型线积分和面积分.ppt

第7节 第二型线积分和面积分 场的概念 对坐标的曲线积分 对坐标的曲面积分 ( Line integrals and Surface integrals of the Second Type ( Line integrals with respect to x,y,and z) (Surface integrals with respect to coordinate elements 2009年5月1 南京航空航天大学 理学院 数学系 若对全空间或其中某一区域 V 中每一点 M, 都有一 个数量 (或向量) 与之对应, 则称在 V 上给定了一个 数量场 (或向量场). 例如: 温度和密度都是数量场, M 的位置可由坐标确定. 因此给定了某个数量场就 总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数.同理,每 重力和速度都是向量场. 在引进了直角坐标系后, 点 等于给定了一个数量函数 在以下讨论中 场的概念 2009年5月2 南京航空航天大学 理学院 数学系 个向量场场都与某个向量函数 相对应对应 . 这里 P, Q, R 为所定义区域上的数量函数, 并假定它们有一阶连续偏导数. 如,设一个质点在处受 点 O 的距离成正比,F 的大小与M 到原 F 的方向 力F 的作用 , 与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 2009年5月3 南京航空航天大学 理学院 数学系 磁力线等都是向量场线. 注 场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关. 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质. 则称曲线 L 为向量场 的向量场线. 例如电力线、 设 L 为向量场中一条曲线. 若 L 上每点 M 处的切线 方向都与向量函数 在该点的方向一致, 即 2009年5月4 南京航空航天大学 理学院 数学系 梯度场 我们已经介绍了梯度的概念, 它 方向上的方向导数. grad u 是由数量场 u 派生出来的一个向量场, 称为 是由数量函数 所定义的向量函数 grad u 的方向就是使方向导导 梯度场. 由前面知道, 数 达到最大值值的方向, 就是在这个方 2009年5月5 南京航空航天大学 理学院 数学系 因为为数量场场 的等值值面 的法线 方向为为 所以 grad u 恒与 u 的等值面 正交. 当把它作为运算符号来看待时, 梯度可写作 引进符号向量 2009年5月6 南京航空航天大学 理学院 数学系 解 若以 上的单单位向量, 则则有 例1 设质量为 m 的质点位于原点, 质量为 1 的质点 位于 记记 2009年5月7 南京航空航天大学 理学院 数学系 它表示两质点间的引力, 方向朝着原点, 大小与质量 的乘积成正比, 与两点间距离的平方成反比. 这说这说 明了引力场场是数量场场 的梯度场场, 因此常称 为为引力势势(gravitational potential ). 2009年5月8 南京航空航天大学 理学院 数学系 对坐标的曲线积分 1 1 第二类曲线积分的概念第二类曲线积分的概念 2 2 两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系 3 3 第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算 2009年5月9 南京航空航天大学 理学院 数学系 向量函数 其大小和方向都随点M变化 有向曲线指定了方向的曲线. 通常指出起点，终点来表明. 是向量 预备知识 2009年5月10 南京航空航天大学 理学院 数学系 第二型曲线积分的概念第二型曲线积分的概念 1. 问题的提出 变力沿曲线所作的功 求变力 对质点所作的功W. 设一质点在变力 作用下, 从点A 点B, 常力沿直线所作的功 处理办法分割近似代替取极限求和 2009年5月11 南京航空航天大学 理学院 数学系 （1）分割 （2）近似代替 ( 3 ) 求和 （4）取极限 2009年5月12 南京航空航天大学 理学院 数学系 2009年5月13 南京航空航天大学 理学院 数学系 2. 定义 存在称此极限为向量 若 在有向曲线 上的第二类曲线积分 函数 (坐标形式) (向量形式), 或对坐标的曲线积分 (与分法和点的取法无关！)， 2009年5月14 南京航空航天大学 理学院 数学系 第二类曲线积分（向量形式） 第二类曲线积分（坐标形式） 积分路径 被积函数 单独形式 称为对坐标 x 的曲线积分; 称为对坐标 y的曲线积分. 2009年5月15 南京航空航天大学 理学院 数学系 由定义，变力沿曲线所作的功 2009年5月16 南京航空航天大学 理学院 数学系 3. 性质 注第二类曲线积分必须注意积分路径的方向 ! 2009年5月17 南京航空航天大学 理学院 数学系 两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系 2009年5月18 南京航空航天大学 理学院 数学系 类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是 其中 简记为 简记为 2009年5月19 南京航空航天大学 理学院 数学系 定理1 一定存在, 且 2009年5月20 南京航空航天大学 理学院 数学系 例将积分化为对弧长的积 分, 解 其中C 沿上半圆周 2009年5月21 南京航空航天大学 理学院 数学系 例将积分化为对弧长的积 分, 解法2 其中C 沿上半圆周 2009年5月22 南京航空航天大学 理学院 数学系 解 化为定积分 a b 将积分 化为定积分 2009年5月23 南京航空航天大学 理学院 数学系 定理 设 上连续，则 起点 终点 第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算 计算定积分 转 化 求曲线积分 当t由ab时，对应的点M(x,y)从起点A运动 到终点B 描出曲线 为端点的区间上连续， 2009年5月24 南京航空航天大学 理学院 数学系 注 2009年5月25 南京航空航天大学 理学院 数学系 A B对应曲线上 a b 2009年5月26 南京航空航天大学 理学院 数学系 例2 计算 其中 (1) (2) (3) 解 (1) (2) (3) 被积函数 相同，起 点和终点 相同，但 是路径不 同，积分 结果相同。 2009年5月27 南京航空航天大学 理学院 数学系 例3 计算曲线积分 解 2009年5月28 南京航空航天大学 理学院 数学系 例4 设曲线G: 从 ox 轴正向看去 为逆时针方向, 求曲线积分 解 2009年5月29 南京航空航天大学 理学院 数学系 例5 设一个质点在处受力 的作用,已知 的方向指向坐标原点,其大小与作用点到 xoy 面的 距离成反比. 此质点由点沿直线移动到 求 F 所作的功 W. 解 2009年5月30 南京航空航天大学 理学院 数学系 思考题 2009年5月31 南京航空航天大学 理学院 数学系 思考题解答 曲线方向由参数的变化方向而定. 2009年5月32 南京航空航天大学 理学院 数学系 练 习 题 2009年5月33 南京航空航天大学 理学院 数学系 2009年5月34 南京航空航天大学 理学院 数学系 2009年5月35 南京航空航天大学 理学院 数学系 练习题答案 2009年5月36 南京航空航天大学 理学院 数学系 2009年5月37 南京航空航天大学 理学院 数学系 回顾: 常力沿直线所作的功 若改变运动方向，即从点B到点A所作的功 有向曲线 指定了方向的曲线. 通常指出起点，终点 来表明. 与从点A到点B所作的功大小相等，但符号相反. 2009年5月38 南京航空航天大学 理学院 数学系 向量函数 在平面