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5.1 特征值与特征向量的概念与计算 5.1.1. 特征值与特征向量的定义 5.1.2. 特征子空间 5.1.3. 特征值与特征向量的计算 5.1.1 特征值与特征向量的定义 定义设 A 是 n 阶方阵， 是方阵A的一个特征值， 为方阵A的对应于特征值 的一个特征向量. 若存在数 和 n 维非零列向量 ，使得 成立，则称 例 设 A2 = A , 证明：A 的特征值为 0 或 1 . 证 例 5.1.2 特征子空间 5.1.3 特征值与特征向量的计算 特征向量是齐次线性方程组 (I - A) X = 0 的解 因此，(I - A) X = 0 的解空间就是A 的特征子空间 是关于 的一个多项式，称为矩阵A的特征多项式, 称为矩阵A的特征方程, 定义 特征方程 记为 f ()， 例 特征值的重数称为的代数重数； 特征值所对应的齐次线性方程组(I - A) X = 0 的基础解系所含解向量的个数称为的几何重数， 即特征值所对应线性无关特征向量的个数. 定义 解第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值. 例 求矩阵的特征值和全部特征向量. 特征值为 第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组 求非零解. 齐次线性方程组为当 时， 系数矩阵 自由未知量 令 得基础解系 常数)是对应于的全部特征向量. 齐次线性方程组为 常数)是对应于的全部特征向量. 得基础解系 解 例 系数矩阵 重要结论： 1. 特征值的代数重数大于等于它的几何重数. (知道结论即可) 2. 对角矩阵及三角矩阵的特征值为其主对角元. 求数量矩阵 的特征值和特征向量. 解 因此，所有n维非零向量都是此数量矩阵的 特征向量，即特征向量可表示为 例 例 设矩阵 A 可逆, 且 解 例 设 为矩阵 的特征值, 求 的特征值； 若 可逆，求 的特征值. 解 例 解 解 例 定理 设n阶方阵 的n个特征值为 则 称为矩阵A的迹.（主对角元素之和） 注
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