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第八章第八章 弹性力学问题一弹性力学问题一 般解般解 空间轴对称问题空间轴对称问题 前面重点讨论了弹塑性力学的平面问题。关于梁的弯曲问题由于空间维度的 简化,作为平面应力问题在材料力学中比较成功地得到了解决,我们只是在 平面问题中进行了检验。 8-1 8-1 弹性力学问题的一般解弹性力学问题的一般解 一、位移法 现在我们将对一般空间弹性力学问题的解法给予理论分析,并举出解法实例 。在一般求解边值问题时,按照未知量的不同有位移法与应力法,下面分别 来进行讨论。 若以位移为基本未知量,必须将泛定方程改用位移 来表示。现在来进行 推导:将式(4-2)代人式(4-6)得 再将式(a)对j取导后再代人式(4-1)得 (4-1) 同理,并采用Laplac算符 如物体内质点处于运动状态,式(8-1)也可写为 当体力不计时,有 式(8-2) (用位移表示的)平衡(运动)微分方程的展开式为 上述式(8-3)或式(8-4)称为Lame(拉梅)方程(或Lame-Navier(纳维 叶)方程)。式(8-1)、式(8-2)和式 (8-3)的推导过程是平衡方程、几 何方程及本构方程的综合,因此以位移形式表示的平衡(运动)微分 方程是弹性力学问题位移解法的基本方程。Lame方程在弹性波动 力学问题中是极为重要的理论基础。 由此,用位移法解弹性力学问题归结为按给定边界条件积分Lame方程 。 (式中 为函数 沿物体表面法线n的方向导数),其展开式为 其方法与将应力形式的平衡方程转化为Lame方程的方法大致相同。现推导如 下:先后将式(4-6)、式(4-2)代人式(4-13)得 所求问题的边界条件给定的是边界上的位移 ,则可直接进行计算。 如果全部边界或部分边界上给出的是应力边界条件, 就要将应力 形式的边界条件转换成为位移形式。 解 :以xy为边界面,取z轴垂直向下。 采用半逆解法。由于载荷和几何形状都对称于z 轴,则各点位移只在z向有变化。试假设 因此由Lame方程式(8-3)的前两式知,它们成为恒等式自然满足,而第三式给出 而 例8-1设有半空间无限体,容重为p,在上边界上受均布压力q, 求体内的位移和应力。 体力分量 如图8-1所示。 面力分量在z=0处, 于是 式中A、B为积分常数 。 边界上 边界条件式(8-6)前两式自然满足, 因为 只与z有关 。 其第三式为 又 将式(3)代入式(4)得 ,再代回式(3),得 为了确定常数B,可以将无限的边界条件转化为有限的,即假定半空间体在距 平面边界h足够远处已经很小而可以忽略,即 ,则由式(5)得 于是,式(3)给出的位移为 将 换成 来表示,则位移解答为 显然最大位移发生在边界上,由式(8-7)可知 将式(8-7)代入几何方程(4-2)求出应变,再引用式本够方程(4-6)可得应力分量解答 二、应力法 以应力作为基本未知量,需将泛定方程改用应力分量表示。应 力方程可由应变协调方程(4-4)和平衡微分方程(4-1),用应力应 变关系就可得到用应力表示的应变协调方程。不过也可从位移 方程,即已求得的Lame方程式(8-1)出发来推导: 第一步,先将Lame方程转变为三个正应力和的关系式,供以下 推证使用。将式(3-27)和式(3-28)代人式(8-1)得 将式(d)简化,可得 使式(e)对k取导,则 再将式(f)乘以以(展开式相加),可得 由于 ,再使 ;前两项合并,得 令 ,由式(4-12)知 ,化简则有 第二步,再由Lame方程,利用几何方程与虎克定律得到应力公 式。再按式(f)改变下标符号,可写出以下两式 将式(j)及式(k)相加,得出 利用式(4-5),式(1)中 , 简化后得 由式(i)并将下标符号i改为k可得 于是有 其展开式为( 用应力表示的协调方程)6个方程可以解6个应力分量) 由 ,式(8-10)可写成 当不计体力时,有 式(812)和式(813)称为BeltramiMichell(贝尔特拉米米 歇尔)方程,也即应力协调方程。 由此,用应力法解弹性力学问题归结为按给定边界条件满足平 衡微分方程(4-1)和协调方程。注意到:BeltramiMichell方程是 以应力形式表示的变形协调方程,并且在推导中虽然用到了平 衡方程(此处引用Lame方程推出),但推导中进行了对平衡方程 的求导见式(f)已不能代表平衡方程本身了,故而要重新考虑 平衡方程,于是得出上述应力法求解的结论。 下一节我们举等截面悬臂梁的弯曲为空间问题按应力求解的实 例。现在我们来讨论两种求解方法的特点: 按位移法求解弹性力学问题时,未知函数的个数比较少,仅有 三个未知量 、 、 。但必须求解三个联立的二阶偏微分方 程。 应力法系以六个应力分量作为基本未知函数,用应力法虽然比 位移法多了三个,而得到比位移法更复杂的方程组,但由于用 应力作为未知函数后,边界条件比位移法简单得多,所以对于 已知表面力边界的问题,用应力法所得的最后基本方程式,在 多数实际问题中反而比位移法简单而且容易求解。 应该指出,用位移法解弹性力学问题时,在满足位移表示的平 衡方程及边界条件求得物体各点位移后,用几何条件得出应变 分量,则变形连续条件自行满足(因为所设位移函数是单值连续 函数)。而用应力法解弹性力学问题时,还须注意所谓位移单值 性的问题,因为由应变求位移时,需要进行积分运算,这就涉 及到积分的连续条件问题。对于单连体(即只有一个连续边界的 物体,也就是内部无空洞的物体)问题,如满足平衡方程、应力 协调方程及应力边界条件,则应力分量完全确定,其解是唯一 确定的。而对于多连体(即内部有空洞的物体)问题,则除了满 足上述方程及边界条件外,还要考虑位移的单值性条件(即物体 中任意一点的位移是单值的),这样才可能完全确定应力分量( 这一点已经在本书第六章中厚壁筒解答里进行过讨论)。 虽然上面所说按应力法求解比位移法求解容易些,但就解决弹 性体问题的普遍性而言,按位移求解是更为普遍适用的方法, 特别是在弹性波传播理论及在数值计算方法中,例如有限差分 法、有限单元法等得到了广泛的应用。 对于具体实际问题,应根据问题的特点或者所要求的未知 参量,恰当地选择求解方法。不论以位移或应力作为未知函数 的位移法或应力法(相当于材料力学和结构力学中求解超静定 问题时的位移法与应力法),在弹塑性力学中为便于构设未知 函数,具体解题大多采用逆解法与半逆解法。 8 8- -2 2 任意等截面悬臂梁的弯曲任意等截面悬臂梁的弯曲 这里将讨论任意等截面悬臂梁,在自由端受力 P作用的问题。P力过自由端的弯曲中心T,并 与过截面形心A的一个主形心轴平行。取固定 端截面的形心为坐标原点,取梁的轴线为z、x 、y轴与截面的形心主轴重合,图8-2。 用半逆解法解此题,参考材料力学结果,设 式中 为截面对y轴的惯性矩。 将式(a)代入平衡方程(4-1),略去体力,得 由式(b)前两式知剪应力 和 与坐标z无关,只是x、y的函数 。 使 则式(8-14)满足方程式(b),式中的f(y)为y的任意函数 , 以式(8-14)代人式(c),有 为满足 与沿x向的面力边界条件。 以式(a)代入应力协调方程(8-13) 则式(8-13)的前四式成为恒等式,第五及第六式为 并注意到 取应力函数 由式(d)式的第二式积分可知 式中C是积分常数。这个常数有简单的物理意义,我们考察悬臂梁的横截面 上任意一微分体的转动角(刚性转动位移) 它沿轴的变化率是 由式(i)可见该旋转角沿z方向的变化率 (相当单位长度的轴向转角)包 括两项; 现在再考察边界条件式(4-13) 。 以式(e)代人式(h),得 实际上,C(2G)就是单位长度的扭转角。若P力通过截面的弯曲中心T,柱 体无扭转发生,应取C=0,这时式(e)化为 其中y的一次项表示对不同y坐标的纵向微条,将产生不同的单位长度的轴向 转角,因此这部分将引起横截面的畸变;其中常数项表示对杆中所有的纵向 微条,将产生相同的单位长度的轴向转角,这时杆的任意一个横截面,只是 刚性地转过某一角度,因此这部分表不杆的扭转变形。 柱体的侧面有 无外力作用,边界条件前两式自动满足 以式(8-14)代人,有 将式(8-14)代人式(j)有 所以 我们可以选取任意函数f(y),使式(8-16)方括号内的项等于零,即 于是,侧面无外力的边界条件转化为 ,也就是在周边上 是常 数,如取这常数为零,则 。如考虑自由端端面边界条件,可以求出截面 上无扭矩的条件,也即弯曲中心T距形心A的位置e(图8-2),此部分计算从略。 于是弯曲问题归结为解微分方程(8-15),而在周边上满足式(8-17)及 。注意到式(8-15)也就是Boisson方程,柱体弯曲问题也可以通过薄膜比 拟法求解。 而第三式因 有 因为 例8-2 试求半径为ro的圆截面悬臂梁,端点受P 力作用时截面内的弯曲剪应力(图8-3)。 解: 截面周边为一圆周,其方程为 为了使周边上满足式(8-17),取 于是方程(8-15)为 式中m为常系数。以式(4)代入式(3),即可求得 可见 可以是关于y三次、关于x二次的多项式,为使周边上 ,取 将式(5)代人式(4),得 将式(6)和式(2)代入式(8-14),得剪应力 讨论:现在对应力分布作一些分析。在水平直径上(x=O),由式(8-18)得到 当y=0,即在圆心处, 取得最大值,即 在水平直径两端x=0,处,有 对一般钢材,取 ,则有 所以对于最大剪应力,初等理论的解答误差约为4。 式中A为截面的面积。由式(8-19)给出的水平直径上的 分布如图8-4所示。 根据材料力学梁的初等理论,设剪应力均 匀分布在截面的水平直径上, 得出 ,则 8 8- -3 3 空间轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的基本方程 在工程中有不少问题的几何形状是回转体,物体的几何约束和所受的载 荷亦是对称于回转轴z的。此时用柱坐标表达更为方便,所有各个力学参量 分量都是r和z的函数而与无关(图8-5)。这种问题称为空间轴对称问题,它是 解决弹性接触问题的基础。现用相距dr的两个圆柱面,互成d的两个铅直面 和相距dz的两个水平面,从弹性体中截取一个微小六面单元体图8-5(a),仿 照直角坐标及极坐标的基础理论推导方法,建立圆柱坐标的泛定方程。现将 公式介绍如下。 1平衡方程 式(8-23)即为空间轴对称问题的平衡微分方程。 注意到应力分量是(r,z)的函数,如图8-5(b)将微分体各面上的应力分量写出 。单位体积内的体力在r、z方向的分量分别表示Fr、Fz,根据此微分体在r方 向的平衡条件 ,得 在得式(8-23)第一式,同理取z向平衡条件 ,得式(8-23) 的第二式,也即 在式(a)中, 及 分别为微分体上、下面的剪应力; 因为 很小,可取 ,并略去高阶微量,全式除以 于是两者叠加可得空间轴对称问题的位移应变关系式 2几何方程 由径向位移 引起的应变分量为 而由轴向位移 引起的应变分量为 3本构方程 正交坐标系,可直接由这一性质按Hooke定律得到 或 式(8-26)中共有 式中 为体积应变。 10个未知函数,必须满足上述10个泛定方程。 4空间轴对称问题的Lame方程 当体力Fr=Fz=0时,将式(8-26)代人式(8-23), 如计及 ,则式(8-27)也可写为 当由式(8-27)得到满足边界条件的位移函数后,再代回式(8-24)、式(8-26) 即可求得应变分量和应力分量。 便可得到以位移表达的平衡方程,即解空间轴对称问题的位移 法的基本方程为 并采用记号 8 8- -4 4 半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力 BoussinesqBoussinesq问题问题 当无限弹性空间体上表面受一垂直集 中力作用时,其体内各点的应力分布与变 形问题,是一个在许多科学技术领域(如弹 性接触研究及岩石在钻具作用下的破碎理 论中)常会遇到的问题,通常称之为 Boussinesq(布西内斯克)问题。这是一 个空间轴对称问题,与所有弹性力学问题 一样,可以采用位移解法与应力解法。现 在我们只简单介绍该问题求解的位移法。 设半无限体表面受法向集中力P作用,坐标选取如图86所示,当用位移 法求解时,其方法就是如何求出方程(8-27)的解,并使之满足边界条件。 Boussinesq找到了满足式(8-27)的两组特解,也即满足上述平衡方程的两 组位移函数,分别为 以下利用边界条件来确定常数A、B。将式(c)代人式(8-26)并注意到 式中,r、z是被考察点M的两个坐标; 是点M到坐标原点的距离 ;A、B是两个任意常数。据此,上述两线性无关的特解可以相加得到该二阶 偏微分方程式(8-27)的通解: 则可得到以下四个应力分量的函数 解式(f)与式(h)两式可得 又可设想过M点作一个与边界平行的截面,将弹性半空间体的上部分切下 。根据被切下部分的z向平衡条件,可得 为求得任意常数A、B,先由边界上无剪应力的条件, 将式(e)中的以代人上式得 即当z=0,r0时, (如z=0,r=0时, ,自然满足),可由式(e)最后一式得出 把所得到的A、B代回式(c),最后得位移的计算式为 再将A、B代回式(e)可得应力分量的计算式为 讨论:由以上得到的位移及应力计算公式(8-29)、式(8-30)可以看出: (1)随着R的增大,位移和应力分量迅速减小。当R时,位移和应力分量皆趋于零 。这说明此物体受力状态下的应力与位移均带有局部的性质。 (2)当r=0 ,R0,各应力分量都趋于无限大。所以在集中力P作用点处材料早已进入塑 性,由于实际载荷不可能加在一个几何点上,而实际上是分布在一个小面积上,由圣 维南原理说明,只在要稍偏离接触区的地方,其计算公式仍是正确的。 (4)由位移计算公式(8-29)第二式,当z=0半无限体边界处任一点的法向 位移沉陷量为 (5)当r=0,R=z时,亦即在外力作用线z线上的各点,由式(8-30)其应力为 这说明,在z轴上各点受到两向拉伸,一向压缩,它的主应力分别为 以绝对值比较, 比径向及周向应力 、 大得多 。 (3)由应力计算公式(8-30),z=0时半无限体边界上的各点应力为 这说明,边界面上各点受到纯剪切作用。 8 8- -7 7 力学分析方法概述力学分析方法概述 弹塑性力学与所有力学的分析方法一样,用数学公式来表达弹 塑性体受力的变形问题有两条不同的途径: 其中一条途径是以牛顿定律作为依据,通过微分体各力学参量 之间的关系建立微分方程及其边界条件,这属于“矢量力学” 范畴,我们要求的解就是应当既满足泛定方程,又满足边界条 件,如果是精确满足就是精确解,如果是近似满足就是近似解( 我们在以前所讨论的都是这部分内容); 另一途径是以功能原理作为依据在上述微分关系上,最后通过 积分建立整个物体的能量表达式(泛函)求其驻值或极值问题, 这属于“分析力学”的范畴。 我们要求的解就是精确或近似满足边界条件,同时使能量具有 极值(一般为最小值)。上述两种途径:前者称为几何法(矢量法) ,后者称为变分法(能量法)。在一定条件下它们所讨论的内容 可以互相转化,它们所得到的结果可以为函数解,是等价的, 统称为力学分析的解析法。 对于弹塑性力学边值问题的求解,真正能解出精确的函数解 的只是极少数的简单问题,特别在二维和三维问题中更为困难 ,这是因为客观事物的复杂性与多样性不可能用有限的闭合的 “解析函数”来描述。 矢量法与能量法在应用上各有特点,一般说来: 矢量法中微分方程的形成是与矢量相联系的,所以对于二维 或三维问题就有联立的两个或三个微分方程组,而且方程的形 式随着坐标的变换而改变。 而能量法是以虚功或余虚功原理作依据,综合三大力学规律以 能量形式表示的,是不随坐标变换的改变量。 而能量法(指应用能量原理的变分法)却为求近似解提供了有利条 件,因为能量计算中的最高阶次导数只有微分方程中的最高阶 次导数阶次的一半(可以材料力学梁的弹性曲线方程为例)。另外 ,微分方程的边界条件在用能量法时可以相应放松。所以能量 法更容易构造近似解。 对基于能量原理的变分法我们将在第十章力学的变分解法中叙述 。 力学分析中的数值法又可分为两类 : 第一类是在解析法的基础上进行近似数值计算。先对弹塑性力 学问题建立基本微分方程,然后对基本微分方
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