2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学文科试题含答案(纯word版.doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔讲试卷类型（A）填涂在答题卡相应的位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。参考公式：球的体积，其中R为球的半径.锥体的体积公式为，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。一 、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合，则（ ）是开始输入n输出s结束图1否 A0 B.0，2 C.2，0 D.2，0，22、函数的定义域是（ ） A（1，+） B.，+） C. D. 3、若，R，则复数的模是（ ） A2 B.3 C.4 D.54、已知，则（ ） A B. C. D. 5、执行如图1所示的程序框图，若输入的值为3，则输出的值为 A1 B.2 C.4 D.76、某三棱锥的三视图如图2所示，则该棱锥的体积是（ ）211图2 A B. C. D. 17、垂直于直线且与圆相切于第象限的直线方程是（ ）A B. C. D. 8、设是直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A若,，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则9、已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于，则C的方程是（ ） A B. C. D.10、设是已知的平面向量，且。关于向量的分解，有如下四个命题：给定向量，总存在向量，使；给定向量和，总存在实数和，使；给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；给定正数和总存在单位向量和单位向量，使。上述命题中向量，和在同一个平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ） A1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，考生答4小题，每小题5分，满分20分。（一）必做题（1113题）图3ABCDE11、设数列是首项为1，公比为2的等比数列，则 。12、设曲线在点（1，）处的切线平行于轴，则 13、给定区域D：，则的最大值是 。（二）选做题（1415题，考生只能从中选一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立极坐标系，则曲线的参数方程为 。15、（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，AB，BC3，。垂足为E，则ED 。三、解答题：本大题共6小题，满分80。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16、（本题满分12分）已知函数，。（1）求的值；（2）若，求。17、（本题满分12分） 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布如下：分组（重量）80，8585，9090，9595，100频数（个）5102015 （1）根据频数分布表计算苹果的重量在90，95的概率； （2）用分层抽样的方法从重量在80，85和95，100的苹果中共抽取4个，其中重量在80，85的有几个？ （3）在（2）中抽取出的4个苹果中，任取2个，求重量在80，85和95，100各有1个的概率。18、（本题满分14分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，ADAE，F是BC的中点。AF交DE于G，将沿AF折起，得到如图5所示的三棱锥，其中。ABCDE图4FGBCDE图5AGF（1）证明：平面BCF；（2）证明：CF平面ABF；（3）当AD时，求三棱锥FDEG的体积。19、（本题满分14分） 设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且，构成等比数列。（1） 证明：；（2） 求数列的通项公式；（3） 证明：对一切正整数，有20（本小题满分14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点到直线的距离为，设P为直线上的点，过点P做抛物线C的两条切线PA,PB其中A,B为切点。（1） 求抛物线C的方程；（2） 当点为直线上的定点时，求直线AB的方程；（3） 当点P在直线上移动时，求的最小值。21.（本小题满分14分）设函数(1) 当时，求函数的单调区间；(2) 当时，求函数在，上最小值和最大值.2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678910答案ACDCCBABDB二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分（一）必做题（11 13题）11. 15 12. 13.5（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. （为参数） 15.三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分12分）已知函数，（1）求的值；（2）若，求16. 解：（1）（2）因为，所以17.（本小题满分12分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）频数（个）5102015（1）根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率17. 解：（1）苹果的重量在的频率为；（2）重量在的有个；（3）设这4个苹果中分段的为1，分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种设“任取2个，重量在和中各有1个”为事件，则事件包含有（1，2），（1，3），（1，4）共3种，所以.18.（本小题满分14分）如图4，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图5所示的三棱锥，其中（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）当时，求三棱锥的体积18. 解：（1）在等边三角形中， 所以，在折叠后的三棱锥中也成立所以 因为平面，平面平面（2）在等边三角形中，是的中点，所以，因为在三棱锥中，所以，即因为所以（3）由（1）可知，结合（2）可得.所以19. （本小题满分14分）设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且构成等比数列（1）证明：；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有19. 解：（1）当时，即因为，所以（2） 当时， 得整理得因为，所以，即（）所以当时，是公差为2的等差数列.因为构成等比数列，所以，即，解得由（1）可知，所以因为所以是以1为首项，2为公差的等差数列所以数列的通项公式为，.（3）20.（本小题满分14分）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点（1）求抛物线的方程；（2）当点为直线上的定点时，求直线的方程；（3）当点在直线上移动时，求的最小值20. 解（1）焦点到直线的距离，解得 所以抛物线的方程为（2）方法一：设，由（1）得抛物线的方程为，所以切线，的斜率分别为，所以: : 联立可得点的坐标为，即，又因为切线的斜率为，整理得直线的斜率所以直线的方程为整理得，即因为点为直线上的点，所以，即所以直线的方程为 方法二：设点,，由（1）得抛物线的方程为，所以抛物线在点处的切线的方程为，即. 因为， 所以 .因为点在切线上，所以 同理有 综合、得，点的坐标都满足方程因为经过两点的直线是唯一的所以直线的方程为，因为点为直线上的点，所以，即所以直线的方程为 （3）方法一：根据抛物线的定义，有，所以由（2）得，所以 所以当时，的最小值为方法二：根据抛物线的定义，有，所以联立，消去得所以，因为所以所以当时，的最小值为21.（本小题满分14分）设