《数学物理方法》第八讲.ppt

（） 前面分离 变量得 圆盘上热 传导分离 变量得 主要问题 （1）（）的级数解法 （2）讨论由（）加边界条件构成本征问题与前讨论本征问题的共性 （） 第三章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题 2010. 4. 22 1二阶常微分方程的级数解法 一.常点邻域内的级数解法 考虑求解变系数二阶常微分方程 的解在指定点 和在点 的邻域内的性质 的解析性有关。 若和都在处解析, 则称 为方程 的常点, 否则称 之为 的奇点。 注 与方程的系数 定理(柯西定理): 若和在内解 析, 则初值问题 在内有唯一的解析解 且该级数解的收敛半径至少是 R. -幂级数解 级数法求解方程 设所求解为 分别写成 代入 得 即 比较数得递推公式, 从而将 同次幂的系 用 表示。 其中是由初始条件确定的。 一般来讲, 分成两个级数 第一项分别是 可将解 和其 于是构成基础解系。 例1： 试级数法求解方程 例2.Legendre方程的级数解法 求如下的 Legendre 方程的麦克劳林级数解 这相当于方程 中取 这里是参数, 可见是 和的常点。 称之为方程的阶数。 则 设方程的解为 于是 比较的各次幂系数得 这样可由经递推得到具体地， 这样得到勒让德方程的级数解 其中 据比值判别法知上述幂级数的收敛半径为1。 一般来讲, 当 时,和右端级数均发散。 当时, 对特定的初值，可能使得 如当 时, 则只含有限项。 此时若 可 使得 有界。 有界。 若令则可得 满足这些条件的解是一个多项式， 称之为 2n 阶勒让德多项式， 记作 进一步整理可得 得 令 即 当时, 则只含有限项。 此时若可 使得有界。 若令 可得方程的解 称之为 2n+1 阶勒让德多项式。 记作 类似上面的讨论可得 综上所述, 定解问题 构成本征值问题， 的本征函数为n 阶勒让德多项式 第一类勒让德函数, 其统一表达式如下： 本征值为对应 也称为 其中 勒让德方程的解 称之为第二类勒让德函数。 中 当时, 为多项式，或另一个仍是无穷级数， 关于勒让德多项式的性质和应用将在后面讨论。 二.正则奇点附近的级数解法 即 设 的不高于一阶的极点,是的不高于是 二阶的极点 , 其中在处解析,则称为方程 的 正则奇点。 定理(fuchs定理): 若和在内解 析, 或 则在内方程 的基础解系为 -广义幂级数解 例1. 其中 求 Bessel 方程 解： 方程可改写为因为 为方程的正则奇点。设方程有如下形式解： 的级数解。 则 代入方程得： 即 由此得 不妨设可得由上式得 分如下情况讨论： (1)此时有 由此易得 其中考虑到可知 取则可得特解 此级数解的收敛域为实数集。 称 为m 阶第一类Bessel 函数。 (2) 情况1,类似过程易得特解 两个特解线性无关,构成基础解系。 情况2,则上面关于的讨论依然成立。 此时 , 为求一个特解,仍取所得特解仍是 此时,情况3,线性相关 定义第二类 Bessel 函数： 可以证明是 Bessel 方程 的特解, 且与 线性无关。 易见,不论 m 取何非负值， 都是 的特解。 因此 有通解 定理3（Gauss定理） 设中 在内解析，是 的阶数高于一阶的极点， 是方程的非正则奇点， 内方程的基础解系为 但 或的阶数高于二阶的 则在 这时称极点， 三.非正则奇点附近的级数解法 或 而且可以证明，上述洛朗级数 中一定有无穷多项负幂项。 -洛朗级数解 2 Sturm-Liouville本征值问题 一.Sturm-Liouville 本征值问题 任意二阶方程都可化为所 谓的 Sturm-Liouville 方程 此方程含有参数 l。 根据的特点,可附加不同的 边界条件，使之构成特征值问题。 3. 若则可附加周期边界条件 Liouville 方程附加上述条件后构成 Sturm-Liouville 1. 若则可附加齐次边界条件，如 2. 若 则方程存在一特解, 该解在点 a 处有 界, 据 Liouville 公式,方程还存在另一无关特解, 也在点 a 处有界。 因此可附加自然边界条件 本征值问题。 二 本征值问题具有如下性质： 性质1.若均连续,连续或在边界上有 一阶极点, 则本征值问题有无穷多个本征值 及对应的本征函数。 性质 2. 所有本征值均非负。 性质 3. 对应于不同本征值的本征函数 在区间上加权正交, 即 在前述三种边界条件下性质3 结论