正交变换化二次型.ppt

返回 上页 下页 结束 3.4 利用正交变换 化实二次型为标准形 一.相似矩阵与相似变换 二. 实对称矩阵的对角化 三. 利用正交变换化二次型 为标准形 11.15 第十五讲 返回 上页 下页 结束 想要解决的问题 给定实二次型 求正交变换 正交变换的优点: 保向量长度不变 分析: 若 P 存在, 有何特点: 与比较可见: P 为正交阵 PTP = E PT = P1 P为正交阵, 故上式可写为: 返回 上页 下页 结束 一. 相似矩阵与相似变换 定义1. 设A, B 为 n 阶方阵, 则称 A 与B 相似, B 是A 的相似矩阵, P 称为将A 变到B 的相似变换矩阵. 若存在可逆矩阵P, 使 称为对 A 进行相似变换, 运算 定理1. n 阶方阵A 与B 相似 A, B 有相同的 特征多项式 , 从而有相同的特征值 . 证: 因A 与B 相似, 所以存在可逆矩阵P , 使 故 证毕 返回 上页 下页 结束 推论1. A的特征值为 证: 所以由定理1 知结论成立. 定理1. n 阶方阵A 与B 相似 A, B 有相同的 特征多项式 , 从而有相同的特征值 . (P117) 返回 上页 下页 结束 二. 实对称矩阵的对角化 定理2. A为实对称矩阵A 的特征值为实数 证: 设 为A 的特征值, 为对应特征向量, 则有 两边取共轭: 而 由 返回 上页 下页 结束 1 2 均为A 的特征值 定理3. A为实对称矩阵 为对应特征向量 正交 证: 已知 1 2 , 因此 因 1 2 , 即 正交. 定理4. A为实对称矩阵必有正交阵 P, 使 其中对角阵 的对角元为A 的特征值. (证明略) 返回 上页 下页 结束 说明: 将矩阵 P 按列分块 特征值 特征向量 由定理4可知，对任何实对称矩阵，存在 n 个正交规范的特征向量 返回 上页 下页 结束 注意: 特征值与 特征向量的排列 顺序应一致 三. 利用正交变换化实二次型为标准形 第一步. 由特征方程 求出 A 的所有特征值 第二步. 求每一特征值 k 对应的正交规范特征向量系 即 (1) 求的基础解系 (2) 用施米特正交化法将其正交规范化 第三步. 以所得n个正交规范特征向量为列构成矩阵P, 则得 第四步. 写出正交变换 和二次型的标准形 求正交矩阵和对角阵 返回 上页 下页 结束 例1. 设 求一个正交阵P, 使 为对角阵. 解: 返回 上页 下页 结束 等价方程组: 得基础解系: 二者已正交, 故正交的单位特征向量: 返回 上页 下页 结束 等价方程组: , 得基础解系: 单位化: 返回 上页 下页 结束 且有: 故得正交矩阵: 说明: 2. 特征向量取得不一样, 正交矩阵P的形式也不一样 1. 特征值为重根时, 求得的特征向量可能不正交,则需要 将其正交规范化 返回 上页 下页 结束 例2. 求一个正交变换 把二次型 化为标准形. 解: 二次型的矩阵为 A的特征多项式: 得特征值: 返回 上页 下页 结束 解 正交化: 单位化: 计算 得基础解系: 等价方程组: 返回 上页 下页 结束 解 得基础解系: 单位化: 计算 返回 上页 下页 结束 由此得正交矩阵: