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隐藏在势能函数里的信息 1. 引子线性恢复力作用下的运动 2. 永远指向平衡位置的力称恢复力。恢复力的大小与偏离 /形变/位移成正比时，称为线性恢复力。受线性恢复力作 用的质点的运动方程为： （1） 或 （2） 解为 或 A称振幅，称角频率/圆频率， /称初相。运动方 式(3)称为简谐振动。其特点是，频率与振幅无关。 （3） x U 2. 设有一质点受保守力作用沿x轴运动，势能函数为 . 势能曲线如下。曲线与x轴的交点a,b,称为U曲线的零点，它 们满足方程: a bx1 x0 x2 在x=x0, x1, x2处，势 能曲线上的点d,c,e 有水平切线。它们 称为曲线的极值点 ，又称平衡点。极 值点的横坐标满足 方程： (5) c d e (4) o x U x1 x0 x2 极值点可分为以下3类： 1.极大 如e, 满足条件 c d e 3.拐点 如c, 满足条件 2.极小 如d，满足条件 E x f f g 质点运 动范围 不稳定平衡点。 不稳定平衡点。 稳定平衡点。 质点的机械能守恒： o 在保守力场中运动 的质点，满足机械能守 恒条件。设能量值为E , 在图中用红色水平线表 示。当质点位于x处时 ，其势能值为兰色箭头 所示，向下为负；动能 为蓝色箭头所示，向上 为正。两者之和为E . 因动能不可能为负，质 点被限制在f, g之间作 往复周期性运动, 满足 条件E U(x)。 x U x1 x0 x2 c d e E x f f g 质点运 动范围 因动能是非负的，质点运动范围 便是： o 3.质点在势能曲线极小点附近的行为 设能量值E 只比势能极小值U(x0)大一个小量r0 处，f(r)0, 力f 永远指向平衡点r0. 这表 明：质点在横向与径向同时在作往复周期运动。 o 质点在绕力心旋转的同时还要 做径向振动，这是一种什么样的 复合运动呢？可能有两种情况： r E0 r0 a. 横向运动周期/频率与径向运 动周期/频率成简单整数比， 则质点运动轨迹是封闭曲线（ 李萨茹图形）； b. 横向运动周期/频率与径向运 动周期/频率的比值是无理数 ，则质点轨迹不封闭。 可以严格证明，在中心力是胡克力的情况下，径向频率 ：横向频率=2:1。轨迹是椭圆，力心在椭圆长短轴的交 点。 o 现仅就能量E=E0+E稍大于圆 运动能量E0的情况作一讨论。因 r E0 r0 因而质点的径向运动范围满足条件 r1r2 将径向运动方程在平衡点r0的 邻域内展开成泰勒级数，展开 到一级小量： 可见，径向运动是简谐振动，其圆频率为 o 因为 质点径向小振动圆频率 质点的横向运动频率可以如下求出：横向运动偏离匀速圆 周运动很小。按圆周运动计算，横向角速度满足条件： 向心力公式 即，在径向运动完成两 个周期的时间内，横向 运动完成一个周期。 质点径向振动圆频率质点的横向运动频率 力心 5. 再看另一种常见的中心力反平方引力的情形 反平方引力 势能函数 等效势能函数 求圆运动半径 令 求得可能的圆运动半径 可用向心力 公式验证 （1） 当 质点在惯性系中作半径为r0的圆运动，能量为E0 。由于 等效势函数 在r0处有极小。半径为r0的圆运动是稳定的 。 r0r E0 E+E r1r2 求径向振动频率 （2） o 为求横向频率，写出向心力公式： （3） （ 2 ），（3）比较，知=。 力心 可证，轨道是以力 心为焦点之一的椭 圆。 r0r E0 r1r2 E 力心 r2r1 o 可证，只要 轨迹都是以力心为焦点之 一的椭圆。能量的最小可 能值是 ,此时 轨迹为圆。 等效势分析法还可以用以 分析陀螺运动。机械能守 恒式加上两个角动量分量 守恒式，就可以将陀螺运 动用一个角坐标及其相应 的角速度表出，迅速得出 章动周期。 2. 自然界的秩序 和方向性 一、宏观事物的不可逆性 汉书上记叙了一个故事，说的是汉代有一个名叫 朱买臣的人，因家境贫寒，他的妻子不愿与他患难相守， 离他而去。待到几年后，朱买臣功成名就，衣锦还乡时， 这个已经嫁给了别人的女人又想破镜重圆。朱买臣则在马 前泼水以明心志。这就是成语覆水难收的来历。 在自然界，我们每天都能见到不可能自动返回原状的 过程：玻璃杯落地摔成一堆玻璃碴；宠物狗与流浪狗玩了 一会儿，前者染上了满身跳蚤；克服摩擦力做的功全部变 成热，等等。 我们在大学物理教材用几个编号的分子在容器左右两 边的分布的可能性来说明某种宏观分布状态出现的几率。 现在我们来看稍微复杂的情形。 在教科书中，我们讨论过大量分子在容器左右两半中 分布的可能情况，从而导出了熵的波尔兹曼表示式。实际 上，分子的分布不仅有位置分布，还有能量分布。我们来 说明这个问题。 密闭容器中的定量气体，不仅有确定的总分子数N和体 积V, 而且有确定的内能E。 以i 标记一种可能的微观状态， 在其中，单个分子的能量为i，处于这个能量状态的分子数 为Ni , 于是有 打个比方：3个人分3个苹果。此处3个人表示总分子数 N=3; 3个苹果表示总能量E=3. 就单个分子而言，可能的 能量有四种： 总体能量分布情况有以下诸种： N=Ni E=Nii Ni 微观观能量状态态1 每人1个苹果 a,b,c N1=0; N2=3； N3=0； N4=0 1 微观观能量状态态2 1人独占3个苹果 ,2人无苹果 a,bc N1=2; N2=0; N3=0; N4=1 3 a,cb b,ca 微观观能量状态态3 1人2个苹果 1人1个苹果 1人无苹果 abcN1=1; N2=1;