《数学物理方法》第11讲.ppt

3. Bessel 函数在定解问题中的应用 求解定解问题例 1. 这里u 与 f 无关，解：称为轴对称问题。 令 代入方程并整理可得 及 方程 (*) 的通解是 1.分离变量 解本征值问题 即 由此得 因此本征值 对应的本征函数为 由边界条件进而得 将本征值代入方程 (*) 解得 求解另一常微，得级数解 因此方程的一般解为 常数已合并到相应常数中。 即 再由得 利用不同特征函数间的加权正交性有 由得 由初始条件定解 可求得 从而得 因此问题的解为 求解定解问题例 2. 解：这也是轴对称问题。 令 及 代入方程得 其中是分离常数。 1.分离变量 时可得修正的Bessel函数（下节讨论）。 若方程 (*) 的解为 由边界条件得 因此时无非零解。 解本征值问题 并可得本征值 和对应的本征函数 本征值代入方程 再由得 解得 求解另一常微，得级数解 所以 问题的一般解为 由另一组边界条件定解 由边界条件得 之后可利用Fourier-Bessel 级数的系数公式求得 这样得到问题的解为 10. Legendre 函数的性质 2009. 4. 23 一. Legendre方程的引出 球形域上三维静电场问题中, 外电势满足 Laplace 例： 方程。 分析： 即 求其分离变量解。 求解时常将其写成球坐标形式： 设解为 得代入上方程并乘以 后两项与 r 无关, 于是有 为方便, 常把 l 写成 l (l+1). 于是 (1) 化为欧拉方程： 其通解为 上式可化为 (3) 并自然周期条件可得 (2) 式乘以得 方程 (4) 整理为 称之为 Legendre 方程。 其中 该方程 添加自然边界条件 令并将改写为则 (5) 变为 此方程称为关联 Legendre 方程。 若定解问题与无关, 则F 亦然, m = 0 。 此时(6) 成为 构成本征值问题, 为 其本征值和本征函数 这样在轴对称假设下得到问题的级数解 进一步的求解须知 Legendre 多项式的性质。 后面的讨论中，我们只考虑轴对称问题。 二. Legendre多项式的性质 1. Legendre多项式的为微分表示 首先证明满足 Legendre 方程 令 则因此 上式两端同求 n + 1 阶导数, 得 即 因此 即满足 Legendre 方程 因此也是解。 由二项式定理可证明这里的就是n 阶Legendre 多项式 2. Legendre多项式的为积分表示 据复变函数中高阶导数公式 可得 L 是围绕 z = x 的任一正向闭曲线。 特别地, 取半径为 的圆周为L, 则 由此得 其中 化简得 此式称为Legendre 多项式的 Laplace 积分。 令得 由积分表达式可得 3. Legendre多项式的母函数 若一个函数按某一自变量作幂级数展开时, 其系数是 例如若 Legendre 多项式, 则称该函数为Legendre 多项式的 母函数。 就称 f (x,t) 为Legendre 多项式的母函数。 考虑复变函数 当 时， 将其展开为 则有 L 是区域 | t | 1 内任一正向闭曲线。 作变换 L1 是 L 在上述变换下的象, 是含点u = x 的闭曲线。 则 根据高阶导数公式 得因此 母函数。 即 w (x,t) 为Legendre 多项式的 Legendre 多项式满足如下递推公式： 4. Legendre多项式的递推公式 1. 2. 3. 4. 由两边对 t 求偏 导数得 首先证明 1. 两边同乘得 比较的系数得 整理即得 1. 下面证明 2. 由分别对 x,