矩阵的相似变换和特征值.ppt

返回主界面 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 线性代数与空间解析几何电子教案网络版 说明说明: : 由于由于PowerPointPowerPoint软件版本差异软件版本差异, , 在您在您 的电脑上浏览本电子课件可能有些的电脑上浏览本电子课件可能有些 内容出现会出现异常内容出现会出现异常. . 课件作者：王小才课件作者：王小才 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 一一. . 特征值特征值, , 特征向量的定义和计算特征向量的定义和计算 1. 1. 设A是n阶方阵, 为数, 为n维非零非零向量. 若A = , 则称为A的特征值特征值, 称为A 的对应于的特征向量特征向量. 2. 由A =得齐次线性方程组(IA) =, 它有非零解系数行列式|IA|=0, 这个 关于的一元n次方程, 称为A的特征方程特征方程, |IA|称为A的特征多项式特征多项式. 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 例例1 1. . 求求 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. . 解解: : 所以所以A A的特征值为的特征值为 1 1 =2, =2, 2 2 =4. =4. 解之得解之得 A A的对应于的对应于 1 1 =2=2的特征向量为的特征向量为 对于对于 1 1 =2, =2, ( (2 2I I A A) )x x = = 即即 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 解之得解之得 A A的对应于的对应于 2 2 =4=4的特征向量为的特征向量为 对于对于 2 2 =4, =4, (4(4I I A A) )x x = = 即即 例例1 1. . 求求 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. . 解解: : 所以所以A A的特征值为的特征值为 1 1 =2, =2, 2 2 =4. =4. 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 解解: |: | I I A A| = (| = ( 2)(2)( 1)1) 2 2 . . 所以所以A A的特征值为的特征值为 1 1 =2, =2, 2 2 = = 3 3 = 1.= 1. 对于对于 1 1 =2, =2, 求得求得( (2 2I I A A) )x x = = 的基础解系的基础解系: : p p 1 1 =(0,0,1)=(0,0,1) T T . . 对应于对应于 1 1 =2=2的特征向量为的特征向量为kpkp 1 1 (0(0 k k R R). ). 对于对于 2 2= = 3 3 =1, =1, 求得求得( (I I A A) )x x = = 的基础解系的基础解系: : p p 2 2 =(=( 1, 1, 2,1)2,1) T T . . 对应于对应于 2 2= = 3 3 =1=1的特征向量为的特征向量为kpkp 2 2 (0(0 k k R R). ). 例例2 2. . 求求 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. . 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 解解: |: | I I A A| = (| = ( +1+1)( )( 22) ) 2 2 . . 所以所以A A的特征值为的特征值为 1 1 = = 1, 1, 2 2 = = 3 3 = 2.= 2. ( ( I I A A) )x x = = 的基础解系的基础解系: : p p 1 1 =(1,0,1)=(1,0,1) T T . . 对应于对应于 1 1 = = 1 1的特征向量为的特征向量为kpkp 1 1 (0(0 k k R R). ). ( (2 2I I A A) )x x = = 的基础解系的基础解系: : p p 2 2 =(0, =(0, 1 1, , 1)1) T T, , p p 3 3 =(1, =(1, 0 0, 4), 4) T T . . 对应于对应于 2 2= = 3 3 =2=2的特征向量为的特征向量为k k 2 2p p2 2 + +k k 3 3p p3 3 ( (k k 2 2 , , k k 3 3 不同时为零不同时为零). ). 例例3 3. . 求求 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. . 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 例例4 4. . 设设 为方阵为方阵A A的特征值的特征值, , 证明证明 2 2 为为A A 2 2 的特征值的特征值. . 证明证明: : 因为因为 为为A A的特征值的特征值, , 即有非零向量即有非零向量x x使使A Ax x = = x x, , 于是于是( (A A 2 2 ) )x x = = A A( (A Ax x) ) = = A A( ( x x) ) = = ( (A Ax x) = ) = 2 2 x x, , 所以所以 2 2 为为A A 2 2 的特征值的特征值. . 例例5 5. . 设设 为方阵为方阵A A的特征值的特征值, , 证明证明 ( ( ) = 2) = 2 2 2 3 3 +4.+4. 为为 ( (A A) = 2) = 2A A 2 2 3 3A A +4+4I I的特征值的特征值. . 证明证明: : 因为因为 为为A A的特征值的特征值, , 即有非零向量即有非零向量x x使使A Ax x = = x x, , 于是于是 ( (A A) )x x = (= (2 2A A 2 2 3 3A A +4+4I I) )x x = 2 = 2( (A A 2 2 ) )x x 3 3A Ax x +4+4x x = 2 = 2 2 2 x x 3 3 x x +4+4x x = (= (2 2 2 2 3 3 +4+4) )x x = = ( ( ) )x x, , 所以所以f f( ( ) )为为f f( (A A) )的特征值的特征值. . 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 二. 特征值特征值, , 特征向量的特征向量的性质 定理定理5.15.1. . 设设 1 1 , , , , n n ( (实数或复数实数或复数, , 可以重复可以重复) ) 是是n n阶方阵阶方阵A A=a a ij ij 的的n n个个特征值特征值, , 即即 | | I I A A| = (| = ( 1 1 ) () ( 2 2 )()( n n). ). 则则 i i = = trtrA A = = a a ii ii n n i i =1 =1 n n i i =1 =1 i i = = detdetA A = | = |A A| | n n i i =1 =1 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 定理定理5.25.2. . 设设 是方阵是方阵A A的的一个特征值一个特征值, , f f是一个是一个 多项式多项式, , 则则f f( ( ) )是方阵是方阵f f( (A A) )的的一个特一个特 征值征值. . 推论推论. . 若若f f是多项式是多项式, , A A是是一个一个方阵方阵, , 使使f f( (A A) = ) = O O ( (这时称这时称f f为为A A的一个的一个零化零化多项式多项式), ), 则则A A 的任的任一特征值一特征值 必满足必满足f f( ( ) ) = 0 = 0. . 注注: : A A的零化多项式的根未必都是的零化多项式的根未必都是A A的特征值的特征值. . 例如例如f f( (x x) = ) = x x 2 2 1, 1, A A1 1 = = 1 1 0 0 0 0 1 1 , , A A2 2 = = 1 1 0 0 0 0 1 1 , , A A3 3 = = 0 0 1 1 1 1 0 0 . . 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵 一一. . 相似矩阵的定义和性质相似矩阵的定义和性质 设设A A, , B B都是都是n n阶方阵阶方阵, , 若有可逆矩阵若有可逆矩阵P P, , 使得使得 P P 1 1 AP AP = =B B, , 则称矩阵则称矩阵A A与与B B相似相似. . 记为记为A A B B. . P P称为称为相似变换矩阵相似变换矩阵或或过渡矩阵过渡矩阵. . 易见易见, , 矩阵间的相似关系满足矩阵间的相似关系满足 (1)(1) 反身性反身性: : A A A A; ; (2)(2) 对称性对称性: : A A B B B B A A; ; (3)(3) 传递性传递性: : A A B B, , B B C C A A C C. . 即矩阵间的相似关系是一种等价关系即矩阵间的相似关系是一种等价关系. . 且且A A与与B B相似相似 A A与与B B相抵相抵. . 但反之未必但反之未必. . 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵 命题命题: : 设设A A B B, , f f是一个多项式是一个多项式, , 则则f f( (A A) ) f f( (B B) ). . 证明证明: : 设设P P 1 1 AP AP = =B B, , f f( (x x) = ) = a a n nx x n n +a a 1 1 x x+ +a a 0 0 , , 则则 P P 1 1 f f( (A A) )P P = = a a n nP P 1 1A A n n P P+A1p A1p 1 1 APAP+ +a a 0 0 P P 1 1 IPIP = = a a n n ( (P P 1 1A AP P) ) n n +a a 1 1 P P 1 1 APAP+ +a a 0 0I I = = P P 1 1( (a a n nA A n n +a a 1 1 A A+ +a a 0 0 I I) )P P = = a a n nB B n n +a a 1 1 B B+ +a a 0 0I I = = f f( (B B) ). . 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵 定理定理5.55.5. . 设设n n阶方阵阶方阵A A与与B B相似相似, , 则有相同的特则有相同的特 征多项式和特征值征多项式和特征值. . 事实上事实上, , 设设P P 1 1AP AP = = B B, , 则则 | | I I A A| = | = |P P 1 1 | | | | I I A A|P P|= |= | I I B B|. |. 注注: : 特征多项式相同的矩阵未必相似特征多项式相同的矩阵未必相似. . 例如例如 A A = = 1 1 0 0 1 1 1 1 , , B B = = 1 1 0 0 0 0 1 1 , , 它们的特征多项式都是它们的特征多项式都是( ( 1)1) 2 2. . 但是若有但是若有P P 1 1AP AP = = B B, , 则则A A = = PBP PBP 1 1 = = B B. . 矛盾矛盾! ! 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵 二二. . 方阵与对角矩阵相似的充要条件方阵与对角矩阵相似的充要条件 定理定理5.65.6. . n n阶方阵阶方阵A A与对角矩阵相似的充要条与对角矩阵相似的充要条 件是件是A A有有n n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. . 证明证明: (: (必要性必要性) )设设P P 1 1AP AP = diag= diag 1 1, , 2 2 , , , , n n , , 则则APAP = = P Pdiagdiag 1 1, , 2 2 , , , , n n , , 即即 P P 的列向量依次为的列向量依次为p p 1 1 , , p p 2 2 , , , , p p n n . . A A p p 1 1 , , p p 2 2 , , , , p p n n = = 1 1p p1 1, , 2 2p p2 2 , , , , n np pn n , , 可见可见, , p p 1 1 , , p p 2 2 , , , , p p n n 就是就是A A的的n n个线性无关个线性无关 的特征向量的特征向量. . 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵 于是于是P P 1 1AP AP = diag= diag 1 1, , 2 2 , , , , n n , , p p1 1 , , p p 2 2 , , , , p p n n , , 对应的特征值依次为对应的特征值依次为 1 1, , 2 2 , , , , n n, , ( (充分性充分性) )设设A A的的n n个线性无关的特征向量依次为个线性无关的特征向量依次为 则则A A p p 1 1 , , p p 2 2 , , , , p p n n = = 1 1p p1 1, , 2 2p p2 2 , , , , n np pn n . . 记记P P = = p p 1 1 , , p p 2 2 , , , , p p n n , , 则上式可写成则上式可写成 APAP = = P Pdiagdiag 1 1, , 2 2 , , , , n n , , 二二. . 方阵与对角矩阵相似的充要条件方阵与对角矩阵相似的充要条件 定理定理5.65.6. . n n阶方阵阶方阵A A与对角矩阵相似的充要条与对角矩阵相似的充要条 件是件是A A有有n n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. . 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵 推论推论a a. . n n阶复方阵阶复方阵A A与对角矩阵相似的充要条与对角矩阵相似的充要条 件是件是A A的每个的每个n n i i 重特征值重特征值 i i 有有n n i i 个线性个线性 无关的特征向量无关的特征向量, , 即秩即秩( ( i i I I A A) = ) = n n n n i i . . 推论推论b b. . 若若n阶方阵A有n个不同的特征值, 则A 与对角矩阵相似. 三三. . 方阵的相似对角化方阵的相似对角化 对于对于n阶方阵A, 求可逆矩阵P, 使P P 1 1AP AP为为 对角矩阵这件事称为矩阵对角矩阵这件事称为矩阵A A的的相似对角化相似对角化. . 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵 求求| | I I A A| = 0| = 0的根的根 有重根吗有重根吗? ? 无无 A A可以相似对角化可以相似对角化 有有 秩秩( ( i i I I A A) ) = = n n n n i i ? ? 否否 JordanJordan化化 A A不能相似对角化不能相似对角化 是是 求求n n个线性无关的个线性无关的 特征向量特征向量p p 1 1 , , , , p p n n , , 令令P P = = p p 1 1 , , , , p p n n P P 1 1AP AP=diag=diag 1 1 , n n 例例1 1 2 2 3 3 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵 例例6 6. . A A = = 3 3 2 2 0 0 0 0 1 1 0 0 的特征多项式为的特征多项式为 0 0 0 0 1 1 特征值特征值 = 3, = 3, i i中有两个是虚数中有两个是虚数, , | | I I A A| = | = 3 3 2 2 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 = (= ( 3)(3)( 2 2 + +1), 1), 所以所以A A不与实对角矩阵相似不与实对角矩阵相似. . 在复数范围内在复数范围内, , A A 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 i i 0 0 i i 0 0 . . 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵 (3(3I I A A) )x x = = 的基础解系的基础解系: : p p 1 1 = = 5, 5, 3, 13, 1 T T, , ( (iI iI A A) )x x = = 的基础解系的基础解系: : p p 2 2 = 0, = 0, i i, 1, 1 T T, , ( ( iI iI A A) )x x = = 的基础解系的基础解系: : p p 3 3 = 0, = 0, i i, 1, 1 T T, , 令令P P = = 5 5 3 3 1 1 0 0 i i 1 1 0 0 i i 1 1 , , 则则P P 1 1AP AP = = 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 i i 0 0 i i 0 0 . . 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 一一. . 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量 1. 1. 复矩阵的共轭矩阵复矩阵的共轭矩阵 设设A A = = a a ij ij mm n n , , a a ij ij C C. . A A的共轭矩阵的共轭矩阵. . 则称则称A A = = a a ij ij mm n n为 为 可以验证可以验证 (1) (1) kAkA = = k A k A ; ; (2) (2) A A B B = = A A B B ; ; (3) (3) A A T T = ; = ;(4) (4) ABAB = = A BA B; ; (5) (5) 若若A A可逆可逆, , 则则A A也可逆也可逆, , 且且 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 2. 2. 实对称矩阵实对称矩阵 定理定理5.75.7. . 实对称矩阵的特征值均为实数实对称矩阵的特征值均为实数. . 从而从而 另一方面另一方面, , 两式相减得两式相减得 向量向量x x满足满足A Ax x = = x x, , 则则 又因为又因为x x非零非零, , 故故 因此因此 可见可见 为实数为实数. . 事实上事实上, , 设复数设复数 为对称矩阵为对称矩阵A A的特征值的特征值, , 非零复非零复 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 事实上, 1 p1T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA, 定理定理5.85.8. . 设1, 2是实对称矩阵A的两个不同 的特征值, p1, p2是对应与它们的特 征向量, 则p1与p2正交. 于是(12) p1Tp2 = 0, 但是1 2, 故p1Tp2 = 0. 从而1p1Tp2 = p1TAp2 = p1T(2p2) = 2p1Tp2. 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 定理定理5.95.9. . 对于任意n阶实对称矩阵A, 存在正 交矩阵Q, 使得 Q 1AQ = = diag(1, 2, , n), 其中1, 2, , n为A的全部特征值, Q = q1, q2, , qn的列向量组是A 的对应于1, 2, , n的标准正交特 征向量. 二二. . 实对称矩阵正交相似于对角矩阵实对称矩阵正交相似于对角矩阵 推论推论. .设是n阶实对称矩阵A的r重特征值, 则 对应于恰有r个线性无关的特征向量. 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 例例7 7. . 把把正交相似对角化正交相似对角化. . 解解: |: | I I A A| = (| = ( 2)(2)( 4)4) 2 2 . . 所以所以A A的特征值为的特征值为 1 1 = = 2 2, , 2 2 = = 3 3 = 4.= 4. ( (2 2I I A A) )x x = = 的基础解系的基础解系 1 1 = (0,1, = (0,1, 1)1) T T . . ( (4 4I I A A) )x x = = 的基础解系的基础解系 2 2 =(1, =(1, 0 0, , 0 0) ) T T, , 3 3 =(0, =(0, 1 1, 1), 1) T T. . 由于由于 1 1, , 2 2, , 3 3 已经是正交的了已经是正交的了, , 将它们单位化即将它们单位化即 可得可得 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 注注: : 对于对于 2 2= = 3 3 =4, =4, 若取若取( (4 4I I A A) )x x = = 的基础解系的基础解系 2 2 =(1, =(1, 1 1, , 1 1) ) T T, , 3 3 =(=(11, , 1 1, 1), 1) T T , , 则需要将它们正交化则需要将它们正交化. . 取取 1 1 = = 2 2, , 再单位化再单位化, , 即得即得 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 例例8 8. . 设设3 3阶实对称矩阵阶实对称矩阵A A的特征多项式为的特征多项式为 ( ( 1)1) 2 2 ( ( 10), 10), 且且 3 3 = 1, 2, = 1, 2, 2 2 T T 是对应于是对应于 =10=10的特征向量的特征向量. (1). (1)证明证明: : 是对应于是对应于 = = 1 1的特征向量的特征向量 与与 3 3 正交正交; (2); (2)求求A A. . 证明证明(1): (1): 由定理由定理5.85.8可知可知( () )成立成立. . ( () )因为因为 =1=1是是A A的二重特征值的二重特征值, , 所以所以A A有两个有两个 线性无关的特征向量线性无关的特征向量 1 1, , 2 2 对应于对应于 =1. =1. 注意到注意到 1 1, , 2 2, , 3 3 线性无关线性无关, , 而而 , , 1 1, , 2 2, , 3 3 线性相关线性相关, , 可设可设 = =k k 1 1 1 1 + +k k 2 2 2 2 + +k k 3 3 3 3, , 故故 = =k k 1 1 1 1 + +k k 2 2 2 2 是对应于是对应于 =1=1的特征向量的特征向量. . 由由 3 3, , = = 3 3, , 1 1 = = 3 3, , 2 2 = 0 = 0得得k k 3 3 =0, =0, 第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似