集合的概念与基本运算.ppt

第一章第一章 第一章 集合 1 第一章第一章 主要内容 一. 集合的概念 二. 集合的基本运算 三. 集合的宏运算 四. 集合运算的其他表示法 2 第一章第一章 1.集合：将一些事物汇集到一起组成的整体，其中每个事物称为这个集合 的元素。 注：如果x是集合A的元素，则记为xA 。 集合的表示方法：列元素法和谓词表示法 列元素法：列出集合的所有元素或部分元素，可用于有限集和有一定 规律的无限集。如： A=a，b，z Z=0，-1，1，-2，2， D=a，a，a，b集合中的元素还可以是集合。 谓词表示法：用谓词来描述集合中元素的性质。 如：B=x | xR (x-1=0) 描述法 =x | F(x)G(x) 谓词描述法 设F(x):xR ,G(x):x-1=0 . 集合的性质： （1）集合的元素是彼此不同的，相同的元素应该认为是同一个元素。 （2）集合的元素是无序的。如：1，2，3=2，3，1 一. 集合的概念 3 第一章第一章 注：元素与集合的关系是属于和不属于 。 集合与集合的关系是包含和不包含. 2.子集合:若集合B中的元素都在集合A中，则称B是A的子集合(简称子集)。 这时也称B被A包含，或A包含B。记为B A。 如果B不被A包含，则记为BA。 注：(1)包含的符号化：BAx(xBxA)。 (2)对任何集合A，都有AA。 3.集合的相等:如果 AB且BA,则称集合A与B相等，记为A=B。 注：相等的符号化：A=B ABBA。 4.真子集：对符号A,B,若BA且BA, 则称B是A的真子集,记为BA 。 如果B不是A的真子集，则记为BA 。 注：真子集的符号化：BA (BA)(B A)。 4 第一章第一章 5.空集：不含任何元素的集合称为空集，记为 注: 1. 空集的符号化： =x|x x 。 2. 空集是一切集合的子集。 3. 空集是唯一的。 6.基数：当集合元素只有有穷个时，称集合A中元素的个数为该集合的基数，记作 |A|。 例 设A=1,2,3,求A的所有子集合。 7.集合A的幂集：由A的所有子集作为元素形成的集合。记为P(A)或2A 。 注:(1)幂集的符号化：P(A)= B | B A (2) |2A|=2|A| 续 设A=1,2,3,求P(A)。 8.全集：如果一个问题中所涉及的集合都是某一集合的子集，则称该集合为全集。全 集一般记为E。 注：不同问题有不同的全集，同一问题也可以取不同的全集。一般 总是将全集取得尽可能小，以便描述和处理问题更加简便。 5 第一章第一章 例：求下列集合的幂集合。 (1), (2) (3)1,2,2,1,1,2,1,1,2 解： (1) P(,)=, , ,. (2) P( )=P()= ,. (3) P(1,2,2,1,1,2,1,1,2)=P(1,2)= ,1,2. 例：判断真伪。 (1)xx (2)xx (3)xx ,x (4)xx ,x (5)xxx (6)若xA , AP(B), 则xP(B) (7)若x A , A P(B), 则x P(B) 6 第一章第一章 定理1：A ，B , A=B 2A=2B。 证明: (1)已知 A=B x 2A x A x B x 2B 2A 2B 同理2B 2A。故2A=2B (2)已知 2A=2B x A x A x 2A x 2B x B x B A B. 同理可证B A。故A=B 证毕。 7 第一章第一章 （一）集合的三种常用运算 设A,B是集合 1.A的补集(或称绝对补)：A=A = E A = x | x E x A 2.A与B的并：AB = x | x A x B 3.A与B的交：AB = x | x A x B 注: (1)“并”和“交”运算可以推广到有（无）限个集合： 二. 集合的基本运算 8 第一章第一章 设A,B,C是集合，则下列运算律成立： 1. 幂等律：AA=A, AA=A 2. 结合律：(AB)C=A(BC), (AB)C =A(BC) 3. 交换律：AB=BA, AB=BA 4. 分配律：A(BC)=(AB)(AC), A(BC)=(AB)(AC) 5. 同一律：A = A, AE = A 6. 零律： AE = E, A = 7. 排中律：AA = E 8. 矛盾律：AA = 9. 吸收律：A(AB)=A, A(AB)=A 10. 德摩根律：A(BC)=(AB)(AC), A(BC)=(AB)(AC) (BC)=BC, (BC)=BC =E, E= 11.双重否定律：(A)=A (二). 集合恒等式 9 第一章第一章 其它重要运算性质： 1.AB A, AB B 2. A AB , B AB 3. AB=B AB AB=A A B= 4. A C且B C AB C 5. C A且C B C (AB) 10 第一章第一章 例 证明A(BC)=(A B) (A C) 证：对任意的x xA (BC) xAx(BC) xAxB xC (xAxB)(xAxC) x(A B) x(A C) x(A B) (A C) A (BC)=(A B) (A C) 欲证 P=Q 1.利用命题演算方法证明 PQ 且 QP。即证 xP xQ 且 xQ xP 2.直接利用运算律和已知的集合恒等式做恒等变形。 (三). 证明集合恒等式的方法 11 第一章第一章 例 证明 A E=A 证：对任意x, xA E xA xE xA. 故 A E=A 例 证明 A(A B)=A 证：A(A B)= (A E)(A B) (同一律) = A (EB) （分配律） = A E （零律） = A （同一律） 12 第一章第一章 例 证明 AB=B AB AB =A AB = 证明:(1)先证 AB=B AB 对x, xA xAxB x(AB) xB, ( AB=B) AB (2) 再证 ABAB=A 显然ABA ，下面只需证AAB 对x，xA xAxA xAxB x(AB). ( AB) AB=A