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1.7正整数的正约数个数与总和 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、自然数的正约数的个数及所有正约 数的和 定义1.7 d(n)表示自然数n的所有正约数的个数(通常也 成为除函数)，如d(2)=2， d(4)=3； S(n)表示自然数n的所有正约数的和，如S(2)=1+2=3， S(4)=1+2+4=7. 定理1.4.4 设n=p11p22pnn, 则有： d(n)=(1+1) (2+1) (n+1). n特别地，p为质数的充分必要条件是： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明： n=p11p22pnn n的任意正约数都可以写成以下形式： n= p1x1p2x2pnxn (0xii). 上式中的每一个xi都可以取0, 1, , i这(i +1)个不同 的值，而每一个xi又可以与其他xj (xi xj )任意组成a的 正约数，根据排列组合中的分布计数原理，总共有： (1+1) (2+1) (n+1) 中可能性，故n的正约数共有(1+1) (2+1) (n+1)个 . 注：上述定理说明一个大于1的整数的正约数的个数， 等于它的标准分解式中每个质因数的指数加1的连乘积. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论 若(a, b)=1，则d(ab)=d(a)d(b). 定理 若(a, b)=1，则S(ab)=S(a)S(b). n例1 求 n例2 求满足 的最小正整数n. n例3 若n=paqb ,其中p、q为不同质数，a 、b均大于等于1，且n2有15个正约数， 求 例4 一个形如2k3m的正整数，其所有正约数 的和为403，求这个正整数. 例5 有一个小于2000的四位数，它恰有14个 正约数，其中有一个质约数的末位数字是1 ，求这个四位数. 例6 自然数A和B的正约数个数分别是12和10 ，且A，B的标准分解式中只含有质因数3和 5，（A，B）=75，求A+B. 例7 求1998的所有正约数的倒数之和. 思考题 n1、求自然数N，使得它能被5和49整除， 并且包括1和N在内，共有10个约数. n2、求不大于200且恰有15个正约数的正整 数. n3、若a=695+5 694+10 693+10 692+5 6
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