)内存在“S 点”. 20设 n a是首项为 1 a，公差为d的等差数列， n b是首项为 1 b，公比为q的等比数列 (1) 设 11 0,1,2abq，若 1 | nn abb对1,2,3,4n 均成立，求 d 的取值范围； (2) 若 * 11 0,(1,2 m abmqN，证明：存在d R，使得 1 | nn abb对2,3,1nm均成立，并 求d 的取值范围（用 1, ,b m q表示） 解析： （1）将1,2,3,4n 分别带入 1 | nn abb 0 11 21 241 381 d d d 解得 75 32 d （2）由 * 11 0,(1,2 m abmqN可得 1 11 (1) , n nn abnd bbq 带入 1 | nn abb，有 1 111 (1) n bndbqb 即 11 11 (2) 11 nn b qbq d nn 对2,3,1nm均成立 比较 1 1( 2) 1 n b q n 与 1 1 1 n bq n 大小 1 11 1111 (2)(22) 0 1111 n nn m b qbbbq nnnn 所以存在d R，使得 1 | nn abb对2,3,1nm均成立 构造函数 2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇） 1 1 1 (2) ( )(21,) 1 n b q f nnmnN n 对 1( ) f n求导 111 111 1 22 ln (1)(2)( lnln1)2 ( ) (1)(1) nnn bqq nb qb qnqq fn nn 令 1 1( ) ( lnln1)2 n g nqnqq 12 11 ( )(1)ln0( ) n gnnqqg n ，递增 1(2) (l