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6.4 6.4 二次型在二次曲面研究中的应用二次型在二次曲面研究中的应用 前面所讲的二次曲面，它们的方程都是特殊 形式，称为二次曲面的标准方程，而二次曲面的 一般方程为： （1） 其中 都是实数.我们记 其中利用二次型的表示方法，方程 （1）可表示成下列形式： （2） 为研究一般二次曲面的性态，我们需将二次 曲面的一般方程转化为标准方程，为此分两步进 行. 第一步，利用正交变换x = Py 将方程（2）左 边的二次型xTAx的部分化成标准形： 其中P为正交矩阵，y =(x1, y1, z1)T,相应地有 于是方程(2)可化为 (3) 第二步, 作平移变换 将方程(3) 化为标准方程, 其中这里只要用 配方法就能找到所用的平移变换.以下对 (1)当 是否为零进行讨论: 用配方法将方程(3)化为 标准方程: (6-1) 根据与d 的正负号，可具体确定方程 （6-1）表示什么曲面. 例如与d 同号， 则方程（6-1）表示椭球面. （2）当中有一个为0，设 方程（3）可化为： (6-2) (6-3) 根据 与d 的正负号, 可具体确定方程(6-2) (6-3)表示什么曲面. 例如当同号时, 方程 (6-2)表示椭圆抛物面. 当异号时, 方程 (6-2)表示双曲抛物面, (6-3) 表示柱面. (3) 当中有两个为0 , 不妨设 方程(3) 可化为下列情况之一: 此时, 再作新的坐标变换: (实际上是绕轴的旋转变换), 方程可化为: 表示抛物柱面; 表示抛物柱面; 表示抛物柱面; 例13 二次曲面由以下方程给出, 通过坐标 变换, 将其化为标准型，并说明它是什么曲面. 解 将二次曲面的一般方程写成矩阵形式： A 的特征值为分别求出 它们所对应的特征向量，并将它们标准正交化： 取 P= ( p1 , p2 , p3 ) , 则 P 为正交矩阵. 作正交变换 x = Py , 其中 则有: 因此, 原方程可化为: 配方得: 令 则原方程化为标准方程: 该曲面为椭圆抛物面. 例14 将二次曲面 z = x y 的方程化为标准 方程, 并说明它是什么曲面. 解 z = x y 可写成 xy z = 0 , 令 该曲面方程用矩阵形式表示为: A的特征值为 分别 求出它们所对应的特征向量, 并单位化得: 取P= ( p1 , p2 , p3 ) ，则P为正交矩阵. 作正交变换 x = Py ,则有： 因此，所给二次曲面化成标准方程为： 即 表示双曲抛物面（马鞍面）. x1 y1 z( z ) o x y 图6.18 注： 所作的正交变换实际上是一个旋转变换，z 轴不动，逆z 轴方向看去，x 轴，y 轴顺时针方向 旋转45 0角. 例15求 xoy 面上的椭圆 的面积. 其中 0 ,0 . 解设二次型 其系数矩阵 由于 0 , 0 , 知T 正定,故特征值全大于0,
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