合情推理与演绎推理.ppt

13.3 合情推理与演绎绎推理 要点梳理 1.合情推理主要包括 和 . 合情推理的过程 从具体问 题出发 观察、分析、 比较、联想 归纳、类比提出猜想 归纳推理类比推理 基础础知识识 自主学习习 （1）归纳推理：由某类事物的 具有某些 特征，推出该类事物的 都具有这些特征 的推理，或者由 概括出 的推理, 称为归纳推理（简称归纳）.简言之，归纳推理是 由 到 、由个别到 的推理. 归纳推理的基本模式: ， 结论:dM，d也具有某属性. （2）类比推理：由 具有某些类似特征和 其中 的某些已知特征，推出 也 具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）， 简言之，类比推理是由 的推理. a、b、cM且a、b、c具有 某属性 两类对象 一类对象另一类对象 特殊到特殊 部分对象 全部对象 个别事实一般结论 部分整体一般 类比推理的基本模式:A:具有属性a,b,c,d； B:_ ； 结论:B具有属性d. （a,b,c,d与a,b,c,d相似或相同） 2.演绎推理：从 的原理出发，推出某个 的结论，我们把这种推理称为演绎推理. 简言之，演绎推理是由 到 的推理. 具有属性a,b,c 一般性 特 殊情况下 一般特殊 （1）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 大前提已知的一般原理； 小前提所研究的特殊情况； 结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断. （2）“三段论”可以表示为 大前提：M是P； 小前提：S是M； 结论：S是P. 用集合说明：即若集合M的所有元素都具有性质P， S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P. 基础自测 1.下面几种推理是合情推理的是( ) 由圆的性质类比出球的有关性质； 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的 内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都 是180； 张莉某次考试成绩是100分，由此推出全班同 学的成绩都是100分； 三角形内角和是180,四边形内角和是360, 五边形内角和是540，由此得凸n边形内角和 是（n-2）180. A. B. C. D. 解析 是类比推理，是归纳推理，是归纳 推理，所以为合情推理. C 2.下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A.两条直线平行,同旁内角互补,如果A和B 是两条平行直线的同旁内角,则 A+B=180 B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有 52人，由此得高三所有班人数超过50人 C.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质 D.在数列an中，a1=1， （n2），由此归纳出an的通项公式 解析 两条直线平行，同旁内角互补 大前提 A与B是两条平行直线的同旁内角 小前提 A+B=180 结论 A 3.某同学在电脑上打下了一串黑白圆,如图所示, ，按这种规律 往下排，那么第36个圆的颜色应是( ) A.白色 B.黑色 C.白色可能性大 D.黑色可能性大 解析 由图知，图形是三白二黑的圆周而复始 相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列， 因为365=7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜 色相同，即白色. A 4.给出下列三个类比结论. (ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn; loga(xy)=logax+logay与sin(+)类比，则 有sin(+)=sin sin ; (a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比，则有(a+b)2 =a2+2ab+b2. 其中结论正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 正确. B 5.若数列an中，a1=1,a2=3+5,a3=7+9+11,a4=13+ 15+17+19，则a8= . 解析 由a1,a2,a3,a4的形式可归纳， 1+2+3+4+7= a8的首项应为第29个正奇数，即229-1=57. a8=57+59+61+63+65+67+69+71 512 题型一 归纳推理 在数列an中,a1=1,an+1= nN*, 猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？ 请说明理由. 根据已知条件和递推关系,先求出数 列的前几项,然后总结归纳其中的规律,写出其 通项公式. 解 在an中,a1=1,a2= 所以猜想an的通项公式 思维启迪 题题型分类类 深度剖析 这个猜想是正确的，证明如下: 通过归纳推理得出的结论可能正确,也 可能不正确,它的正确性需通过严格的证明,猜想 所得结论可用演绎推理给出证明,虽然由归纳推理 所得出的结论未必是正确的,但它所具有的由特殊 到一般、由具体到抽象的认识过程，对于科学的 发明是十分有用的.通过观察实验，对有限的资料 作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是数学 研究的基本方法之一，归纳推理的一般步骤是： （1）通过观察个别情况发现某些相同的性质； （2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一 般性命题（猜想）. 知能迁移1 设 先分别求f(0)+f(1), f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结 论，并给出证明. 解 并注意到在这三个特殊式子中,自变量之和均等 于1.归纳猜想得:当x1+x2=1时,均有f(x1)+f(x2) 证明：设x1+x2=1, 题型二 类比推理 在RtABC中，ABAC，ADBC于D， 求证： 那么在四面体ABCD 中，类比上述结论,你能得到怎样的猜想？并说明 理由. 首先利用综合法证明结论正确，然后 依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想 结论，并予以证明. 解 如图所示，由射影定理知 AD2=BDDC，AB2=BDBC， AC2=BCDC， 四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直, 图 如图，连接BE交CD于F， 连接AF. ABAC，ABAD， AB平面ACD. 而AF平面ACD，ABAF， 在RtABF中，AEBF 图 类比推理是根据两个对象有一部分属 性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种 推理方法.例如分式与分数类比、平面几何与立体 几何的某些对象类比等.当然类比时有可能出现 错误，如：在平面内，直线a、b、c，若ab，bc ，则ac；在空间内，三个平面、， 若,，但与之间可能平行，也可 能相交. 知能迁移2 已知O是ABC内任意一点,连结AO、 BO、CO并延长交对边于A,B,C,则 这是一道平面几何题，其 证明常采用“面积法”. 请运用类比思想，对于空间中的四面体VBCD， 存在什么类似的结论？并用体积法证明. 证明 在四面体VBCD中，任取一点O,连结VO、 DO、BO、CO并延长分别交四个面于E、F、G、 H点， 题型三 演绎推理 （12分）（1）证明函数f(x)=-x2+2x在 （-，1上是增函数； （2）判断函数f（x）在区间-5，-2上的单 调性，并加以说明. （1）证明本题的大前提是增函数的 定义，即增函数f(x)满足:在给定区间内任取自 变量的两个值x1,x2，且x10, f(x)0在x(-,1)上恒成立. 6分 故f(x)在(-，1上是增函数. 8分 (2)f(x)在（-，1上是增函数， 9分 而-5，-2是区间（-，1的子区间， 11分 f（x）在-5，-2上是增函数. 12分 三段论推理的依据用集合论的观点来讲 就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的 子集，那么S中所有元素都具有性质P.三段论推理 中包含三个判断：第一个判断称为大前提,它提供 了一个一般的原理；第二个判断叫小前提,它指出 了一个特殊情况；这两个判断联合起来,揭示了一 般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个 判断：结论. 知能迁移3 已知函数 （xR）， （1）判定函数f（x）的奇偶性； （2）判定函数f（x）在R上的单调性，并证明. 解 （1）对xR有-xR， 所以f（x）是奇函数. （2）f(x)在R上单调递增，证明如下： 任取x1,x2R，并且x1x2, x1x2,2x12x20, 即2x1-2x20,又2x1+10,2x2+10. f(x1)f(x2). f(x)在R上为单调递增函数. 思想方法 感悟提高 方法与技巧 1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研 究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜 测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情 推理常常能为证明提供思路与方向. 2.合情推理的过程概括为: 从具体问题出发观察、分析、比较、联想 归纳、类比提出猜想 3.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊 情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推 理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明 主要通过演绎推理来进行. 4.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的 结论不一定正确.但合情推理常常帮助我们猜测 和发现新的规律,为我们提供证明的思路和方法. 而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理 形式都正确的前提下）. 失误与防范 1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发 现与猜想的结论都要经过进一步严格证明. 2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证 明和推理数学问题，注意推理过程的严密性， 书写格式的规范性. 3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜 想或拓展依据. 一、选择题 1.下面使用类比推理恰当的是 ( ) A.“若a3=b3，则a=b”类推出“若a0 =b0，则a=b” B.“(a+b)c=ac+bc”类推出“ ” C.“(a+b)c=ac+bc”类推出“ (c0)” D.“（ab）n=anbn”类推出“（a+b）n=an+bn” 解析 由类比推理的特点可知. C 定时检测时检测 2.（2009湖北文，10）古希腊人常用小石头在 沙滩上摆成各种形状来研究数，比如： 他们研究过图（1）中的1，3，6，10，由 于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数； 类似的，称图（2）中的1，4，9，16，这样的 数为正方形数. 下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378 解析 设图（1）中数列1,3,6,10,的通项公式 为an, 其解法如下：a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4, an-an-1=n. 故an-a1=2+3+4+n, 而图（2）中数列的通项公式为bn=n2,因此所给的 选项中只有1 225满足 C 3.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数 集,C为复数集): “若a,bR,则a-b=0a=b”类比推出“若 a,bC，则a-b=0a=b”； “若a,b,c,dR,则复数a+bi=c+dia=c,b=d” 类比推出“若a,b,c,dQ，则a+b =c+d a=c,b=d”; 若“a,bR，则a-b0ab”类比推出“若 a,bC，则a-b0ab”.其中类比结论正确的个 数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 正确，错误.因为两个复数如果不全 是实数，不能比较大小. C 4.（2009山东理，10）定义在R上的函数f(x)满足 则f(2 009)的值 为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析 当x0时，f(x)=f(x-1)-f(x-2), f(x+1)=f(x)-f(x-1). f(x+1)=-f(x-2)，即f(x+3)=-f(x) f(x+6)=f(x). 即当x0时，函数f(x)的周期是6. 又f(2 009)=f(3346+5)=f(5), 由已知得f(-1)=log22=1，f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)= -1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0, f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1. C 5.定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图 中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(A)、(B) 所对应的运算结果可能是 ( ) A.B*D,A*D B.B*D,A*C C.B*C,A*D D.C*D,A*D 解析 由（1）（2）（3）（4）图得A表示|，B表 示，C表示，D表示，故图（A）（B）表示 B*D和A*C. 答案 B 6.设 又记f1(x)=f(x),fk+1(x)=f(fk(x), k=1,2,则f2 009(x)等于 ( ) A. B.x C. D. 解析 D 二、填空题 7.考察下列一组不等式： 23+53225+252, 24+54235+253, 25+552352+2253,. 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下 加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的 特例，则推广的不等式可以是 . 注：填2m+n+5m+n2m5n+2n5m(m,n为正整数)也对. am+n+bm+nambn+ anbm(a,b0,ab,m,n0)(或a,b0,ab,m, n为正整数) 8.（2009江苏，8）在平面上，若两个正三角形 的边长比为12，则它们的面积比为14，类 似地，在空间中,若两个正四面体的棱长比为 12,则它们的体积比为 . 解析 两个正三角形是相似的三角形，它 们的面积之比是相似比的平方.同理，两个正四 面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的 立方，所以它们的体积比为18. 18 9.现有一个关于平面图形的命题： 如图所示，同一个平面内有两个 边长都是a的正方形,其中一个的 某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的 面积恒为 .类比到空间,有两个棱长均为a的正方 体，其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正 方体重叠部分的体积恒为 . 解析 在已知的平面图形中，中心O 到两边的距离相等（如右图），即 OM=ON. 四边形OPAR是圆内接四边形，所以RtOPNRtORM ， 因此S四边形OPAR=S正方形OMAN= . 同样地，类比到空间，如下图. 两个棱长均为a的正方体重叠部分的体积为 . 答案 三、解答题 10.把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比, 试由“平行四边形对边相等”得出平行六面体的 相关性质. 解 如图所示， 由平行四边形的性质可知AB=DC，AD=BC， 于是类比平行四边形的性质, 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中， 我们猜想： S ABCD=S ,S =S , S =S , 且由平行六面体对面是全等的平行四边形知， 此猜想是正确的