概率论复习课件

概率论复习（二） 主讲：梁满发 第四章 二维随机变量 大纲要求： 理解二维随机变量概念和联合分布函数概念及性质，理解二维随机变量的边缘分布和条件分布的概念，了解离散型和连续型二维随机变量的分布律和密度函数的概念，会求二维随机变量相关的事件概率。 理解二维随机变量的独立性及不相关的概念，掌握二维离散型和连续型随机变量独立的条件。 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义。 会求两个独立的二维随机变量的简单函数的分布。 重点知识结构图 二维随机变量 联合分布 边缘分布 条件分布 随机变量函数的分布 , y , x , , yf ,随机变量独立性 ,例 4 - 5 ： 求出服从在 B 上均匀分布的随机向量（ ， ）的分布密度及分布函数，其中 B 为 x 轴、 y 轴及直线 y =2x +1 所围成的三角形区域。 0),(21)1(),(,),(),(04),(),( y其它的密度函数211 (x,y) s t 解： 211 (x,y) 0),(0)2(22(2)21()21(214),(120021)3(211 (x,y) 2214)12)(21(214),(12021)4(211 (x,y) )21(22121214),(100)5( 且211 (x,y) 1),(10)6(211 (x,y) 第五章 随机变量的数字特征 大纲要求： 理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、相关系数）的概念，并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征。 掌握常用分布的数字特征。 会根据一维随机变量 的概率分布求其函数的数学期望。 会根据二维随机变量 和 的联合概率分布求其函数的数学期望。 数字特征 重点知识结构图 (,),(：泊松分布：二项分布)()(相互独立，则与若 222 )()(,0 2相互独立，则与若 连续型：离散型： 2222,:,/1,/1)(12/)(,2/)(,数分布：均匀分布)(),c o v( )()(/),c o v ( 义 性质 定义 性质 离散型 连续型 协方差 相关系数 数学期望 方差 常用分布数字特征 两个随机变量 322221101211)1(1111111时当例 5 - 2 设 服从几何分布 P =k = p q k ，（ k = 0 ， 1 ， 2 ，），其中 0 p 1 ， q = 1 - p ， 求（ 1 ） E ; （ 2 ） D 。 p 2110 1122112022)()(2222322222)1(2)1(021 x2222100020222 - 3 设 的分布密度为 （ x ） =1 2 e - |x| ， 求（ 1 ） E ; （ 2 ） D 。 )()(2)()(2222222例 5 - 5 证明 : 当 t =E 时， g （ t ） =E （ - t ） z 最小，这个最小值就是 D 。 2)(22)2(0001)(04033 5 - 7 设 的密度函数为 0,0,0, 求 =2 及 =e - 3 的数学期 望。 解： 解 22222x 例 5 - 8 已知 服从 N （ ， 2 ）， =a ，求 E 及D 。 x p2)ln(e x x p x x )1(22222222解： ),c o v (),c o v (2)( c o v (0 所以结论成立。 例 5 - 12 证明 p = 0 是 E =E E 或 D （ + ）=D +D 的充要条件。 例 5 - 13 设（ ， ）的密度函数为 其它,0,20,20,s i n,求（ 1 ）系数 A; （ 2 ） E ， E ， D 及 D ; （ 3 ）协方差及相关系数 。 13、 228)s i n (214)s i n (2121121)s i n (2202022220202020 dx 1612),c 12)s i n (21221622020222 c o v (22 1 2 A 613231),(01),(),(10)1(2010)1(2010)1(20 y 其它的密度函数为：例 5 - 14 设（ ， ）服从在区域 A 上的均匀分布，其中 A 为 x 轴、 y 轴和直线 x+ y / 2 =1 围成的三角形区域。求 ， 及 的数学期望。 21),c 181),c 92181326110)1(202210)1(2022 1 )1()2(21222)1()(212224132 例 5 - 15 袋中有 n 件产品，其中仅有两件次品，从中不放回地随机逐个抽取。设每次抽取时袋中余下各件被抽到的可能性相等。试求抽到次品所需次数 这一随机变量的分布律，并求 E 及 D 。 22333222)1(4121)12)(1(6121利用 31)1()(211 )1()1()(21122 18)1(22 得 例 5 - 19 用两台相同的自动记录仪组成一自动记录系统，设每台自动记录仪的无故障工作的时间均为参数是 5 的指数分布随机变量。系统工作时，首先开动其中的一台，当它发生故障时就自动切断，且另一台立即自行启动，试求该系统无故障工作总时间 的概率密度、数学期望和方差。 解： 设 1、 2表示两台自动记录仪的无故障工作时间。 0)(,00252555)()()(50505)(52121时当由题意252256)25(52)25(052205 )1,0(1)(0)(22221)(20222 ， 是独立同分布的 N（ 0， 12）随机变量，试求： E（ | ）， D（ | ）。（提示 :先证 N（ 0， 1）随