周世东-通信与网络-07-一般波形调制的最佳接收.pptx

第七讲-线性调制复习及一般波 形调制的最佳接收 周世东 提纲 线性调制主要基本概念复习 一般调制的最佳接收及误码率公式 波形传输的分类 多信息符号传输的并行和串行方式 并行传输：多个符号承载在不同的通道上的传 输 这里暂时把一个通道定义为在任意时间都具有相同 传输能力的信道 可以是多个不同的频带、多个媒质（如多条电缆、 多个天线） 串行传输，在同一步通道里，利用时间上的先 后承载多个的信息符号的传输方式 并行传输 串行传输 串并行传输 在并行传输中，每个通道也以串行的方式传送 多个符号， 其基本原理与串行传输相同 在串行传输中，在同一个符号周期里，将时频 资源划分成多个子通道，以并行的方式传输多 个逻辑符号， 将会在多路复接一节讨论这个问题 特例：同一个逻辑符号映射到多个并行通道或并行 子通道上，即不同的符号取值对应于多个通道上的 不同波形组合。 串行传输的基本单位 单符号传输中，以一定时间内的不同的波形代表不同的符号取 值 多符号传输中，各符号对应的波形呈现在先后不同的时间里 非时变系统中，先后符号的从逻辑符号到波形映射的规则相同 先后符号对应的波形持续时间可以超过1个符号时间间隔（此 间隔又称符号周期，其倒数为符号率） 总发射波形是多个符号对应的波形简单相加 因此串行传输的基本单位是单个逻辑符号的波形映射规则 其基本思路是，如果多个逻辑符号间取值相互独立，且映射规 则相同且无记忆，则简单延时相加后的能量谱（如果是无限长 时间传输的话，则为功率谱）完全决定于该映射规则 当然，如果不独立，或者映射规则有记忆，则其功率谱需要有 一定的修正 单个逻辑符号的波形映射规则举例 二元码 三元码 单个逻辑符号的波形映射规则举例 相同基本波形，不同幅度 单个逻辑符号的波形映射规则举例 相同基本波形，不同幅度，基本脉冲宽度 超过一个符号周期 单个逻辑符号的波形映射规则举例 相同基本波形，不同幅度，多通道 单个逻辑符号的波形映射规则举例 带通信号 像不像PSK? 是不是BPSK? 不是，究其原因，是尽管各不同符号对应于 该符号周期的载波起始相位是相同的，但对 应于一个绝对时间，如0时刻而言，其相位 是变化的，也就是说它不是一个恒定载波相 位的BPSK，具体到这个例子，它相对绝对 定时的载波相位随着每个符号逐个反转。 单个逻辑符号的波形映射规则举例 标准BPSK 它的波形映射关系是什么样的呢？ 这个例子刚好是载波频率为符 号率的整数加0.5倍。 可以想象，如果倍数是整数加 k/n倍(k与n互素)，就会有n种 映射关系， 如果这个倍数是无理数，那就 是无穷多种映射关系了。 怎么描述哪怕是最简单的BPSK? 等效基带模型 一个中心频率为fc，带宽为B的带通信道， 允许其通过一个实数包络（包络带宽不超过B/2）的余 弦波形， 同时还允许通过一个实数包络（包络带宽不超过B/2） 的正弦波形，两者互不干扰。 这一对信道是天生在一起的，实际传输时，两个通道 可以并行传输，不用白不用。 允许我们两路一起传， 其中正弦信号功率为其包络功率的一半， 余弦信号功率为其包络功率的一半， 因此总功率为两路实包络功率和的一半。 等效基带模型 带通噪声的等效 可以用这个观点，把一个中心频率为fc，带宽 为B的带通白噪声， 分成低通包络的余弦和低通包络的正弦分量， 带通噪声功率为两个低通包络功率和的一半， 或分别等于两个低通包络功率之中的一个， 由于带通噪声功率的单边功率谱密度为n0，则 相应的低通包络的双边功率谱密度也就是n0了 等效基带模型 线性系统 这个双通道低通模型足以描述信号的放大、衰减、叠 加、噪声影响等 如果再加上有合适的对延时的描述，而且是线性的， 整个带通线性系统的等效就完美了。 线性系统中的基本操作：延时、缩放、叠加 带通信号的延时，对于其双通道低通信号会发生 什么变化呢 双通道低通等效的延时 双通道低通等效的延时 产生了交叉，看起来，尽管还是一个线性系统，但似乎引入了串扰。 也就是说，引入延时后，两通道之间引入了串扰。 这个串扰怎么看？ 这样，这个二通道线性系统，就可以很自然地用 复数线性系统来表示了。 即把这个二维矢量的第一个分量看成实部，第二 个分量看成虚部， 所有的操作都是线性操作，其中延时，就是在基 带延时的基础上加一个旋转，即乘以 BPSK的等效基带表示 两通道基带符号波形映射就不再随各位置的 符号而不同了，只是简单的延时相加。 考虑等效复基带波形以后，载波频率是不是 符号率的整数倍也没关系了。 再看双通道映射 相同基本波形，不同幅度，多通道，当成复数 BPSK FSK 实基带与复基带 波形研究可以全部基于实基带或复基带进行讨 论了。 通常会以实基带为例讨论，但很容易推广到复 基带 一般波形映射中的一种特例：线性映射， 基本脉冲波形，一路（实基带）或两路（复基带） ，对单符号传输时，其基本脉冲波形形状相同，符 号的不同取值映射到相同波形的不同幅度上。 对于实基带，其幅度就是一维幅度， 对于复基带，其幅度就是二维实幅度或一维复幅 度。 举例 看看这种波形映射是线性的吗？ 基本形状像，但错位了，还行吗？从双通道的角度讲不是同种波形 左侧两者波形从复波形的角度看是相同的！逻辑0的波形乘以j就是逻辑1的波形。即如果 逻辑0波形当成基本脉冲波形的话，逻辑0的复幅度是1，而逻辑1的复幅度是j。两者在复 平面上都是顺时针旋转，保持90度的相差。其实是一种有频偏的2PSK(不是BPSK)，即实 际载波比做等效基带时用的参考载波偏低了符号率的1/4 右侧则不属于线性映射，因为两种逻辑对应于两种不同的复平面旋转方向。是一种FSK 线性映射的优化设计 线性映射方式的特点： 信号带宽不会超过基本脉冲波形的带宽 线性映射的一般表达： 等效于电平调制的周期性冲击波形，通过 冲击响应为基本脉冲波形的线性系统（滤 波器） 线性映射的特点 总功率谱为周期性冲击波形功率谱与滤波 器功率频率响应的乘积 周期性冲击波形功率谱取决于电平序列的 自相关性 优化设计要考虑的因素或目标 所占用的带宽严格受限 可靠传输希望收端恢复的电平值里没有信 号自己造成符号间的串扰， 希望由噪声带来的电平判决差错概率尽量 低。 优化设计可以“动”哪些东西？ 逻辑符号到电平的映射，即选取哪些电平，怎么映射 决定了判决时的差错概率 发送的基本脉冲波形，相当于发滤波器 决定了发射信号带宽，以及带外干扰等 接收滤波器 决定了对噪声的抑制能力， 同时也对信号产生一定的线性畸变 发、信道、收滤波器形成的合成信道 决定了接收采样时刻的电平上有没有符号间串扰 哪些东西是不能动的 客观的信道，这里假设为线性系统 噪声功率谱密度 三个设计目标如何达到 带宽严格受限 发滤波器严格受限即可，当然结果是发、信道、收滤 波器形成的合成信道也是严格受限的 无符号间串扰的合成信道的特征 冲激响应的时域特征：只在一个采样点上非零 频域特征：频谱混叠后，应白 电平判决差错概率与采样点信噪比之间的关系 单调减 最佳接收滤波器：使采样点信噪比最大 给定发射与信道合成响应时，以及接收机入口噪声功 率谱密度的情况下，使接收采样点信噪比最大的接收 滤波器 无符号间串扰合成信道的时域特征 冲激响应的时域特征：只在一个采样点上非零 无符号间串扰合成信道的频域特征 频域特征：频谱混叠后，应白 例题 当发送滤波器、信道、接收滤波器的总频率响应如下面哪 一种形状时，会产生符号间串扰？图中fs表示符号率 最佳接收滤波器 给定发滤波器和信道的合成频响 ，以 及噪声功率谱密度 最佳接收滤波器频响 可达采样点信噪比为 当噪声为白噪声时 采样点SNR 刚好就是匹配滤波器 2倍的差距来自于噪声功率计算的不同， 复数噪声是两路功率和 匹配滤波器特点 频响与接收机入口信号（基本脉冲波形） 频谱呈共轭关系 冲激响应与接收机入口信号（基本脉冲波 形）的关系是关于纵轴翻转，并取共轭 接收入口信号 基本脉冲波形 匹配滤波器冲激响应 因果型匹配滤波器冲激响应 所有非零响应均发生在正时间 匹配滤波器的实现 同时满足采样点无失真和信噪比最大的 系统设计（基带模型） 当发送滤波器、信道、接收滤波器频响分别为S(f) 、C(f)、H(f)时，根据最大信噪比要求： H(f)=(S(f)C(f)* 因为噪声是在过了信道之后加入的 此时总频响为X(f)= |S(f)|2|C(f)|2，只要X(f)满足 Nyquist第一准则即可保证采样点无失真，如X(f)呈 升余弦形状 这样就要求 及 此时的接收滤波器实为根号升余弦滤波器。 线性映射系统的整体设计 给定客观信道的响应Hc(f)，根据总带宽的要求，采样点无失真的 要求，采样点信噪比最大化的要求，如何设计发射滤波器和接收 滤波器 Step1，选择采样点无失真同时满足带宽要求的总频响，要求做成实 数型频响 Step2，对总频响求平方根，得到接收滤波器频响，同时也是发滤波 器与信道滤波器的总频响 Step3，把Step2得到的发滤波器与信道滤波器的总频响除以信道频 响，得到发滤波器频响 Step4，根据Step2/3得到的收发滤波器频响做反付里叶变换求出冲 激响应，分别找到其非零值对应的最小时间t发，t收（为负值，其实 只要带宽受限，这个值理论上是负无穷大，但取到足够低就行了） Step5，将收发滤波器冲激响应在时间分别轴上右移-t发和-t收（形成 因果型滤波器），用于实现 Step6，对应于第0个发符号的，最佳接收采样点时刻在-( t发+t收) 同时满足采样点无失真和信噪比最大的 系统设计（非白噪声） 总频响为X(f)满足Nyquist第一准则即可保证采样点 无失真， 数字调制最佳接收 一般性的最佳接收机 最佳条件下的差错概率 问题表述 一般性的调制 给定一个符号的调制设计：不同的信息符号取值对 应于不同的发射波形 (可以是形状、大小、位置等任何差异) 接收机则根据对叠加了噪声的接收波形，来判断发 送的是哪一个波形，以判断发送的符号 假设（要注意假设不同结论就不一样） 噪声为平稳加性白高斯噪声 发送符号集里各种可能符号的概率相同 暂时只考虑一个符号的接收（暂不考虑符号序列） 最小差错概率准则下的最优接收 目的：从最小误码率的角度来设计接收机 思路: 写出差错概率与接收方法之间的关系 求最优接收机算法 一般波形调制不一定是线性映射，即波形 形状不单一，且不是用电平承载信息 显然就不能简单用匹配滤波器来接收了 数字信号接收的统计模型 假设发送的脉冲波形选自消息集Xi所对 应的波形集合si (t)，我们关心的是在收 到r(t)后，如何判断发送的是哪个si (t)， 并使误判率最低 最大后验概率准则，即选择 最 大的下标i作为最佳判决。 课后练习：证明最小差错概率准则对应于最 大后验概率准则 最大似然准则 当发送消息集合中各消息发生概率相等时，最 小差错概率准则等价于最大似然， 即对所有的消息i，比较下式（称为似然函数） ，取最大的作为判决输出 时间连续的波形，似然函数该怎么写？ 其中K为与i无关的常数 统计模型中的采样 x(t)=s(t)+n(t) 由于无限带宽的噪声其功率无穷大，不能 直接抽样 一般的信号都是有限带宽，因此如果接收 机前端有一个截止频率为fH（大于信号带宽 ）的滤波器，则可以用2fH的采样率对其进 行采样，不损失信息。 似然函数的计算 发送si(t)时的条件概率密度函数实为均值在 si(t)的高斯分布，单边功率谱密度为 单边带宽为fH的白高斯噪声n(t)功率为 在0, T时间内总能量为 在0, T时间内共有2 fH T个采样点，构成独 立同分布的2 fH T维随机矢量，且各向同性 在每一维上的投影的能量（方差）为 为表述方便，这里只考虑白噪声的情况 似然函数的计算 时间离散化 距离表达式 求极限变连续 最小欧氏距离准则 当发送消息等概时 最小差错概率等价于最大似然 去除相同的项，等价于选择合适的i，使 最小 即 最大 或 最大 第i种符号波形相关器输 出或匹配滤波器采样 第i种符号波形符号能量 最小欧氏距离准则 最佳接收机一般结构 特例： 当不同消息的波形只有幅度不同时（PAM） 即要判断最合适的i： 请据此自行推导PAM的误符号率公式 最佳接收机的特例：PAM 最佳接收机的特例：PAM 最佳接收机的特例：PAM 匹配滤波！与采样点信噪比最大准则等价 数字调制解调的差错概率 先考虑一种简单的情况：成对差错概率 发送si(t)被错判成sj(t)的概率，P(i - j) 波形矢量空间中的运算（复习） 矢量长度与波形能量的关系 有限或无限时长的一个波形x(t)长度 波形矢量长度的平方就是波形能量 距离 有限或无限时长的两个波形x(t)，y(t)之间的距 离定义为 内积 波形矢量空间中的运算（续） 投影，矢量x在矢量y方向上的投影 矢量间的相关系数和夹角 复数矢量空间中基带噪声波形与单位长度矢 量的内积 这个值代表了基带噪声矢量在任一个复矢量方向上的投影(是一个复随机变量)的方差为2n0 ，即实 虚部的方差均为n0，或该复变量尚复平面上任一方向的的方差均为n0 实数矢量空间中白噪声波形与单位长度矢量 的内积（直接面向载波波形） 这个值代表了在接收端入口处的噪声矢量在任意实矢量方向上的投影的方差为n0/2 成对差错概率 当n(t)在AB上的投影超 过AB长度的一半时，发 生成对错误 该投影的方差为N0/2 成对差错概率为 O A B 线段AB的 等平分面 si(t) sj(t) 发送si(t)时错判 成sj(t)的区域 n(t) n(t)在AB上的投影 余弦定理 可见，波形间的相关性 是重要参数 本课的几乎所有的误码率公式都可以简单推出 注意 前页的分析全是实分析 如果换到等效复基带分析时有以下几点不 同 波形矢量长度的平方为符号能量的2倍 一维投影方差为2n0，但考虑到在复平面上只有 一个方向是有效的，因此用于计算差错概率的 噪声一维方差为n0 由于信号能量和噪声方差都增加2倍，不影响 误码率结论 多进制符号平均差错概率 多进制符号平均差错概率 二进制调制最佳接收的差错概率 单极性（2ASK） 双极性（BPSK） 二进制调制最佳接收的差错概率 2FSK，其相关性不可能做到-1，通过调整 频偏最低可到-0.22，此时Df=0.7/Ts 当然，常用的FSK的频率间隔是符号率一 半的整数倍，此时相关性为0，误符号率与 ASK相同。 二进制调制误码率公式列表 单极性 双极性 FSK相干 相干差分BPSK FSK、ASK非相干 差分相干BPSK 多进制相位键控MPSK 数学模型 其中 具体数值由待传数据决定 常见用法中集合 为均匀 分布 MPSK的波形相关系数（续） 任意脉冲波形 MPSK对应于M种可能的发送波形 和 间的相关系数为 什么情况下可以等于0？ g(t)的带宽的影响 载波频率大于基带带宽，Bgfc是 的充分条件 其中 Bg 是G(f)的最大基带带宽 类似的结论也适用于ASK, PAM, QAM等调制 方式 MPSK的差错概率（续） 因此从 到 的成对差 错概率为 MPSK的差错概率（续） 当M个相位均匀分布时，有： 从 到 的成对差错概率为 可见，成对差错概率最高的是相邻相位之 间，因此当信噪比很高时，误符号率近似 为 MPSK的误比特率 MPSK传递的是符号信息而不是比特信息， 因此准确的评价是其误符号率 不过MPSK常用来传分组的二进制比特，此 时就有二进制比特分组到MPSK符号之间的 映射问题，不同映射时所获得的误比特率 是不一样的 MPSK的格雷映射 映射原则：相邻相位点（最容易发生成对 差错的）所映射的二进制分组只有一位不 同。格雷映射有很多种 此时误比特率 前提是SNR足够大 特例:QPSK 事实上，如果QPSK采用格 雷映射，其实就是一个 4QAM 可以当成独立两路1bit传输 因此QPSK的误比特率为 误符号率为 基带复平面上的星座点 （多进制） 4进制PAM (4ASK) 16进制QAM等于载波 相位相差90度的两路 4ASK相加得到 M进制ASK 的复基带符 号能量为 对应于载波 符号能量： M=L2进制 QAM的复基带 符号能量为 对应于载波 符号能量： MASK和MQAM的最佳接收 这里平稳白噪声通过一个冲激响应为单位能量的滤波器 其后的任一点采样的方差就是白噪声的双边功率谱密度 MPAM接收信号分量只有实部，MQAM输出信号分量实虚部都有 MPAM和MQAM的最佳接收 MPAM只需对匹配滤波的实部进行判决 MQAM需要对匹配滤波的实、虚部分别判决 高信噪比，格雷映射时 可见，MPAM与MQAM相比，在一维电平数相同的情况下，误比特 率与Eb/N0的关系相同，而MQA