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角平分线的性质 复习提问 1、角平分线的概念 一条射线一条射线 把一个角把一个角分成两个相等的角，分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。这条射线叫做这个角的平分线。 o B C A 1 2 复习提问 2、点到直线距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。 O P A B 线段的长度 A A OO B B C C D D E E 尺规作图： 作法：1、以_为圆心， _长为半径作圆弧， 与角的两边分别交于C、 D两点； 2、分别以_为圆心， _的长为半径 作弧，两条圆弧交于 AOB内一点_； 3、作射线_； _就是所求作的射线。 点O 适当 C、D 超过CD一半 E OE OE 观观观观察察领领领领悟作法，探索思考悟作法，探索思考证证证证明方法：明方法： A A 为什么OC是角平分线呢？ 想一想： 已知：OM=ON，MC=NC。 求证：OC平分AOB。 证明：在OMC和ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， OMC ONC（SSS） MOC=NOC 即：OC平分AOB Your site here LOGO 练习1：平分平角AOB。 归纳：“过直线上一点作这条直线的垂线 ”的方法。 AB O C D A B O A O EB C P D 将 AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边 ),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论? 可以看一看,第一条折痕是AOB的平分线OC,第二次折叠 形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到AOB两边的距 离,这两个距离相等. 折一折 角平分线的性质 已知：如图，OC是AOB的平分线，点P在OC上， PDOA，PEOB，垂足分别是D，E。 求证：PD=PE 证明： PDOA（已知） PDO=90 同理: PEO=90 PDO= PEO 在PDO和PEO中 PD=PE（全等三角形的对应边相等） PDO= PEO AOC= BOC OP=OP PDO PEO（AAS） 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 D P E A O B C 证明几何命题的一般步骤： 1、明确命题的已知和求证 2、根据题意，画出图形，并用数学 符号表示已知和求证； 3、经过分析，找出由已知推出求证 的途径，写出证明过程。 角平分线的性质 定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 用符号语言表示为： A O B P E D 1 2 1= 2 PD OA于D ，PE OB 于E PD=PE (角的平分线上的点到角的两边的 距离相等) 推理的理由有三个 ，必须写完全，不 能少了任何一个。 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 B A D O P E C 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 定理的作用： 证明线段相等。 如图，AD平分BAC（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。 BD CD （） 如图， DCAC，DBAB （已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。 BD CD （） AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知） = ，（ ） DBDC 在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。 不必再证全等 Your site here LOGO 如图， OC是AOB的平分线， 又 _ PD=PE ( ) PDOA于D，PEOB于E B O A C D P E 角的平分线上的点 到角的两边的距离相等 Your site here LOGO 在OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB， EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D. 求证：AC=BD. O ABE CD Your site here LOGO 在ABC中， C=90 ，AD为BAC 的平分线，DEAB，BC7，DE3. 求BD的长。 E DC B A ， 1、在RtABC中，BD是角平分线，DEAB ，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ A BC D E 2、如图,OC是AOB的平分线,点P在OC上,PD OA,PEOB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则 PE=_cm. A D O B E P C 3 . 如图，DEAB，DFBC，垂足 分别是E，F， DE =DF， EDB= 60，则 EBF= 度， BE= 。 60 BF 4 如图，在ABC中，C=90，DEAB， 1=2，且AC=6cm，那么线段BE是ABC的 ，AE+DE= 。角的平分线6cm 5.已知ABC中, C=900,AD平分 CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？ A B C D E 你会吗？ Your site here LOGO 1 如图，在ABC中，C=90 AD是BAC的平 分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF； 求 证：CF=EB A CD E B F 2已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA， 垂足为D、E、F BM是ABC的角平分线，PDAB于D，PEBC于 E PD=PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等 A BC M N P D E F 怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？ 3 如图，的的外角的平分线与 的外角的平分线相交于点 求证：点到三边，所在直线的 距离相等 F G H 更上一层楼！ Your site here LOGO 这节课我们学习了哪些知识？ 1