机械运动的守恒定律.ppt

回顾 力对时间的累积效应力对时间的累积效应 动量定理 分量形式 动量守恒 也就是力、力矩对时间和空间的累积效应 力的空间累积效应 功 改变能量 牛顿第二定律是瞬时的规律。 力的时间累积效应： 平动冲量改变动量 转动冲量矩改变角动量 但在有些问题中，如：碰撞（宏观）、散射（微 观）我们往往只关心 过程中 力的 效果。 力矩的时间累积效应 定义 （1）质点对定点o 的角动量 方向：垂直于 组成的平面 SI 大小： 量纲： 思路:与处理动量定理 问题相同 也即 J.s 3.7 3.7 质点的角动量和角动量守恒质点的角动量和角动量守恒 1、质点的角动量 t 时刻，质点具有平动动量 定义 为力对定点o 的力矩 (2) 力对定点的力矩 大小： 方向：垂直于 组成的平面 量纲 ： 质点以角速度 作半径 为 的圆运动，相对圆心的 角动量 质量为 的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 ，质点相对于原 点的角动量 大小 的方向符合右手法则. 力矩的时间累积效应 冲量矩-角动量 力的时间累积效应 冲量-动量-动量定理 2、 质点的角动量定理 学过： 作用于质点的合力对参考点 O 的 力矩 ，等于质点对该点 O 的角 动量随时间的变化率. 力矩的时间累积效应为冲量矩 质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质 点所受的冲量矩等于质点角动量的增量. 注意注意 角动量与动量是两个不同的物理量， 角动量方向为角速度的方向，动量的方向为速度的 方向。 例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为 m 的 小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始时静止于圆环上的 点 A (该点在通过环心 O 的水平面上),然后从 A 点开始下滑.设小球 与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和 角速度. 解 小球受重力和支持 力作用, 支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里 由质点的角动量定理 B 考虑到 得 由题设条件积分上式 质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对 该参考点 O 的角动量为一恒矢量. 3 3、质点的角动量守恒定律、质点的角动量守恒定律 由角动量定理 恒矢量 对于不同的参考点，力矩和角动量都可能不同，因 此，角动量是否守恒，不仅与质点受力情况有关，而且 与参考点的选择有关。 例3.13 图3-28所示，质点m作圆锥摆动，设质点的速率v、圆 半径R及锥角为已知（容易证明v、R和中只有两个是独立参 量，为书写方便，视为已知量）。（1）以圆心O为参考点，试 求张力力矩、重力力矩、合力力矩和质点角动量；（2）以悬 挂点A为参考点，试求张力力矩、重力力矩、合力力矩和质点 角动量；（3）对圆心O和悬挂点A，质点角动量是否守恒？ 解 （1）根据（3-44）式，张力FT对圆心O的力矩为 M1=RFT 根据矢量叉积的定义，M1的方向与图中v方向相反，M1的大小 为 M1=RFTsin（ +）=RFTcos。 重力对圆心O的力矩为 M2=Rmg 由于FT = ，则M1=mgR。 其方向与图中v的方向相同， 其大小 M2=Rmgsin =mgR。 对O点的合力矩为 M0= M1+ M2=0 根据质点角动量定义，质点 m对圆心O的角动量为 L0=Rmv 其方向竖直向上，大小为L0=Rmvsin =Rmv。 （2）张力对悬挂点A的力矩为 M3=rFT=0 重力对A点的力矩为 M4=rmg 其方向与v相同， 大小为M4=rmgsin=Rmg。 对A点的合力矩为 M= M3+ M4 其方向与v相同，大小为M=Rmg。 质点m对悬点A的角动量为 L=rmv 其方向如图，大小为LA=r m v sin = 。 （3）对圆心O的合力矩M0=0，因此质点对O点的角动量守 恒，即其大小、方向都不变。 对悬点A的合力矩MA0，因此质点对A点的角动量不守恒 。计算结果表明，运动过程中质点对悬挂点A的角动量大小不 变，但方向不断变化。 1）角动量守恒定律的条件 2）动量守恒与角动量守恒 是相互独立的定律 3） 有心力 力始终过某一点 central force 如：行星在速度和有心力所组成的平面内运动 角动量守恒 如行星运动 动量不守恒 角动量守恒 讨论 开普勒第二定律 掠面速度 角动量守恒就是掠面速度相等 常矢量 m 例 如图所示，用轻绳系一质量为m的小球，使之在光滑水 平面上作圆周运动。开始时半径为r0，速率为v0。绳的另一 端穿过平面上的光滑小孔，现用力T向下拉绳，使小球运动 半径减小。试求(1) 当运动半径缩小至r时，小球的速率v？ (2) 若以速度u匀速向下拉绳，求(t)和T(t)。 解解(1) 拉绳过程中，小球受到重力和 支持力是平衡力，而绳子的拉力总 指向圆心，对圆心的力矩为零，因 此小球所受的合外力对圆心的力矩 为零，对圆心的动量矩守恒。 所以 (2) 由 ，有 根据题意知 故由式(1)、(2)可得 由于小球受到绳子的拉力提供向心力，根据 牛顿第二定律，并联立式(2)和(3)，有 例：彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦 点上，系统的角动量是否守恒？近日点与远日点的速度谁大？ 近日点 远日点 解：在彗星绕太阳轨道 运转过程中，只受万有 引力作用，万有引力不 产生力矩，系统角动量 守恒。 由质点的角动量定义： 即 即 近日点 远日点 近日点 r 小 v 大，远日点 r 大 v 小， 这就是为什么彗星运转周期为几十年，而经过太阳时只有很短 的几周时间。彗星接近太阳时势能转换成动能，而远离太阳时 ，动能转换成势能。 3.8 对称性与守恒定律 一、对称性一、对称性 把所讨论的对象，称为系统。同一系统可以处于不同的状 态，这不同的状态可能是等价的，也可能是不等价的。 把系统从一个状态变到另一个状态的过程称作变换，或者称 给系统一个“操作”。 如果一个操作使系统从一个状态变到另一个与之等价的状 态，或者说，状态在此操作下不变，我们就说该系统对这一操 作是对称的，而这个操作就称为该系统的一个对称操作。由于 变换或操作方式的不同，可以有各种不同的对称性。例如平移 、转动、镜像反射、时空坐标的改变、尺度的放大缩小都可视 为操作。 二、守恒定律与对称性二、守恒定律与对称性 1. 时间平移对称性与能量守恒定律 dE（t+dt）= dE（t） 在物理学中，我们始终承认和应用着一个假定，即时间具有 均匀性。时间均匀性也叫时间平移对称性，它意味着当应用 物理定律时，任意时刻都可被选作时间坐标轴的原点，即在 时间平移变换tt+t下，物理定律保持不变。与时间平移 对称性对应的是能量守恒定律。 上式表明，孤立系统总能量保持不变。如果时间平移不是微小 量t，而是一个较大量t，将t看成是若干个微小量t之和，用 上述方法进行若干次变换，可得到同样的结果。这样就从时间 均匀性导出了能量守恒定律。 2. 空间平移对称性与动量守恒定律 两质点系统总动量守恒，对于 n 个质点组成的系统也同 样可得到这个结果。这样就从空间均匀性导出了动量守恒定律 在平直空间的条件下，我们始终承认和应用着一个假定， 即空间的均匀性。空间的均匀性意味着，应用物理规律时， 移动坐标原点，物理规律的形式不会改变。空间均匀性也称 作空间平移对称性。也就是说，物理规律对于空间平移变换 具有对称性。与空间平移对称性对应的是动量守恒定律。 3. 空间旋转对称性与角动量守恒定律 故质点m对原点o 角动量守恒。这样就从空间各向 同性导出了质点的角动量守恒定律。 空间各向同性可理解为在平直空间中任何方向发生的物 理现象都服从相同的物理规律，即物理规律不随空间的方向 不同而改变。空间各向同性也叫做空间旋转对