次型及其标准形2.ppt

机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 所谓方阵 可以对角化 , 是指与对角阵相似 . 即存在可逆矩阵使 成立. 1. 可对角化矩阵的性质 即存在可逆矩阵 使 成立，那么： 若与对角阵相似 , 即是A的 n个特征值;而P的第i列 是 的对应于特征值 的特征向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 说明 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似 推论 如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 能对角化 2. 矩阵可对角化的条件 定理2 n阶方阵A可以对角化 A有n个线性无关的特征向量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 （1）求 的所有根 （2）对每一特征值 否则，将所有 矩阵A对角化的步骤: (重数为 的一个基础解系 若有一个,则A不能对角化; 特征值对应的基础解系合在一起: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 定理1 对称矩阵的特征值为实数. 一、对称矩阵的性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 是A的全部特征值. 其中 设A为n阶对称矩阵,则必有n阶正交矩阵Q ,定理3 使 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 二、实对称矩阵的对角化 对称矩阵对角化的步骤对称矩阵对角化的步骤: : (2) 求特征值对应的线性无关的特征向量: (1) 求全部特征值; ,若特征值为单根对特征向量单位化; 若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化; 且为正交阵, (3) 写出正交矩阵Q, 及相似标准形 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形 五、小结 思考题 二、二次型的表示方法 一、二次型及其标准形的概念 第五节 二次型及其标准形 第五章 相似矩阵及二次型 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 一、二次型及其标准形的概念 称为二次型. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形（或法式） 例如 都为二次型； 为二次型的标准形. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 1用和号表示 对二次型 二、二次型的表示方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 2用矩阵表示 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 解 例 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 例2求下列二次型的矩阵 1)三元二次型 2) 二元二次型 解 1) 这是三元二次型, 所求矩阵为三阶实对称矩阵 2) 这是二元二次型,所求矩阵为三阶实对称矩阵 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 例3 求n元二次型 的矩阵A. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 例4 求n阶对称矩阵 所对应的二次型. 解： 所对应的二次型为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 设 四、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 说明 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 解1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 例2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 从而得特征值 2求特征向量 3将特征向量正交化 得正交向量组 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 4将正交向量组单位化，得正交矩阵 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 于是所求正交变换为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 例6 用正交变换化二次型 为标准型. 解： 二次型的矩阵 特征值为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 其对应的特征向量分别为 将这三个向量规范正交化得到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 令 则 做正交变换 化为标准型 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 相似矩阵及二次型 1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间