cho7第七节共轭元和共轭子群.ppt

应用近世代数 多媒体课件 孔荫莹 广东财经大学数学与统计学院 数学可以把灵活引导到真理。数学可以把灵活引导到真理。 苏格拉底（苏格拉底（SocrateSocrate, ,前前469469年年前前399399年）年） 数学是科学的大门和钥匙。数学是科学的大门和钥匙。 -R.-R.培根培根(Roger Bacon, 1214-1294)(Roger Bacon, 1214-1294) Histories make men wise; poets, witty; the Histories make men wise; poets, witty; the mathermaticsmathermatics, , subtilesubtile; natural philosophy, ; natural philosophy, deep; moral, grave; logic and rhetoric, able deep; moral, grave; logic and rhetoric, able to contendto contend - - F.F.培根（培根（Francis Bacon 1561Francis Bacon 156116261626） 第二章 二、共轭元和共轭类 五、小结与思考 一、中心和中心化子 第七节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 共轭元和共轭子群 三、共轭子群和正规化子 四、置换群的共轭群 一、 中心和中心化子 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、定义1 设是一个群，和中所有元素 都可交换的元素构成的集合称为群的中心， 记为和 ，即 显然， 2、定义2 设是一个非空子集， 中和 的所有元素均可交换的元素构成的集合 机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为在中的中心化子（centerlizer），即 易证： 而 称为 元素在 中的中心化子. 例1 设 是对矩阵 乘法构成的群， 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、 共轭元和共轭类 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、定义3 设是群，,若存在 使 ，则称与 共轭（conjugate）. 显然,群中元素间的共轭关系是一种等价关系, 故每一个等价类称为一个共轭类,记为 由于 ,故 当时,有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、引理1 设是群， ，且，则有 3、定理1设是有限群，是的中心，则有 -类方程(class equation). 例2 设是有限群， （为素数）， 则有非平凡中心，即 三、 共轭子群与正规化子 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、定义4 设是群， ,则子群 称为的共轭子群（conjugate subgroup），并称 与共轭（conjugate）. 显然，正规子群的共轭子群是自身. 正规子群又称自共轭子群(self conjugate subgroup). 2、设为中所有子群的集合， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在中定义二元关系为： 则是中的一个等价关系， 每一个等价类 称为子群的共轭类. 3、设所在的共轭类记为 显然，当 时， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4、定义5 设，则 习惯上，称为在中的正规化子 （normalizer）. 5、定理2 设是有限群，为 在中的正规化子，则与 共轭的子群 个数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3 设是群，是中惟一的n阶子群，则 四、 置换群的共轭类 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、定理3 设是一个置换群，与在 中共轭，则 与的类型相同. 2、定理4 设是对称群，与在中共轭的 充分必要条件是与类型相同. 3、定理5 设是中所有与 有相同类型置换的集合,考虑 在中的 化子,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)当含有一个奇置换时, 是 的一个共轭类; 2）当不含有奇置换时, 在 中 分裂为