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第一讲第一讲 相似三角形的判相似三角形的判 定及有关性质定及有关性质 选修 4-1 几何证明选讲 角平分线定理及直角三 角形的射影定理 一、平行线分线段成比例定理： 复习 A BC P D 三角形内角平分线定理：三角形一个角的平分线 分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成 比例， 练习： A BC P D E 三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其 夹角的外角平分线外分对边之比。 三角形角（内、外）平分线定理：三角形两边之 比等于其夹角或夹角的外角的平分线外分对边之 比。 二、直角三角形的射影定理 1、射影的定义： 直角三角形射影定理：直角三角形斜边上的高是 两直角边在斜边上射影的比例中项。两条条直角 边分别是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 。 A B C D （1）利用面积关系可以得到哪些线段 的比例关系？ （2）图中有哪些三角形相似？ 由三角形相似可得到哪些线段 的比例关系？ 练习： 1、如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D。AD=4， DB=16，则CD= ，AC= ,BC= . C BA DO 作业： 课本：P22#1 已知，如图，AM为ABC的角平分线，求证AB/AC=MB/MC 已知和证明1 图 证明：方法1：（面积法） SABM=(1/2)ABAMsinBAM, SACM=(1/2)ACAMsinCAM, SABM：SACM=AB:AC 又ABM和ACM是等高三角形，面积的比等于底的比， 证明2图 即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM AB/AC=MB/MC 方法2（相似形） 过C作CNAB交AM的延长线于N 则ABMNCM AB/NC=BM/CM 又可证明CAN=ANC AC=CN AB/AC=MB/MC 证明3图 方法3（相似形） 过M作MNAB交AC于N 则ABCNMC, AB/AC=MN/NC 而在ABC内，MNAB AN/NC=BM/MC 又可证明CAM=AMN AN=MN AB/AC=AN/NC AB/AC=MB/MC 方法4（正弦定理） 作三角形的外接圆，AM交圆于D(起标明交点作用，对证明无影响 ） 由正弦定理，得， 证明4图 AB/sinBMA=BM/sinBAM, AC/sinCMA=CM/sinCAM 又BAM=CAM，BM
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