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一、内容小结： 第四章 习题课 1、矩阵阵的特征值值与特征向量 定义4.2 设A为n阶矩阵,含有未知量的矩阵I-A称为 A的特征矩阵,其行列式| I-A |为的n次多项式,称为A 的特征多项式, | I-A |0称为A的特征方程。 求特征值和特征向量的步骤： 1）计算A的特征多项式| I-A | 2）求出特征方程| I-A |0的全部特征值 3)对每个特征值 0，求出相应的齐次线性方程组 (0I-A)x=0的一个基础阶系1,t，则A的关于 0的特征向量为：c11+ctt 命题2：矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的 任一特征值不为零。 特征值值与特征向量的性质质： 定理4.1：n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值. 补充性质 2、相似矩阵 自反性：AA. 对称性：AB则BA. 传递性：若AB及BC,则AC. 定理4.4:如果n阶矩阵A,B相似，则它们有相同 的特征值。但逆命题不成立 1）相似矩阵有相同的秩 2）相似矩阵的行列式相等。 3）相似矩阵或都可逆，或都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆也相似。 相似矩阵的性质: 矩阵与对角矩阵相似的条件 是充分条件，而不是必要条件 3、实对称矩阵得特征值和特征向量 向量内积 2、内积的性质 正交向量组 定理4.8 中 的正交向量组必线性无关 注意：无关向量组未必是正交向量组。 正交矩阵 定义4.9：设n阶实矩阵，满足 QTQ=I 则称Q为正交矩阵 1)若Q为正交矩阵,则其行列式的值为1或-1; 2) 若Q为正交矩阵,则Q可逆,且Q-1=QT; 3) 若P、Q为正交矩阵,则它们的积PQ也是 正交矩阵. 正交矩阵的性质： 定理4.9 : 设Q为n阶实矩阵，则Q为正交矩阵 Q的列(行)向量组是单位正交向量组. 单位正交向量组也称标准正交向量组 实对称矩阵的特征值和特征向量 定理4.10 实对称矩阵的特征值都是实数。 定理4.11 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征 向量是正交的。 推论：n阶实对称矩阵有n个实特征根 （重根按重数计算） 定理4.12 设A为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q 使Q-1AQ为对角矩阵。 一、求矩阵的特征值与特征向量;及相关的简单证明题 主要问题： 例2、已知A的特征值及相应的特征向量为x，P 是可逆矩阵，则P-1AP的特征值为， P- 1AP的特征向量为。 例4、已知:1 2是A的两不同特征值,相应的特 征 向量为x1 x2 ，证明：ax1+bx2不是A的特征向量, (a,b为非零常数) 例5、A和B均为n阶非零矩阵，且满足 A2+A=0,B2+B=0,AB=BA=0,证明： 1）=-1必为A和B的特征值。 2) 如x1,x2是A和B的特征值=-1的特征 向量，则x1,x2线性无关。 二、矩阵的相似对角化 求矩阵的相似对角矩阵及变换矩阵，相关 问
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