各类型中高难度全等三角形125题习题版.pdf

1 1.已知：如图，ABDE，ACDF，BECF 求证：ABDE 2.图中是一副三角板，45的三角板Rt DEF的直角顶点D恰好在30的三角板Rt ABC斜边AB的 中点处，304590AEEDFACB ，DE交AC于点G，GMAB于M （1）如图 1，当DF经过点C时，作CNAB于N，求证：AMDN （2）如图 2，当DFAC时，DF交BC于H，作HNAB于N， （1）的结论仍然成立，请你 说明理由 3.在正方形ABCD中，AB、BC、CD三边上分别有点E、G、F， 且EFDG 求证：EFDG 4.在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点，且EGFH，求 证：EGFH 5.ABC中，90B，M为AB上一点， 使得AMBC，N为BC上一点， 使得CNBM， 连AN、 CM交于P点试求APM的度数，并写出你的推理证明的过程 F E D C B A 图2图1 E H AB C D F G MN NM G F E D C BA G F E D CB A M G F E D CB A H G F E D CB A G F EM NHD CB A 2 6.6.如图，在Rt ABC中，ABACADBC，垂足为DEF、分别是CDAD、上的点，且 CEAF如果62AED，那么DBF_ 7.E、F分别是正方形ABCD的BC、CD边上的点，且BECF求证：AEBF 8.E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GEEF，GEEF求证： BGCFBC 9.如图，矩形ABCD中，E是AD上一点，CEEF交AB于F点，若2DE ，矩形周长为16，且 CEEF，求AE的长 N M P CB A F ED CB A P F E D C B A G A B C D E F 3 10.10.如图，已知ABC中，90ABCABBC，三角形的顶点在相互平行的三条直线 123 lll， ，上， 且 12 ll，之间的距离为2， 23 ll，之间的距离为3，则AC的长是_ 11.两个全等的30、60的三角板ADE、BAC，如右下图所示摆放，E、A、C在一条直线上，连 结BD取BD的中点M，连结ME、MC，试判断EMC的形状，并说明理由 12.已知等腰直角三角形ABC，C为直角，M为BC的中点CDAM 求证：AMCDMB 求 证：AMCDMB 13.如图所示，已知在等腰直角三角形ABC中，BAC是直角，D是AC上一点，AEBD，AE的 延长线交BC于F，若ADBFDC ，求证：D是AC的中点 14.如图所示，在等边ABC中，DEBC，O为ADE的中心，M为BE的中点，求证OMCM E D CB F A C B A l3 l2 l1 M E D C B A M D C B A F E D C B A 4 15.已知P为等腰直角ABC的斜边AB上任意一点，PE、PF分别为AC、BC之垂线，垂足为E、 FM为AB之中点则E、M、F组成等腰直角三角形 16.长方形ABCD中，4AB ，7BC ，BAD的角平分线交BC于点E，EFED交AB于F，则 EF _ 17.如图，设ABC和CDE都是正三角形，且62EBD，则AEB的度数是() A124B122C120D118 18.已知：BD CE、是ABC的高，点P在BD的延长线上，BPAC，点Q在CE上，CQAB，求 证：APAQ；APAQ M CB A ED O M P F E CB A F E D CB A A D B C E 5 19.如图，ABC的边BC在直线l上，ACBC，且ACBC；EFP的边FP也在直线l上，边EF 与边AC重合，且EFFP 在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； 将EFP沿直线l向左平移到图 2 的位置时，EP交AC于点Q， 连结AP，BQ 猜想并写出BQ 与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； 将EFP沿直线l向左平移到图 3 的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP， BQ你认为中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不 成立，请说明理由 20.20.ABC中，D为BC中点，DEBC交BAC的平分线于点E，EFAB于FEGAC于G 求 证：BFCG 21.如图，在正方形ABCD中，M是AB的中点，,MNMD BNCBE平分，E为AB的延长线上一 P D Q CB E A 图 l PC(F)B A(E) 图 Q l PF E CB A 图 Q AE BCF P l 4 3 2 1 A BC E FP l Q N l PF CB EA Q E G F D CB A 6 点求证：MDMN 22.如图， 点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC外角的平分线交于点N， MD与MN有怎样的数量关系？ 23.23.如图， 点M为正方形ABCD的边AB(或BA)延长线上任意一点，MNDM且与ABC外角的平 分线交于点N，此时MD与MN有何数量关系?并加以证明 24.如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，射线 MN与DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系? 25.已知，ABC中，3AB ，120BAC，1AC ，D为AB延长线上一点，1BD ， 点P在BAC 的平分线上，且满足PAD是等边三角形 N ME D C B A N CD EBMA N CD EBMA CD N EMBA N EBMA D 7 求证：BCBP； 求点C到BP的距离 26.26.如图，已知ABC和ADE都是等边三角形，B、C、D在一条直线上，试说明CE与ACCD相 等的理由 27.如图，在四边形ABCD中，ADBC，点E是AB上一个动点；若60B，ABBC，且 60DEC，判断ADAE与BC的关系并证明你的结论 28.已知，在ABC中，ACB为锐角，D是射线BC上一动点(D与C不重合)，以AD为一边向右侧 作等边ADE(C与E不重合)，连接CE 若ABC为等边三角形，当点D在线段BC上时(如图 1 所示)，则直线BD与直线CE所夹锐角 为度； 若ABC为等边三角形，当点D在线段BC的延长线上时(如图 2 所示)，你在 中得到的结论 是否仍然成立？请说明理由； 若ABC不是等边三角形，且BCAC(如图 3 所示)试探究当点D在线段BC上时，你在 中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当ACB满足什么条件 时，能使 中的结论成立，并说明理由 C B PD A E D CB A E D C B A E D CB A 图1 F E DCB A 图2 BCDF A E 图3 BCF A 8 29.如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点求证：AEBD 30.如图，ABD和CED均为等边三角形，ACBC，ACBC若2BE ，则CD 31.如图，B，C，E三点共线，且ABC与DCE是等边三角形，连结BD，AE分别交AC，DC于 M，N点求证：CMCN 32.32.如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形 请你证明： （1）ANBM； （2）DEAB； （3）CF平分AFB 33.33.如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形，D是AN中点，E是BM中点， 求证：CDE是等边三角形 D E C B A D E C B A NM E D C B A M D N E CB F A 9 34.如下图，在线段AE同侧作两个等边三角形ABC和CDE(120ACE)，点P与点M分别是 线段BE和AD的中点，则CPM是() A钝角三角形B直角三角形 C等边三角形D非等腰三角形 35.35.已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形CG、CH分别是ACN、 MCB的高求证：CGCH 36.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG求证：AECG 37.以ABC的两边AB AC，为边向外作正方形ABDEACFG，求证：CEBG，且CEBG MD N E CBA P M B C D E A H G N M CBA G F E D C B A 10 38.38.如图， 在ABC外面作正方形ABEF与ACGH，AD为ABC的高， 其反向延长线交FH于M， 求证：(1)BHCF；(2)MFMH 39.如图 1，若ABC和ADE为等边三角形，MN，分别EB CD，的中点，易证：CDBE，AMN 是等边三角形 （1）当把ADE绕A点旋转到图 2 的位置时，CDBE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立 请说明理由； （2）当ADE绕A点旋转到图 3 的位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并 求出当2ABAD时，ADE与ABC及AMN的面积之比；若不是，请说明理由 40.40.如图所示正方形ABCD中，在边CD上任取一点Q，连AQ，过D作DPAQ，交AQ于R， 交BC于P，正方形对角线交点为O，连OP，OQ求证：OPOQ G O F E D CB A G H M F E DCB A 图1 N ME D C BA 图2 AB C D E M N 图3 AB C D E M N 11 41.如图所示， 在等腰直角ABC的斜边AB上取两点M、N， 使45MCN， 记AMm，MNx， BNn，求证：以x、m、n为边长的三角形的形状是直角三角形. 42.请阅读下列材料： 已知：如图 1 在Rt ABC中，90BAC，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若 45DAE探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系 小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结E D， 使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图 2，其它条件不变， 中探究 的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明 43.43.如图所示，在五边形ABCDE中，90BE ，ABCDAE1BCDE，求此五边形的 面积 R Q P O D C B A xmnNM C BA 图1 A B C D E 图2 A B C DE 12 【巩固】在五边形ABCDE中，已知ABAE，BCDECD，180ABCAED ，连接AD求证： AD平分CDE 44.44.如图， 五边形ABCDE中，ABAE，BCDECD，120BAEBCD ，180ABCAED ， 连结AD。求证：AD平分CDE。 45.如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一 个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长 46.46.在等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点MND， ，为ABC外一点， 且60MDN， 120BDC，BDCD，探究：当点MN，分别爱直线AB AC，上移动时，BMBN MN，之间 E DC B A E D C B A N M D CB A 13 的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系 如图，当点MN，在边AB AC，上，且DMDN时，BMNC MN，之间的数量关系式 _；此时 Q L _ 如图，当点MN，在边AB AC，上，且DMDN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你 的猜想并加以证明； 如图，当点MN，分别在边AB CA，的延长线上时，若ANx，则Q _(用x L，表 示) 47.如图所示，在四边形ABCD中，ABBC，90AC ，135B，K、N分别是AB、BC 上的点，若BKN的周长为AB的 2 倍，求KDN的度数 48.48.(1)如图，在四边形ABCD中，90ABADBD ，EF、分别是边BCCD、上的点，且 1 2 EAF =BAD求证：EFBEFD; (2) 如图在四边形ABCD中，180ABADB+D，EF、分别是边BCCD、上的点，且 1 2 EAFBAD， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明 图 M N D CB A 图 M N D C B A N 图 M D C B A K N D C B A E F D C B A 14 (3) 如图，在四边形ABCD中，ABAD，180BADC ，E F，分别是边BC CD，延长线上 的点，且 1 2 EAFBAD， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它 们之间的数量关系，并证明 49.49.如图，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起现正方 形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转 （1）如图，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的 长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF旋转到如图所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M， 线段BD的延长线与G的延长线相交于点N，此时，中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若 不成立，请说明理由 50.50.在六边形ABCDEF中，ABCDEF ，ABBCCD，AFDE，CEF的 面积等于六边形ABCDEF面积的一半，求ECF的度数. E F D C B A E F D C B A O O C B D A F G E N M E G F A D B CC B(E) D(F) A(G) O 15 51.如图，ACDE，BCEF，ACDE求证：AFBD 52.如图所示：ABCD，ABCD求证：ADBC 53.如图，AC、BD相交于O点，且ACBD，ABCD，求证：OAOD 54.已知ACB，BACB ，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BDCE，连接DE交底 BC于G，求证GDGE C B A E D F F E D C B A DC BA G E D C B A 16 55.如图，ABCD，相交于点O，OAOB，E、F为CD上两点，AEBF，CEDF 求证：ACBD 56.如图， 在梯形ABCD中，ADBC，E为CD中点， 连结AE并延长AE交BC的延长线于点F 求 证：FCAD 57.如图所示：AFCD，BCEF，ABDE，AD 求证：BCEF 58.已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交于 点F求证：BCEFDE 59.如图，在ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CFBE求证： BDECDF O F E D C B A F E D C B A D F E CB A F E D C B A 17 60.如图， 已知ABDC，ADBC，O是BD中点， 过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E F， 求 证：EF 61.如左下图， 在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且ACCE，F为AE的中点 求证：BFFD 62.如右下图，在ABC中，BE、CF分别为边AC、AB的高，D为BC的中点，DMEF于M求 证：FMEM 63.已知：ABC中，AM是中线求证： 1 () 2 AMABAC 64.在ABC中，59ABAC，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？ 2 1 O F E D C B A F E D CB A M F E DCB A M C B A 18 65.如图，ABC中，AB AC，AD是中线求证：DACDAB 66.如图， 已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点， 延长BE交AC于F，AFEF， 求证：ACBE 67.如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于 F，AF与EF相等吗？为什么？ 68.如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD交CA的延长线于点F，交AB 于点G，若BGCF，求证：AD为ABC的角平分线 69.ABC中，ABAC，AD、AE分别是BC边上的中线和A的平分线，则AD和AE的大小关系 是AD_AE(填“”、 “”或“”) D C B A F E DC B A F E DC B A F G ED C B A 19 70.已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F求证： BECFEF 71.在Rt ABC中，90A， 点D为BC的中点， 点E、F分别为AB、AC上的点， 且EDFD 以 线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝 角三角形？ 72.如图所示，在ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果 2222 BMCNDMDN，求 证 222 1 4 ADABAC 73.在Rt ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上， 满足90DFE 若3AD ， 4BE ，则线段DE的长度为_ E A BCD FE A BDC F E D C B A 20 74.如图所示， 在ABC和A B C 中，AD、A D 分别是BC、B C 上的中线， 且ABA B ，ACA C ， ADA D ，求证ABCA B C 75.如图所示， 在ABC中，ABAC， 延长AB到D， 使BDAB，E为AB的中点， 连接CE、CD， 求证2CDEC 76.已知ABC中，ABAC，BD为AB的延长线，且BDAB，CE为ABC的AB边上的中线求 证2CDCE 77.如图所示，90BACDAE ，M是BE的中点，ABAC，ADAE，求证AMCD F E D CB A D C B A DC B A E D C BA 21 78.如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上DECD，EFAC求 证：EFAB 79.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分DAE，求证： AEECCD 80.如图，ABC是等腰直角三角形，90C， 点M，N分别是边AC和BC的中点， 点D在射线BM 上，且2BDBM，点E在射线NA上，且2NENA，求证：BDDE 81.已知：如图，ADBC，ACBD，求证：CD M E D C B A F A CDEB F E D C B A D E M CNB A 22 82.如图，已知ACBD，ADAC，BCBD，求证：ADBC 83.已知： 如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC 求证：OAOD 84.如图所示，已知ADAE，DFEF求证：ABAC 85.在中，为边上的点，已知，求证： 86.已知中，、分别是及平分线求证： O DC BA DC BA FE O D CB A ABCDBCBADCAD BDCDABAC DC B A ABCABACBECDABCACBCDBE ED CB A 23 87.已知，如图，ABAC，CEAB，BFAC，求证：BFCE 88.如图，在中，、分别平分、，且与的交点为求 证： 89.如图，已知是上的一点，又，求证： 90.如图所示，是和的平分线，求证： 91.已知中，过且，的平分线与和分别交于， 的平分线与和分别交于，求证 FE C B A ABC60BADCEBACBCAADCEF FEFD F B E D C A EAC12 34 EDEB E D C B A 4 3 2 1 OPAOCBODOAOCOBODABCD P D B O CA ABCABACGEAGEBCBACGEDEC ABGEFGDEFG 24 92.如图所示， 已知ABDC，AEDF，CEBF，证明：AFDE 93.如图所示：ABAC，ADAE，CD、BE相交于点O求证：OA平分DAE 94.如图所示，C是AB的中点，CDCE，DCAECB ，求证DAEEBD 95.如图，在中，平分交于，于交于， 交于，连接求证： G F E D C B A FE D CB A ABC90BACBDABCACDAEBCEBDGFG ACBCFDFDFBC G F E D C B A 25 96.如图，ABC中，ABBC，90ABC，D是AC上一点，且CDCBAB，DEAC交AB 于E点求证：ADDEEB 97.如图，ABC中，ABAC，D、E分别是AB、AC的中点，DGBC于G，EHBC于H求 证：DGEH 98.在凸五边形中，BE ，CD ，BCDE，M为CD中点求证：AMCD 99.如图，ABAE，ABCAED ，BCED，点F是CD的中点求证：AFCD 100.如图， 在等腰ABC中，ABAC，D是BC的中点， 过A作AEDE，AFDF， 且AEAF 求 证：EDBFDC CB D E A HG ED C B A M E DC B A F E DC B A 26 101.如图，ABAC，D、E分别是AB、AC的中点，AMCD于M，ANBE于N 求证：AMAN 102.在凸五边形中，BE ，CD ，BCDE，M为CD中点求证：AMCD 103.103.如图，在四边形ABCD中，ADBCA，的平分线AE交DC于E求证：当BE是B的平分线 时，有ADBCAB 104.如图，在ABC中，BE、CD分别是ABC、ACB的角平分线，且BDCEBC，则A的度 数为 D F E CB A E D NM C B A M E DC B A E D C B A 27 105.如图所示，在中，是的平分线，延长至，使 求证： 106.已知中，、分别平分和，、交于点， 试判断、 、的数量关系，并加以证明 107.如图（1）所示，OP是MON的平行线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等 三角形 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图（2） ，在ABC中，ACB是直角，60B，AD、CE分别是BAC、BCA的平 分线，AD、CE相交于点F 请你判断并写出FE与FD之间的数量关系 （2）如图（3） ，在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其他条件均不变，请问，你在 （1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 108.如图，I是ABC的内心，且CAAIBC若80BAC，求ABC和AIB的大小 E D C B A ABC100A40ABCBDABCBDE DEADBCABCE E D C B A ABC60ABDCEABCACBBDCEOBE CDBC O E D C B A （ 1） P N M O （ 2） F E D C B A （ 3） F E D C B A 28 109.109.在中，是的平分线 是上任意一点 求证： 110.在四边形ABCD中，ADBC，A的平分线AE交DC于E 求证：当BE是B的角平分线时， 有ADBCAB 111.如图，在ABC中，60BAC，AD是BAC的平分线，且ACABBD，求ABC的度数. 112.如图，在中，的平分线交与求证： 113.在中，平分，求的值 AB C I ABCABACADBACPADABACPBPC CDB P A ABC2BC BACADBCDABBDAC DCB A ABCADBACABBDAC:BC 29 114.如图，在中，的平分线交与求证： 115.如图，中，平分交于点求证： 116.如图，中，的平分线交于，那么的大小是 _ 117.如图， 在中，点在上，平分， 若， 则 的长为_ 11