MATALB8.5基础与实践教程(第2版)第5章线性代数运算.ppt

5.1常用矩阵的生成 5.2矩阵的基本运算 5.3符号矩阵的基本运算 5.4矩阵分析 5.4.1矩阵的共轭与逆 5.4.2向量和矩阵的范数 5.4.3矩阵的条件数 5.5矩阵的秩与初等变换 5.6矩阵的分解 5.6.1对称正定矩阵的Cholesky分解 5.6.2矩阵的LU分解 5.6.3矩阵的QR分解 5.6.4矩阵的奇异值分解 5.6.5Schur分解 5.6.6Hessenberg分解 5.6.7矩阵的特征值分解 5.7求解线性方程组 5.7.1齐次线性方程组的求解 5.7.2非齐次线性方程组的求解 5.8向量的内积与正交化 5.8.1向量的内积与正交 5.8.2矩阵的正交化 5.9特征多项式及相似对角化 5.9.1特征多项式 5.9.2实对称阵的相似与对角化 5.10二次型的标准化及正定性 5.10.1二次型的标准化 5.10.2二次型的正定性判别 第5章 线性代数运算 5.1常用矩阵的生成 除了表1-5列出的 常用矩阵外， MATLAB还提供了一 些用于线性代数分析 的常用矩阵和特殊矩 阵生成的函数命令。 表5-1给出了常用矩阵 生成的函数命令, 表5- 2给出了常用特殊矩阵 生成的函数命令。 5.2 矩阵的基本运算 矩阵的基本运算除了前面已介绍的算数运算中的相关内容（如章节1.3） ，还包括线性代数中对矩阵进行处理与运算的专用函数命令。如矩阵的行 列式计算，矩阵的逆和伪逆，矩阵的秩，矩阵的范数与条件数，特征向量 与特征值，矩阵分解等。矩阵的基本命令格式如表5-3所示。 MATLAB提供的符号矩阵工具，可用于线性代数的求解问题。 以下举例说明。 【例5-5】 符号矩阵的四则运算与简化。 clear; A=sym(ab,c;e,34) %生成符号矩阵A B=sym(cos(t),sin(t);-sin(t),cos(t) %生成符号函数矩阵B 5.3 符号矩阵的基本运算 5.4矩阵的分析 用于矩阵分析的常用函数命令格式及说明如表5-4所示。 【例5-7】 判断矩阵 是否对称，并显示出结果。 5.4.1矩阵的共轭与逆 5.4.2向量和矩阵的范数 范数是距离的概念在矩阵中的推广，其本质是描述线性空 间元素及元素之间距离的长度或大小。范数。 5.4.3矩阵的条件数 MATLAB提供的条件数函数的常用格式如表5-6所示。 5.5矩阵的秩与初等变换 矩阵的秩与初等变换的基本命令格式如表5-7所示。 5.6矩阵的分解 在求解线性方程组、矩阵特征值与特征向量的过程中都要用到矩阵的分解。 MATLAB提供了许多常用的矩阵分解函数命令。这些函数命令在线性代数和矩阵理 论研究中非常有用。 常用的矩阵分解函数命令见表5-8。 5.6.1对称正定矩阵的Cholesky分解 若矩阵A是对称正定的,则A可进行Cholesky分解,即A=RR，其中R为上三角矩 阵。MATLAB的命令格式为： R=chol(A) 若矩阵A是对称正定的, 则可以返回一个上三角矩阵R。若矩阵A不是对称正 定的,则返回出错误信息。即可由结果判断A的对称正定性。命令格式为： R,p=chol(A) 若矩阵A是对称正定的, 则可以返回一个上三角矩阵R和p=0; 若矩阵A不是对 称正定的, 则p为正整数(不返回出错误信息); 当A满秩时, R的阶为q=p-1的上三 角阵, 且R*R=A(1:q,1:q)。 另外，可由p值判断A的对称正定性。 5.6.2矩阵的LU分解 矩阵的LU分解也称为三角分解，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。当L为 单位下三角阵时，称为Doolittle分解；U为上三角阵时，称为Crout分解。 MATLAB对矩阵的LU分解的命令格式为： L,U=lu(A) 分解结果满足L*U=A。 L可能为下三角阵的变换形式。 L,U,P=lu(A) P为单位矩阵的行变换阵，满足P*A=L*U。 5.6.3矩阵的QR分解 对于实非奇异矩阵A, 都可分解为正交(酉)矩阵Q和上三角矩阵R的乘 积, 即A=Q*R，称为QR分解或正交分解。可以用函数命令qr(A)对A进 行QR分解，格式如下： Q,R= qr(A) R为上三角阵, Q为正交阵, 满足 A=Q*R Q,R,E=qr(A) R为对角元素的绝对值递减的上三角阵, Q为正交阵, E为 单位阵的变换阵, 满足A*E=Q*R 5.6.4矩阵的奇异值分解 奇异值分解的常用格式: S=svd(A) 返回A的奇异值矩阵S(与A同阶)且对 角元为降序排 列的非负对角阵 U,S,V=svd(A) 返回的U和V均为酉矩阵, 且满足A=U*S*V U,S,V=svd(A,0) 对A进行经济型分解, 如果A为mn(mn)的 矩阵, 只计算出U的n列和nn的奇异值矩阵S中的非零元素 个数就是矩阵A的秩。 5.6.5 Schur分解 对矩阵A进行Schur分解后得到的Schur矩阵R, 满足 U*A*U=R, 其中U是正交(酉)矩阵，R的对角元是A的特征值 ,它们可以按要求顺序排列。Schur分解的常用格式： U,R=schur(A) 返回A的Schur矩阵R和酉矩阵U, 满足 U*A*U=R和U*U=eye(size(U) R=schur(A) 返回A的Schur矩阵R 5.6.6 Hessenberg分解 对方阵A进行Hessenberg分解后的矩阵H的第一子对角线以下元 素均为0, 且与原矩阵有相同的特征值。如果被分解的矩阵是对称 阵或Hermitian阵，则Hessenberg阵为对角三角阵。常用调用格式 H=HESS(A) 返回A的Hessenberg分解H P,H =HESS(A) 返回A的Hessenberg分解H和一个酉阵P, 且满足 A=P*H*P, P* P=eye(size(P) 5.6.7矩阵的特征值分解 对任何一个方阵A，总存在一些特殊向量x，满足Ax=x ，称满足此式的列向量x为A的一个特征向量（eigenvector ），称为x对应的特征值（eigenvalue）。称上述方程为 特征方程（eigenvalue equation）。上式的广义特征方程 表示为Ax=Bx，其中B是与A同阶的方阵。通过特征值分解 可以得到方阵A（或和B）的（广义）特征值及特征向量。 5.7求解线性方程组 线性方程组分为齐次方程组AX=0和非齐次方程 组AX=b。求解线性方程组时，需要对方程的特性进 行分析，根据具体情况采用有效的求解方法。 5.7.1 齐次线性方程组的求解 对于齐次线性方程组AX=0，可以通过系数阵A的 行列式或秩来判断解的情况： 1）如果det(A)0或rank(A)满秩, 则方程组只有零解; 2）如果det(A)=0或rank(A)非满秩, 则方程组有无穷组解。 对矩阵A，利用命令语句B = null(A) 可以得到A的一个标准正交基 (an orthonormal basis )B，即满足AB=0，所以X=B是它的一个解, 通解为X=k*B, k为任意常数。语句B = null(A,r) 给出有理数表示 的基。 5.7.2 非齐次线性方程组的求解 求解非齐次线性方程组AX=b时，首先要判别方程组的解的 情况。方程组解与系数矩阵A及增广矩阵A,b的秩和求解变 量个数(X的行数n)有关。方程组AX=b的解有以下3种情况： 1）如果A的秩与A,b的秩相等, 且等于求解变量个数n, 则方程 组有唯一解。 2）如果A的秩与A,b的秩相等, 且小于求解变量个数, 则方程 组有无穷多解。 3）如果A的秩小于A,b的秩,则方程组无解。 5.8 向量的内积与正交化 本节基于向量内积与正交化的基本概念，介 绍向量内积与正交化的MATLAB实现方法。 5.8.1向量的内积与正交 设n维向量 和 ,有 1）称 为向量x与y的内积, 即向量的内积运算是指两个同维的向量对应元素 相乘之后的和(参见章节2.5.1)。可以利用函数命令dot(x,y)或x*y得到，即 c=dot(x,y)或c=x*y 2）当dot(x,y)=0时,称向量x与y正交，即x与y线性无关。由一组两两正交（线 性无关向量组）的非零向量构成的矩阵成为正交矩阵。给定一个线性无关 向量组成的矩阵A，寻找一个与A等价的正交向量矩阵B，称为将A正交(规 范)化。正交矩阵满足BB=I。 3）非负实数(xx)1/2= |x|2 称为向量长度。 |x|2=1时称为单位向量。 可以利用函数命令norm(x)或sum(abs(x).2)(1/2) 得到。 5.8.2 矩阵的正交化 向量的正交(规范)化是将原矩阵等价变换为各列两两正交 的矩阵B即正交规范基，它满足B*B=I。 求正交矩阵B的函数命令格式为： B=orth(A) 通常情况下，高阶矩阵的特征多项式求解非 常困难。本节介绍特征多项式及其相似对角 化的MATLAB求解方法。 5.9 特征多项式及相似对角化 clear; A=-1,1,0;-4,3,0;1,0,2;c=poly(A) c = 1 -4 5 -2 即A的特征多项式为 roots(c) %对多项式f(s)求根 ans = 2.0000 1.0000 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000i 即f(s)的根为A的特征值。 5.9.1 特征多项式 对于n阶方阵A和D，若存在可逆矩阵V，使得 V-1AV=D, 则称A与D相似。将A转换为D称为相似变换，D称为相似阵，V称 为变换矩阵。A与D有相同的特征值。 如果A与D对角相似，则有D=diag(1, 2,., n)。进一步，若变换矩阵V的 第k列vk是k的特征向量，则称V为正交变换矩阵或对角化矩阵。 实现对角化的条件是：方阵A有n个线性无关的特征向量，n个线性无 关的特征列向量矩阵V与以特征值为对角元所构成的对角矩阵D之间满足 V-1*A*V=