模糊数学教学课件.ppt

模糊聚类的一般步骤 、建立数据矩阵 模糊聚类分析 1 （1）标准差标准化 模糊聚类分析 2 （2）极差正规化 （3）极差标准化 （4）最大值规格化 其中： 模糊聚类分析 3 、建立模糊相似矩阵（标定） （1）相似系数法 夹角余弦法 相关系数法 模糊聚类分析 4 （2）距离法 Hamming距离 Euclid距离 Chebyshev距离 模糊聚类分析 5 （3）贴近度法 最大最小法 算术平均最小法 几何平均最小法 模糊聚类分析 6 3、聚类并画出动态聚类图 （1）模糊传递闭包法 步骤： 模糊聚类分析 7 模糊聚类分析 8 解：由题设知特性指标矩阵为 采用最大值规格化法将数据规格化为 模糊聚类分析 9 用最大最小法构造 模糊相似矩阵得到 模糊聚类分析 10 用平方法合 成传递闭包 11 取 ，得 模糊聚类分析 12 取 ，得取 ，得 模糊聚类分析 13 取 ，得取 ，得 模糊聚类分析 14 画出动态聚类图如下： 0.7 0.63 0.62 0.53 1 模糊聚类分析 15 4、最佳阈值的确定 模糊聚类分析 （1） 按实际需要，调整 的值，或者是专家给值。 （2） 用 F - 统计量确定最佳值。 针对原始矩阵 X，得到 其中， 设对应于 的分类数为 r , 第 j 类的样本数为 nj , 第 j 类的样本记为： 16 则第j类的聚类中心为向量： 其中， 为第k个特征的平均值 作F - 统计量 模糊聚类分析 17 模糊模式识别 模式识别的本质特征：一是事先已知若干标准模式， 称为标准模式库；二是有待识别的对象。 所谓模糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模 糊的，或说标准模式库中提供的模式是模糊的。 18 模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中经常遇 到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式就是在已知各种 标准类型(数学形式化了的类型)的前提下，判断识别对象属于 哪个类型？对象也要数学形式化，有时数学形式化不能做到完 整，或者形式化带有模糊性质，此时识别就要运用模糊数学方 法。 模糊模式识别 19 在科学分析与决策中，我们往往需要将搜集到的历史资料 归纳整理，分成若干类型，以便使用管理。当我们取到一个新 的样本时，把它归于哪一类呢？或者它是不是一个新的类型呢 ？这就是所谓的模式识别问题。在经济分析，预测与决策中， 在知识工程与人工智能领域中，也常常遇到这类问题。 本节介绍两类模式识别的模糊方法。一类是元素对标准模 糊集的识别问题 点对集；另一类是模糊集对标准模糊集 的识别问题 集对集。 模糊模式识别 20 例1. 苹果的分级问题 设论域 X = 若干苹果。苹果被摘下来后要分级。一 般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来分级。于是可以 将苹果分级的标准模型库规定为 = 级，级，级，级 ，显然，模型级，级，级，级是模糊的。当果农拿 到一个苹果 x0 后，到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是 一个元素（点）对标准模糊集的识别问题。 模糊模式识别 21 例2. 医生给病人的诊断过程实际上是模糊模型识别过程。设 论域 X = 各种疾病的症候 (称为症候群空间) 。各种疾病 都有典型的症状，由长期临床积累的经验可得标准模型库 = 心脏病，胃溃疡，感冒，显然，这些模型(疾病)都是模 糊的。病人向医生诉说症状(也是模糊的)，由医生将病人的症 状与标准模型库的模型作比较后下诊断。这是一个模糊识别过 程，也是一个模糊集对标准模糊集的识别问题。 模糊模式识别 22 点对集 1. 问题的数学模型 (1) 第一类模型：设在论域 X 上有若干模糊集：A1，A2， AnF ( X )，将这些模糊集视为 n 个标准模式，x0 X 是待识别 的对象，问 x0 应属于哪个标准模式 Ai ( i =1，2， n ) ? (2) 第二类模型：设 AF ( X )为标准模式，x1, x2, , xn X 为 n 个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个 xi (i =1，2， ， n ) ? 模糊模式识别 23 一 最 大 隶 属 原 则 最大隶属原则： 最大隶属原则： 模糊模式识别 24 按最大隶属原则， 该人属于老年。 解： 模糊模式识别 25 例4. 选择优秀考生。设考试的科目有六门 x1：政治 x2：语文 x3：数学 x4：理、化 x5：史、地 x6：外语 考生为 y1，y2，yn，组成问题的论域 Y = y1, y2, , yn。设 A = “优秀”，是 Y 上的模糊集，A(yi) 是第 i 个学生隶属于优秀的程度。给定 A(yi) 的计 算方法如下： 模糊模式识别 26 式中 i =1, 2, , n 是考生的编号，j =1, 2, ,6 是考 试科目的编号， j 是第 j 个考试科目的权重系数。 按照最大隶属度原则，就可根据计算出的各考生 隶属于“优秀”的程度（隶属度）来排序。 例如若令 1= 2= 3=1， 4= 5= 0.8， 6= 0.7, 有 四个考生 y1, y2, y3, y4，其考试成绩分别如表 3.4 模糊模式识别 27 表 ：考生成绩表 yix1x2x3x4x5x6 y1 y2 y3 y4 71 85 63 92 63 82 68 89 82 63 95 61 90 84 94 63 85 91 62 87 70 82 70 81 模糊模式识别 28 则可以计算出 于是这四个考生在“优秀”模糊集中的排序为： y2, y4, y1, y3. 模糊模式识别 29 例5. 在论域X=0,100分数上建立三个表示学习成 绩的模糊集A=“优”,B =“良”,C =“差”.当 一位同学的成绩为88分时,这个成绩是属于哪一 类？ A(88) =0.8 30 B(88) =0.7 31 A(88) =0.8, B(88) =0.7, C(88) =0. 根据最大隶属原则,88分这个成绩应隶属 于A,即为“优”. 32 例6. 论域 X = x1(71), x2(74), x3(78) 表示三个学生的成绩,那一位学生的成绩最差？ C(71) =0.9, C(74) =0.6, C(78) =0.2, 根据最大隶属原则， x1(71)最差. 33 例7. : 细胞染色体形状的模糊识别 细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的 模糊识别,而几何图形常常化为若干个三角图 形,故设论域为三角形全体.即 X=(A,B,C )| A+B+C =180, ABC 标准模型库=E(正三角形),R(直角三角形), I(等腰三角形), IR(等腰直角三形), T(任意三角形). 34 某人在实验中观察到一染色体的几何形状， 测得其三个内角分别为94,50,36,即待识别 对象为x0=(94,50,36). 问x0应隶属于哪一种三角形？ 35 先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数. 直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足下列 约束条件： (1) 当A=90时, R(A,B,C)=1; (2) 当A=180时, R(A,B,C)=0; (3) 0R(A,B,C)1. 因此，不妨定义R(A,B,C ) = 1 - |A - 90|/90. 则R(x0)=0.955. 36 正三角形的隶属函数E(A,B,C)应满足下列约 束条件： (1) 当A = B = C = 60时, E(A,B,C )=1; (2) 当A = 180, B = C = 0时, E(A,B,C)=0; (3) 0E(A,B,C)1. 因此，不妨定义E(A,B,C ) = 1 (A C)/180.则E(x0) =0.677. 37 等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足下列约 束条件： (1) 当A = B 或者 B = C时, I(A,B,C )=1; (2) 当A = 120, B = 60, C = 0时, I(A,B,C ) = 0; (3) 0I(A,B,C )1. 因此，不妨定义 I(A,B,C ) = 1 (A B)(B C)/60. 则I(x0) =0.766. 38 等腰直角三角形的隶属函数 (IR)(A,B,C) = I(A,B,C)R (A,B,C); (IR) (x0)=0.7660.955=0.766. 任意三角形的隶属函数 T(A,B,C) = IcRcEc= (IRE)c. T(x0) =(0.7660.9550.677)c = (0.955)c = 0.045. 通过以上计算,R(x0) = 0.955最大,所以x0应隶属于 直角三角形. 39 模糊模式识别 集对集 例如：论域为“茶叶”，标准有5种 待识别茶叶为B，反映茶叶质量的6个指标为：条索， 色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶 A1A2A3A4A5B 条索0.50.30.2000.4 色泽0.40.20.20.10.10.2 净度0.30.20.20.20.10.1 汤色0.60.10.10.10.10.4 香气0.50.20.10.10.10.5 滋味0.40.20.20.10.10.3 40 在实际问题中，我们常常要比较两个模糊集的模糊距离 或模糊贴近度，前者反映两个模糊集的差异程度，后者 则表示两个模糊集相互接近的程度，这是一个事情的两 个方面。如果待识别的对象不是论域 X 中的元素 x，而 是模糊集 A，已知的模糊集是 A1, A2, , An，那么问 A 属于哪个 Ai (i = 1, 2, n)？就是另一类模糊模式识别问 题 集对集。解决这个问题，就必须先了解模糊集之 间的距离或贴近度。 41 1. 距离判别分析 定义 设 A、B F ( X )。称如下定义的dP(A, B) 为 A 与 B 的 Minkowski (闵可夫斯基) 距离 (P1)： ) 当 X = x1, x2, , xn 时， ) 当 X = a, b 时， 模糊模式识别 42 特别地， p=1 时，称 d 1(A, B) 为 A 与 B 的 Hamming (海明) 距离。 p=2 时，称 d2(A, B) 为 A 与 B 的 Euclid (欧几里德) 距离。 有时为了方便起见，须限制模糊集的距离在 0, 1中，因 此定义模糊集的相对距离 dp(A, B) ，相应有 (1) 相对 Minkowski 距离 模糊模式识别 43 (2) 相对 Hamming 距离 模糊模式识别 44 (3) 相对 Euclid 距离 模糊模式识别 45 有时对于论域中的元素的隶属度的差别还要考虑到权重 W(x)0，此时就有加权的模糊集距离。一般权重函数满足下 述条件： 当 X = x1，x2，xn 时，有 当 X = a, b 时，有 加权 Minkowski 距离定义为 模糊模式识别 46 加权 Hamming 距离定义为 加权 Euclid 距离定义为 模糊模式识别 47 例8. 欲将在 A 地生长良好的某农作物移植到 B地或 C 地，问 B 、C 两地哪里最适宜？ 气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件，因而 A、B 、C 三地的情况可以表示为论域 X = x1 (气温)，x2 (湿度)，x3 (土壤) 上的模糊集，经测定，得三个模糊集为 模糊模式识别 48 由于 dw1( A, B ) dw1( A, C )，说明 A，B 环境比 较相似，该农作物宜于移植 B 地。 模糊模式识别 设权重系数为 W = ( 0.5, 0.23, 0.27 )。计算 A 与 B 及 A 与 C 的加权 Hamming 距离，得 49 2、贴近度 模糊模式识别 按上述定义可知，模糊集的内积与外积是两个实数。 定义 设 A，B F (U)，称 为 A 与 B 的内积，称 为 A 与 B 的外积。 50 比较，可以看出 AB 与 ab 十分相似，只要把经典数学 中的内积运算的加 “+” 与乘 “ ” 换成取大 “” 与取小 “” 运算，就得到 AB。 模糊模式识别 若 X =x1, x2, xn，记 A(xi) = ai，B(xi) = bi，则 与经典数学中的向量 a = a1, a2, an 与向量 b = b1, b2, bn 的内积 51 例9. 设 X =x1, x2, x3, x4, x5, x6, 则 A B 模糊模式识别 52 例10. 设 A，BF (R)，A、B 均为正态型模糊集，其隶属函数 如图 3.33 AB C D E 0a x* b x 图 3.33 正态型模糊集 A、B 模糊模式识别 53 由定义知AB 应为 max( AB ) ，隶属度曲线CDE 部分的峰值， 即曲线 A(x) 与 B(x) 的交点 x* 处的纵坐标。为求 x*，令 解得 于是 类似地，由于故 A B=0。 模糊模式识别 54 模糊模式识别 表示两个模糊集A，B之间的贴近程度。 或 L( A，B) = ( AB) ( A B)C 55 C = C = 故B比A更贴近于. 模糊模式识别 56 模糊模式识别 57 模糊模式识别 58 二、择近原则I 模糊模式识别 59 模糊模式识别 例12.论域为“茶叶”，标准有5种 待识别茶叶为B，反映茶叶质量的6个指标为：条索， 色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶 A1A2A3A4A5B 条索0.50.30.2000.4 色泽0.40.20.20.10.10.2 净度0.30.20.20.20.10.1 汤色0.60.10.10.10.10.4 香气0.50.20.10.10.10.5 滋味0.40.20.20.10.10.3 B)， 60 模糊模式识别 计算得 故茶叶 B 为 A1 型茶叶。 61 例13.蠓的分类 下图给出了9只Af和6只Apf蠓的触角长和翼 长数据, 其中“”表示Apf,“”表示Af.根据 触角长和翼长来识别一个标本是Af还是Apf 是重要的. 给定一只Af族或Apf族的蠓,如何正确地区分 它属于哪一族？将你的方法用于触角长和翼 长分别为(1.24,1.80), (1.28,1.84), (1.40,2.04)三个标本. 62 63 先将已知蠓重新进行分类 64 当 = 0.919时,分为3类1, 2, 3, 6, 4, 5, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15,三类的中心向量分别 为(1.395,