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电力系统稳态分析 第四章 复杂电力系统潮流的计 算机算法 1 第四章 复杂电力系统潮流的计 算机算法 基本要求：本章着重介绍运用电子计算机计算电 力系统潮流分布的方法。它是复杂电力系统稳态和暂 态运行的基础。 运用计算机计算的步骤，一般包括建立数学模型 ，确定解算方法，制定框图和编制程序，本章着重前 两步。 2 本章知识点 ： n1、节点导纳矩阵，节点导纳矩阵各元素的物理意义 ，如何由节点导纳矩阵形成节点阻抗矩阵，节点阻抗矩 阵各元素的物理意义，导纳矩阵与阻抗矩阵的对称性和 稀疏性； n2、网络节点分类，数学模型中已知条件和待求量； n3、牛顿拉夫逊迭代法原理，牛顿拉夫逊迭代法 直角坐标形式的功率误差方程和电压误差方程，牛顿 拉夫逊迭代法极坐标形式的雅可比矩阵与修正方程，两 种修正方程的不同点，牛顿拉夫逊迭代法两种坐标系 潮流计算求解步骤； 3 n5、PQ分解法潮流计算， PQ分解法与牛顿拉夫 逊的关系，由牛顿拉夫逊法导出PQ分解法用到了几个 近似条件，各近似条件的物理意义， PQ分解法的修正方 程式， PQ分解法与牛顿拉夫逊的迭代次数与解题速度 ， PQ分解法分解法潮流计算求解步骤。 4、高斯赛德尔法潮流原理，非线性节点电压方程的 高斯赛德尔迭代形式，PV节点向PQ节点转化的原因 和方法； 4 41 电力网络方程 n电力网络方程指将网络的有关参数和变量及其 相互关系归纳起来组成的，反映网络特性的数学 方程式组。如节点电压方程、回路电流方程，割 集电压方程。相应有： n（1）节点导纳矩阵 n（2）节点阻抗矩阵 n（3）回路阻抗矩阵 5 6 网络元件：恒定参数 发电机：电压源或电流源 负荷：恒定阻抗 电力网 代数方程 一、节点电压方程 7 一、节点电压方程 注意： 零电位是 不编号的 负荷用阻抗表示 以母线电压作为待求量 12 3 4 电力系统结线图 12 3 4 E1 E4 电力系统等值网络 8 电压源变为电流源 以零电位作 为参考，根 据基尔霍夫 电流定律 一、节点电压方程 1、节点导纳方程 124 I1 y24 3 I4y10 y12 y20 y23y34 y40 y30 9 一、节点电压方程 1、节点导纳方程 10 其中 一、节点电压方程 1、节点导纳方程 11 1、节点导纳方程 n 个独立节点的网络，n 个节点方程 一、节点电压方程 12 n 个独立节点的网络，n 个节点方程 一、节点电压方程 1、节点导纳方程 13 n 个独立节点的网络，n 个节点方程 Y 节点导纳矩阵 Yii 节点i的自导纳 Yij 节点i、j间的互导纳 一、节点电压方程 1、节点导纳方程 14 Y 矩阵元素的物理意义 一、节点电压方程 1、节点导纳方程 15 Y 矩阵元素的物理意义 自导纳 Ykk：当网络中除节点k以外 所有节点都接地时，从节点k 注入网络的电流同施加于节 点k的电压之比 Ykk：节点k以外的所有节点 都接地时节点k对地的总导纳 一、节点电压方程 1、节点导纳方程 16 Y 矩阵元素的物理意义 互导纳 Yki：当网络中除节点k以外所有 节点都接地时，从节点i注入网 络的电流同施加于节点k的电压 之比 节点i的电流实际上是自网络流 出并进入地中的电流，所以Yki应 等于节点k、i之间导纳的负值 一、节点电压方程 1、节点导纳方程 17 一、节点电压方程 1、节点导纳矩阵Y 3 I4y10 y12 y20 y23y34 y40 y30 I1 124 节点导纳矩阵中自导纳 和互导纳的确定 18 一、节点电压方程 1、节点导纳矩阵Y 12 3 4 y10 y12 y20 y23 y24 y34 y40 y30 节点导纳矩阵中自导纳 和互导纳的确定 19 一、节点电压方程 1、节点导纳矩阵Y 12 3 4 y10 y12 y20 y23 y24 y34 y40 y30 节点导纳矩阵中自导纳 和互导纳的确定 20 一、节点电压方程 1、节点导纳矩阵Y 12 3 4 y10 y12 y20 y23 y24 y34 y40 y30 节点导纳矩阵中自导纳 和互导纳的确定 21 一、节点电压方程 1、节点导纳矩阵Y 12 3 4 y10 y12 y20 y23 y24 y34 y40 y30 节点导纳矩阵中自导纳 和互导纳的确定 22 节点导纳矩阵Y 的特点 1. 直观易得 2. 稀疏矩阵 3. 对称矩阵 一、节点电压方程 23 Z 矩阵元素的物理意义 一、节点电压方程 2、节点阻抗矩阵 24 Z = Y -1 节点阻抗矩阵 Zii 节点i的自阻抗或输入阻抗 Yij 节点i、j间的互阻抗或转移阻抗 Z 矩阵元素的物理意义 一、节点电压方程 2、节点阻抗矩阵 25 Z 矩阵元素的物理意义 一、节点电压方程 2、节点阻抗矩阵 26 在节点 k 单独注入电流，所 有其它节点的注入电流都等 于 0 时，在节点 k 产生的电 压同注入电流之比 从节点 k 向整个网络看进去 的对地总阻抗 Z 矩阵元素的物理意义 一、节点电压方程 2、节点阻抗矩阵 27 在节点 k 单独注入电流，所 有其它节点的注入电流都等 于 0 时，在节点 i 产生的电 压同注入电流之比 Z 矩阵元素的物理意义互阻抗 一、节点电压方程 2、节点阻抗矩阵 28 一、节点电压方程 2、节点阻抗矩阵 12 3 4 I1 I4z10 z12 z20 z23 z24 z34 z40 z30 节点阻抗矩阵中自阻抗 和互阻抗的确定 29 一、节点电压方程 2、节点阻抗矩阵 1 2 3 4 z10 z12 z20 z23 z24 z34 z40z30 节点阻抗矩阵中自阻抗 和互阻抗的确定 30 一、节点电压方程 2、节点阻抗矩阵 1 2 3 4 z10 z12 z20 z23 z24 z34 z40 z30 节点阻抗矩阵中自阻抗 和互阻抗的确定 31 一、节点电压方程 2、节点阻抗矩阵 1 2 3 4 z10 z12 z20 z23 z24 z34 z40 z30 节点阻抗矩阵中自阻抗 和互阻抗的确定 32 一、节点电压方程 2、节点阻抗矩阵 1 2 3 4 z10 z12 z20 z23 z24 z34 z40 z30 节点阻抗矩阵中自阻抗 和互阻抗的确定 33 Z 矩阵的特点 1. 复杂难求（Y1，支路追加法） 2. 满矩阵 一、节点电压方程 2、节点阻抗矩阵 34 二、回路电流方程 回路阻抗矩阵 12 3 4 z10 z12 z20 z23 z24 z34z40 z30 + + - - 35 二、回路电流方程 回路阻抗矩阵 36 m 个独立回路的网络，m个节点方程 二、回路电流方程 回路阻抗矩阵 37 m 个独立回路的网络，m 个节点方程 二、回路电流方程 回路阻抗矩阵 38 m 个独立回路的网络，m 个节点方程 ZL 回路阻抗矩阵 IL 回路电流列相量；（习惯取顺时针的电流流向为正） EL 回路电压源电势的列相量，与IL方向 一致为正。 二、回路电流方程 回路阻抗矩阵 39 ZL 矩阵元素的物理意义 Zii：自阻抗，环绕回路i所有支路阻抗的 总和； Zij：互阻抗，回路i和回路j共有的阻抗 ，其中ZijZji，如回路j、i无共有阻抗 ，则ZijZji0 二、回路电流方程 回路阻抗矩阵 40 二、回路电流方程 回路阻抗矩阵 ZL 矩阵的特点 1. 对称矩阵 2. 稀疏矩阵 41 三、节点导纳矩阵 Y 矩阵的修改 不同的运行状态，（如不同结线方式下的运行状况 、变压器的投切或变比的调整等） 改变一个支路的参数或它的投切只影响该支 路两端节点的自导纳和它们之间的互导纳，因此 仅需对原有的矩阵作某些修改。 42 三、节点导纳矩阵 Y 矩阵的修改 电力网 不同的运行状态，（如不同 结线方式下的运行状况、变压器 的投切或变比的调整等） 43 三、节点导纳矩阵 Y 矩阵的修改 电力网 44 电力网 yik ik Y 增加一行一列（n1）（n1） （1）从原网络引出一条支路增加一个节点 三、节点导纳矩阵 Y 矩阵的修改 45 Y 阶次不变 电力网 yij i j 三、节点导纳矩阵 Y 矩阵的修改 （2）在原有网络节点i、j之间增加一条支路 46 Y 阶次不变 yij 电力网 i j （3）在原有网络的节点i、j之间切除一条支路 三、节点导纳矩阵 Y 矩阵的修改 47 三、节点导纳矩阵 Y 矩阵的修改 电力网 i j -yijyij （4）在原有网络的节点i、j之间的导纳由yij改变为yij 48 三、节点导纳矩阵 Y 矩阵的修改 （5）在原有网络的节点i、j之间变压器的变比由k*改变为k* ZZ ij k*:1 ZT ZZ ij yT/k* 49 三、节点导纳矩阵 Y 矩阵的修改 （5）在原有网络的节点i、j之间变压器的变比由k*改变为k* 50 42 功率方程及其迭代解法 一、功率方程和变量、节点的分类 1、功率方程 GG 12 等值电源功率 等值负荷功率 （a）简单系统 51 42 功率方程及其迭代解法 一、功率方程和变量、节点的分类 1、功率方程 GG 12 y10 y20 y12 （b）简单系统的等值网络 52 42 功率方程及其迭代解法 一、功率方程和变量、节点的分类 1、功率方程 12 y10 y20 y12 （c）注入功率和注入电流 53 42 功率方程及其迭代解法 一、功率方程和变量、节点的分类 1、功率方程 12 y10 y20 y12 （c）注入功率和注入电流 54 42 功率方程及其迭代解法 一、功率方程和变量、节点的分类 1、功率方程 55 42 功率方程及其迭代解法 一、功率方程和变量、节点的分类 1、功率方程 56 42 功率方程及其迭代解法 一、功率方程和变量、节点的分类 1、功率方程 57 42 功率方程及其迭代解法 一、功率方程和变量、节点的分类 1、功率方程 决定功率大小的是相对相位角或相对 功率角 有功、无功功率损耗为： 58 42 功率方程及其迭代解法 一、功率方程和变量、节点的分类 2、变量的分类 除网络参数外，共有十二个变量 （1）负荷消耗的有功、无功功率PL1、PL2、QL1、QL2 。取决于用户，不可控变量或扰动变量，用列向量d表示。 （2）电源发出的有功、无功功率PG1、PG2、QG1、QG2。 控制变量，用列向量表示。 （3）母线或节点电压的大小和相位角U1、U2、1、2 。状态变量或受控变量，UQ， P，用列向量x表示。 59 42 功率方程及其迭代解法 一、功率方程和变量、节点的分类 2、变量的分类 对于n个节点，变量数增为6n，其中d、x各2n个 。 将上述变量进行分类后，只要已知或给定 扰动变量和控制变量，就可运用功率方程式解 出状态变量U，。 但是当1 、2 变化同样大小时，功 率的数值不变，从而不可能求出绝对相 位角，相应的功率损耗也不能确定。 ? 60 42 功率方程及其迭代解法 一、功率方程和变量、节点的分类 2、变量的分类 为克服上述困难，在一个具有n个节点的系统中 ，对变量的给定稍作调整： （1）只给定（n-1)对控制变量PGi、QGi，余下 一对控制变量PGs、QGs待定，以使系统功率保持平 衡； （2）给定一对s、Us，其中； PLi、QLi均为已知。 求解（n-1)对状态变量及一对待定的控制变量 61 42 功率方程及其迭代解法 一、功率方程和变量、节点的分类 2、变量的分类 得出的解应满足如下约束条件 ： 控 制 变 量 取决于一系列的技术经济因素 62 42 功率方程及其迭代解法 一、功率方程和变量、节点的分类 2、变量的分类 得出的解应满足如下约束条件 ： 节点状 态变量 扰动变量 63 42 功率方程及其迭代解法 一、功率方程和变量、节点的分类 3、节点的分类 64 42 功率方程及其迭代解法 一、功率方程和变量、节点的分类 3、节点的分类 (1) PQ节点：PLi、QLi；PGi、QGi，即相应的Pi、Qi 给定，待求Ui、i。如按给定有功、无功发电的发电厂母 线和没有其他电源的变电所母线 (2) PU节点： PLi、 PGi ，从而Pi给定； QLi 、Ui给定 。即相应的Pi、Ui给定，待求QGi、i。如有一定无功储 备电源变电所母线（很少，甚至没有）。 (3) 平衡节点： 一般只有一个。设s节点为平衡节点 ，则： PLs、QLs ；Us 、 s 给定， Us 1.0， s 0。待 求PGs、QGs。 65 42 功率方程及其迭代解法 二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性， 也可解非线性方程） 66 42 功率方程及其迭代解法 二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性， 也可解非线性方程） 67 42 功率方程及其迭代解法 二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性， 也可解非线性方程） 68 42 功率方程及其迭代解法 二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性， 也可解非线性方程） 若式中的aij对于Yij、xi对应Ui，yi对应 69 42 功率方程及其迭代解法 二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性， 也可解非线性方程） 此时可用迭代法求解。如设节点1为平衡节点，其 余为PQ节点，则有： 70 42 功率方程及其迭代解法 二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性， 也可解非线性方程） 此时可用迭代法求解。如设节点1为平衡节点，其 余为PQ节点，则有： 71 42 功率方程及其迭代解法 二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性， 也可解非线性方程） 此时可用迭代法求解。如设节点1为平衡节点，其 余为PQ节点，则有： 计算步骤为： 72 42 功率方程及其迭代解法 二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性， 也可解非线性方程） 对各类节点的计算和处理 由于节点的类型不同，已知条件和求解对象不同 ，约束条件不同，在计算过程中的处理不同。 （1）PQ节点：按标准迭代式直接迭代 ； （2）PV节点：已知的式Pp和Up，求解的是Qp，p；按 标准迭代式算出Up (k)， p (k)后，首先修正: 然后修正 73 42 功率方程及其迭代解法 二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性， 也可解非线性方程） 对各类节点的计算和处理 检查无功是否越限，如越限，取限值,此时：PVPQ 74 42 功率方程及其迭代解法 三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线 性方程） 原理： 按泰勒级数展开，并略去高次项 75 42 功率方程及其迭代解法 三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线 性方程） 原理： 76 42 功率方程及其迭代解法 三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线 性方程） 77 42 功率方程及其迭代解法 三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线 性方程） 78 42 功率方程及其迭代解法 三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线 性方程） 79 42 功率方程及其迭代解法 三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线 性方程） 80 42 功率方程及其迭代解法 三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线 性方程） 81 例题：如图所示，母线1为平衡节点，10，U11.0，母线 2为PV节点，U20.95，P2PG2PL2422，母线3为 PQ节点， P3PL34.0 ， Q3QL31.5 。试写出 此系统的功率方程。 82 42 功率方程及其迭代解法 三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线 性方程） （1）将xi(0)代入，算出f，J中各元素，代入上式方程组， 解出xi(0)； （2）修正xi(1) xi(0) xi(0) ，算出f，J中各元素，代入 上式方程组，解出 xi(1) ； 83 42 功率方程及其迭代解法 三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线 性方程） （1）将xi(0)代入，算出f，J中各元素，代入上式方程组， 解出xi(0)； （2）修正xi(1) xi(0) xi(0) ，算出f，J中各元素，代入 上式方程组，解出 xi(1) ； 计算步骤： 注意：xi的初值要选得接近其精确值，否则将不迭代。 84 4-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算 一、潮流计算时的修正方程式 节点电压用直角坐标表示： 85 4-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算 一、潮流计算时的修正方程式 首先对网络中各节点作如下约定： （1）网络中共有n个节点，编号为1，2，3，n； （2）网络中（m1）个PQ节点，一个平衡节点，编 号为1，2，m，其中1sm为平衡节点； （3）nm个PV节点，编号为m+1,m+2,，n. 86 4-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算 一、潮流计算时的修正方程式 (m-1)个PQ节点(n-m)个PV节点，共n-1个 (m-1)个PQ节点 (n-m)个PV节点 87 4-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算 一、潮流计算时的修正方程式 相应的： 88 4-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算 一、潮流计算时的修正方程式 用直角坐标表示的修正方程 PQ节点PV节点 2(nm) 2(m1) 2(nm) 2(m1) 89 4-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算 一、潮流计算时的修正方程式 用直角坐标表示的修正方程 90 4-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算 一、潮流计算时的修正方程式 用直角坐标表示的修正方程 91 4-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算 一、潮流计算时的修正方程式 以极坐标表示的另一种修正方程式为 PQ节点PV节点 2(nm) 2(m1) 2(nm) 2(m1) 92 用极坐标表示的修正方程式为 4-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算 一、潮流计算时的修正方程式 93 4-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算 一、潮流计算时的修正方程式 雅可比矩阵的特点： （1）雅可比矩阵各元素均是节点电压相量的函数， 在迭代过程中，各元素的值将随着节点电压相量的变化 而变化。因此，在迭代过程中要不断重新计算雅可比矩 阵各元素的值； （2）雅可比矩阵各非对角元素均与YijGijjBij有 关，当Yij0，这些非对角元素也为0，将雅可比矩阵进 行分块，每块矩阵元素均为22阶子阵，分块矩阵与节点 导纳矩阵有相同的稀疏性结构； （3）非对称矩阵。94 4-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算 二、潮流计算基本步骤 95 4-4 PQ分解法潮流计算 一、潮流计算时的修正方程式 (m-1)(n-1)(m-1)(m-1) (n-1)(n-1)(n-1)(m-1) 96 4-4 PQ分解法潮流计算 一、潮流计算时的修正方程式 1、对修正方程式的第一步简化 高压网络中，各元件的XR，P，相应的J0； U Q，N 0。 97 4-4 PQ分解法潮流计算 一、潮流计算时的修正方程式 2、对修正方程式的第二步简化 高压网络中，各元件的XR，使GijBij，再加上 系统稳定性的要求，即| i j| | i j|max， | i j|max（10 20）。 3、对修正方程式的第三步简化 98 4-4 PQ分解法潮流计算 一、潮流计算时的修正方程式 99 4-4 PQ分解法潮流计算 一、潮流计算时的修正方程式 100 4-4 PQ分解法潮流计算 一、潮流计算时的修正方程式 缩写为 101 42 网络方程的解法 高斯消去法 带有节点电流移置的星网变换 102 43 节点阻抗矩阵 用支路追加法形成 Z 矩阵 0 124 3 103 43 节点阻抗矩阵 1. 第一条支路必须是接地支路 2. 后追加的支路必须至少有一个 端点与已出现的节点相接 用支路追加法形成 Z 矩阵 104 电力网 ziq i q 43 节点阻抗矩阵 用支路追加法形成 Z 矩阵 电力网 k m 追加树枝追加连枝 zkm 105 电力网 ziq i q 43 节点阻抗矩阵 追加树枝 追加树枝 106 电力网 ziq i q 43 节点阻抗矩阵 追加树枝 追加树枝 从节点 m 单独注入电流 Im 原有阻抗矩阵不变 m 107 电力网 ziq i q 43 节点阻抗矩阵 追加树枝 追加树枝 从节点 q 单独注入电流 Iq m 108 电力网 ziq i q 43 节点阻抗矩阵 追加树枝 追加树枝 m 109 电力网 k m 43 节点阻抗矩阵 追加连枝 Ik Im Ikm Z 矩阵阶数不变 zkm 电力网 k m Ik- Ikm Im+ Ikm 110 43 节点阻抗矩阵 追加连枝 111 43 节点阻抗矩阵 追加连枝 112 43 节点阻抗矩阵 追加连枝 113 43 节点阻抗矩阵 追加连枝 如果m点接地 114 电力网 ziq i q 43 节点阻抗矩阵 追加树枝 追加树枝 m 115 43 节点阻抗矩阵 追加连枝 如果将k、m两点短接，经过修改后，第k 行（列）和第m行（列）的对应元素完全 相同。只要将原来这两个节点的注入电流 并到其中的一个节点，另外一个节点即可 取消，并消去阻抗矩阵中对应的行和列， 使矩阵降低一阶。 116 电力网 zkq k 43 节点阻抗矩阵 追加变压器树枝 q 1:K 原有阻抗矩阵不变 117 ziq k 43 节点阻抗矩阵 追加变压器树枝 q 1:K m 从节点 m 单独注入电流 Im 118 43 节点阻抗矩阵 追加变压器树枝 从节点 q 单独注入电流 Iq ziq i q 1:K m 119 电力网 ziq k 43 节点阻抗矩阵 追加变压器连枝 q 1:K m 120 44 节点编号顺序的优化 1. 消去时增加新支路最少的节点应该优先编号 2. 简化为按节点的连接支路数k（接地支路除外） 最少进行编号 静态优化编号 动态优化编号 121 第五章 P-Q分解法 P-Q分解法是牛顿-拉夫逊法潮流计算的一种简 化方法。 牛顿-拉夫逊法的缺点：牛顿-拉夫逊法的雅可比 矩阵在每一次迭代过程中都有变化，需要重新形成 和求解，这占据了计算的大部分时间，成为牛顿-拉 夫逊法计算速度不能提高的主要原因。 P-Q分解法利用了电力系统的一些特有的运行 特性，对牛顿-拉夫逊法做了简化，以改进和提高计 算速度。 122 牛顿-拉夫逊法简化形成P-Q分解 法的过程 牛顿-拉夫逊法修正方程展开为： 根据电力系统的运行特性进行简化： 考虑到电力系统中有功功率分布主要受节点电压相角 的影响，无功功率分布主要受节点电压幅值的影响，所 以可以近似的忽略电压幅值变化对有功功率和电压相位 变化对无功功率分布的影响，即： 123 根据电力系统的正常运行条件还可作下列假设： 电力系统正常运行时线路两端的电压相位角一般变化 不大（不超过1020度）； 电