弹性力学问题一般解·空间轴对称问题.ppt

第八章第八章 弹性力学问题一弹性力学问题一 般解般解 空间轴对称问题空间轴对称问题 前面重点讨论了弹塑性力学的平面问题。关于梁的弯曲问题由于空间维度的 简化，作为平面应力问题在材料力学中比较成功地得到了解决，我们只是在 平面问题中进行了检验。 8-1 8-1 弹性力学问题的一般解弹性力学问题的一般解 一、位移法 现在我们将对一般空间弹性力学问题的解法给予理论分析，并举出解法实例 。在一般求解边值问题时，按照未知量的不同有位移法与应力法，下面分别 来进行讨论。 若以位移为基本未知量，必须将泛定方程改用位移 来表示。现在来进行 推导：将式(4-2)代人式(4-6)得 再将式(a)对j取导后再代人式(4-1)得 （4-1） 同理，并采用Laplac算符 如物体内质点处于运动状态，式(8-1)也可写为 当体力不计时，有 式(8-2) (用位移表示的）平衡(运动)微分方程的展开式为 上述式(8-3)或式(8-4)称为Lame(拉梅）方程(或Lame-Navier（纳维 叶）方程)。式(8-1)、式(8-2)和式 (8-3)的推导过程是平衡方程、几 何方程及本构方程的综合，因此以位移形式表示的平衡(运动)微分 方程是弹性力学问题位移解法的基本方程。Lame方程在弹性波动 力学问题中是极为重要的理论基础。 由此，用位移法解弹性力学问题归结为按给定边界条件积分Lame方程 。 (式中 为函数 沿物体表面法线n的方向导数)，其展开式为 其方法与将应力形式的平衡方程转化为Lame方程的方法大致相同。现推导如 下：先后将式(4-6)、式(4-2)代人式(4-13)得 所求问题的边界条件给定的是边界上的位移 ，则可直接进行计算。 如果全部边界或部分边界上给出的是应力边界条件， 就要将应力 形式的边界条件转换成为位移形式。 解 :以xy为边界面，取z轴垂直向下。 采用半逆解法。由于载荷和几何形状都对称于z 轴，则各点位移只在z向有变化。试假设 因此由Lame方程式(8-3)的前两式知，它们成为恒等式自然满足，而第三式给出 而 例8-1设有半空间无限体，容重为p，在上边界上受均布压力q， 求体内的位移和应力。 体力分量 如图8-1所示。 面力分量在z=0处, 于是 式中A、B为积分常数 。 边界上 边界条件式(8-6)前两式自然满足， 因为 只与z有关 。 其第三式为 又 将式(3)代入式(4)得 ，再代回式(3)，得 为了确定常数B，可以将无限的边界条件转化为有限的，即假定半空间体在距 平面边界h足够远处已经很小而可以忽略，即 ，则由式(5)得 于是，式(3)给出的位移为 将 换成 来表示，则位移解答为 显然最大位移发生在边界上，由式(8-7)可知 将式(8-7)代入几何方程(4-2)求出应变，再引用式本够方程(4-6)可得应力分量解答 二、应力法 以应力作为基本未知量，需将泛定方程改用应力分量表示。应 力方程可由应变协调方程(4-4)和平衡微分方程(4-1)，用应力应 变关系就可得到用应力表示的应变协调方程。不过也可从位移 方程，即已求得的Lame方程式(8-1)出发来推导： 第一步，先将Lame方程转变为三个正应力和的关系式，供以下 推证使用。将式(3-27)和式(3-28)代人式(8-1)得 将式(d)简化，可得 使式(e)对k取导，则 再将式(f)乘以以(展开式相加)，可得 由于 ，再使 ；前两项合并，得 令 ，由式(4-12)知 ，化简则有 第二步，再由Lame方程，利用几何方程与虎克定律得到应力公 式。再按式(f)改变下标符号，可写出以下两式 将式(j)及式(k)相加，得出 利用式(4-5)，式(1)中 ， 简化后得 由式(i)并将下标符号i改为k可得 于是有 其展开式为（ 用应力表示的协调方程）6个方程可以解6个应力分量） 由 ，式(8-10)可写成 当不计体力时，有 式(812)和式(813)称为BeltramiMichell(贝尔特拉米米 歇尔)方程，也即应力协调方程。 由此，用应力法解弹性力学问题归结为按给定边界条件满足平 衡微分方程(4-1)和协调方程。注意到：BeltramiMichell方程是 以应力形式表示的变形协调方程，并且在推导中虽然用到了平 衡方程(此处引用Lame方程推出)，但推导中进行了对平衡方程 的求导见式(f)已不能代表平衡方程本身了，故而要重新考虑 平衡方程，于是得出上述应力法求解的结论。 下一节我们举等截面悬臂梁的弯曲为空间问题按应力求解的实 例。现在我们来讨论两种求解方法的特点： 按位移法求解弹性力学问题时，未知函数的个数比较少，仅有 三个未知量 、 、 。但必须求解三个联立的二阶偏微分方 程。 应力法系以六个应力分量作为基本未知函数，用应力法虽然比 位移法多了三个，而得到比位移法更复杂的方程组，但由于用 应力作为未知函数后，边界条件比位移法简单得多，所以对于 已知表面力边界的问题，用应力法所得的最后基本方程式，在 多数实际问题中反而比位移法简单而且容易求解。 应该指出，用位移法解弹性力学问题时，在满足位移表示的平 衡方程及边界条件求得物体各点位移后，用几何条件得出应变 分量，则变形连续条件自行满足(因为所设位移函数是单值连续 函数)。而用应力法解弹性力学问题时，还须注意所谓位移单值 性的问题，因为由应变求位移时，需要进行积分运算，这就涉 及到积分的连续条件问题。对于单连体(即只有一个连续边界的 物体，也就是内部无空洞的物体)问题，如满足平衡方程、应力 协调方程及应力边界条件，则应力分量完全确定，其解是唯一 确定的。而对于多连体(即内部有空洞的物体)问题，则除了满 足上述方程及边界条件外，还要考虑位移的单值性条件(即物体 中任意一点的位移是单值的)，这样才可能完全确定应力分量( 这一点已经在本书第六章中厚壁筒解答里进行过讨论)。 虽然上面所说按应力法求解比位移法求解容易些，但就解决弹 性体问题的普遍性而言，按位移求解是更为普遍适用的方法， 特别是在弹性波传播理论及在数值计算方法中，例如有限差分 法、有限单元法等得到了广泛的应用。 对于具体实际问题，应根据问题的特点或者所要求的未知 参量，恰当地选择求解方法。不论以位移或应力作为未知函数 的位移法或应力法(相当于材料力学和结构力学中求解超静定 问题时的位移法与应力法)，在弹塑性力学中为便于构设未知 函数，具体解题大多采用逆解法与半逆解法。 8 8- -2 2 任意等截面悬臂梁的弯曲任意等截面悬臂梁的弯曲 这里将讨论任意等截面悬臂梁，在自由端受力 P作用的问题。P力过自由端的弯曲中心T，并 与过截面形心A的一个主形心轴平行。取固定 端截面的形心为坐标原点，取梁的轴线为z、x 、y轴与截面的形心主轴重合，图8-2。 用半逆解法解此题，参考材料力学结果，设 式中 为截面对y轴的惯性矩。 将式(a)代入平衡方程(4-1)，略去体力，得 由式(b)前两式知剪应力 和 与坐标z无关，只是x、y的函数 。 使 则式(8-14)满足方程式(b)，式中的f(y)为y的任意函数 ， 以式(8-14)代人式(c)，有 为满足 与沿x向的面力边界条件。 以式(a)代入应力协调方程(8-13) 则式(8-13)的前四式成为恒等式，第五及第六式为 并注意到 取应力函数 由式(d)式的第二式积分可知 式中C是积分常数。这个常数有简单的物理意义，我们考察悬臂梁的横截面 上任意一微分体的转动角(刚性转动位移) 它沿轴的变化率是 由式(i)可见该旋转角沿z方向的变化率 (相当单位长度的轴向转角)包 括两项； 现在再考察边界条件式(4-13) 。 以式(e)代人式(h)，得 实际上，C(2G)就是单位长度的扭转角。若P力通过截面的弯曲中心T，柱 体无扭转发生，应取C=0，这时式(e)化为 其中y的一次项表示对不同y坐标的纵向微条，将产生不同的单位长度的轴向 转角，因此这部分将引起横截面的畸变；其中常数项表示对杆中所有的纵向 微条，将产生相同的单位长度的轴向转角，这时杆的任意一个横截面，只是 刚性地转过某一角度，因此这部分表不杆的扭转变形。 柱体的侧面有 无外力作用，边界条件前两式自动满足 以式(8-14)代人，有 将式(8-14)代人式(j)有 所以 我们可以选取任意函数f(y)，使式(8-16)方括号内的项等于零，即 于是，侧面无外力的边界条件转化为 ，也就是在周边上 是常 数，如取这常数为零，则 。如考虑自由端端面边界条件，可以求出截面 上无扭矩的条件，也即弯曲中心T距形心A的位置e(图8-2)，此部分计算从略。 于是弯曲问题归结为解微分方程(8-15)，而在周边上满足式(8-17)及 。注意到式(8-15)也就是Boisson方程，柱体弯曲问题也可以通过薄膜比 拟法求解。 而第三式因 有 因为 例8-2 试求半径为ro的圆截面悬臂梁，端点受P 力作用时截面内的弯曲剪应力(图8-3)。 解: 截面周边为一圆周，其方程为 为了使周边上满足式(8-17)，取 于是方程(8-15)为 式中m为常系数。以式(4)代入式(3)，即可求得 可见 可以是关于y三次、关于x二次的多项式，为使周边上 ，取 将式(5)代人式(4)，得 将式(6)和式(2)代入式(8-14)，得剪应力 讨论：现在对应力分布作一些分析。在水平直径上(x=O)，由式(8-18)得到 当y=0，即在圆心处， 取得最大值，即 在水平直径两端x=0，处，有 对一般钢材，取 ，则有 所以对于最大剪应力，初等理论的解答误差约为4。 式中A为截面的面积。由式(8-19)给出的水平直径上的 分布如图8-4所示。 根据材料力学梁的初等理论，设剪应力均 匀分布在截面的水平直径上, 得出 ，则 8 8- -3 3 空间轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的基本方程 在工程中有不少问题的几何形状是回转体，物体的几何约束和所受的载 荷亦是对称于回转轴z的。此时用柱坐标表达更为方便，所有各个力学参量 分量都是r和z的函数而与无关(图8-5)。这种问题称为空间轴对称问题，它是 解决弹性接触问题的基础。现用相距dr的两个圆柱面，互成d的两个铅直面 和相距dz的两个水平面，从弹性体中截取一个微小六面单元体图8-5(a)，仿 照直角坐标及极坐标的基础理论推导方法，建立圆柱坐标的泛定方程。现将 公式介绍如下。 1平衡方程 式(8-23)即为空间轴对称问题的平衡微分方程。 注意到应力分量是(r，z)的函数，如图8-5(b)将微分体各面上的应力分量写出 。单位体积内的体力在r、z方向的分量分别表示Fr、Fz，根据此微分体在r方 向的平衡条件 ，得 在得式(8-23)第一式，同理取z向平衡条件 ，得式(8-23) 的第二式，也即 在式(a)中， 及 分别为微分体上、下面的剪应力； 因为 很小,可取 ,并略去高阶微量，全式除以 于是两者叠加可得空间轴对称问题的位移应变关系式 2几何方程 由径向位移 引起的应变分量为 而由轴向位移 引起的应变分量为 3本构方程 正交坐标系，可直接由这一性质按Hooke定律得到 或 式(8-26)中共有 式中 为体积应变。 10个未知函数，必须满足上述10个泛定方程。 4空间轴对称问题的Lame方程 当体力Fr=Fz=0时，将式(8-26)代人式(8-23)， 如计及 ，则式(8-27)也可写为 当由式(8-27)得到满足边界条件的位移函数后，再代回式(8-24)、式(8-26) 即可求得应变分量和应力分量。 便可得到以位移表达的平衡方程，即解空间轴对称问题的位移 法的基本方程为 并采用记号 8 8- -4 4 半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力 BoussinesqBoussinesq问题问题 当无限弹性空间体上表面受一垂直集 中力作用时，其体内各点的应力分布与变 形问题，是一个在许多科学技术领域(如弹 性接触研究及岩石在钻具作用下的破碎理 论中)常会遇到的问题，通常称之为 Boussinesq（布西内斯克）问题。这是一 个空间轴对称问题，与所有弹性力学问题 一样，可以采用位移解法与应力解法。现 在我们只简单介绍该问题求解的位移法。 设半无限体表面受法向集中力P作用，坐标选取如图86所示，当用位移 法求解时，其方法就是如何求出方程(8-27)的解，并使之满足边界条件。 Boussinesq找到了满足式(8-27)的两组特解，也即满足上述平衡方程的两 组位移函数，分别为 以下利用边界条件来确定常数A、B。将式(c)代人式(8-26)并注意到 式中，r、z是被考察点M的两个坐标； 是点M到坐标原点的距离 ；A、B是两个任意常数。据此，上述两线性无关的特解可以相加得到该二阶 偏微分方程式(8-27)的通解： 则可得到以下四个应力分量的函数 解式(f)与式(h)两式可得 又可设想过M点作一个与边界平行的截面，将弹性半空间体的上部分切下 。根据被切下部分的z向平衡条件，可得 为求得任意常数A、B，先由边界上无剪应力的条件， 将式(e)中的以代人上式得 即当z=0，r0时， (如z=0，r=0时， ，自然满足)，可由式(e)最后一式得出 把所得到的A、B代回式（c），最后得位移的计算式为 再将A、B代回式(e)可得应力分量的计算式为 讨论：由以上得到的位移及应力计算公式(8-29)、式(8-30)可以看出： (1)随着R的增大，位移和应力分量迅速减小。当R时，位移和应力分量皆趋于零 。这说明此物体受力状态下的应力与位移均带有局部的性质。 (2)当r=0 ,R0，各应力分量都趋于无限大。所以在集中力P作用点处材料早已进入塑 性，由于实际载荷不可能加在一个几何点上，而实际上是分布在一个小面积上，由圣 维南原理说明，只在要稍偏离接触区的地方，其计算公式仍是正确的。 (4)由位移计算公式(8-29)第二式，当z=0半无限体边界处任一点的法向 位移沉陷量为 (5)当r=0，R=z时，亦即在外力作用线z线上的各点，由式(8-30)其应力为 这说明，在z轴上各点受到两向拉伸，一向压缩，它的主应力分别为 以绝对值比较， 比径向及周向应力 、 大得多 。 (3)由应力计算公式(8-30)，z=0时半无限体边界上的各点应力为 这说明，边界面上各点受到纯剪切作用。 8 8- -7 7 力学分析方法概述力学分析方法概述 弹塑性力学与所有力学的分析方法一样，用数学公式来表达弹 塑性体受力的变形问题有两条不同的途径： 其中一条途径是以牛顿定律作为依据，通过微分体各力学参量 之间的关系建立微分方程及其边界条件，这属于“矢量力学” 范畴，我们要求的解就是应当既满足泛定方程，又满足边界条 件，如果是精确满足就是精确解，如果是近似满足就是近似解( 我们在以前所讨论的都是这部分内容)； 另一途径是以功能原理作为依据在上述微分关系上，最后通过 积分建立整个物体的能量表达式(泛函)求其驻值或极值问题， 这属于“分析力学”的范畴。 我们要求的解就是精确或近似满足边界条件，同时使能量具有 极值(一般为最小值)。上述两种途径：前者称为几何法(矢量法) ，后者称为变分法(能量法)。在一定条件下它们所讨论的内容 可以互相转化，它们所得到的结果可以为函数解，是等价的， 统称为力学分析的解析法。 对于弹塑性力学边值问题的求解，真正能解出精确的函数解 的只是极少数的简单问题，特别在二维和三维问题中更为困难 ，这是因为客观事物的复杂性与多样性不可能用有限的闭合的 “解析函数”来描述。 矢量法与能量法在应用上各有特点，一般说来： 矢量法中微分方程的形成是与矢量相联系的，所以对于二维 或三维问题就有联立的两个或三个微分方程组，而且方程的形 式随着坐标的变换而改变。 而能量法是以虚功或余虚功原理作依据，综合三大力学规律以 能量形式表示的，是不随坐标变换的改变量。 而能量法(指应用能量原理的变分法)却为求近似解提供了有利条 件，因为能量计算中的最高阶次导数只有微分方程中的最高阶 次导数阶次的一半(可以材料力学梁的弹性曲线方程为例)。另外 ，微分方程的边界条件在用能量法时可以相应放松。所以能量 法更容易构造近似解。 对基于能量原理的变分法我们将在第十章力学的变分解法中叙述 。 力学分析中的数值法又可分为两类 ： 第一类是在解析法的基础上进行近似数值计算。先对弹塑性力 学问题建立基本微分方程，然后对基本微分方