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2 .逻辑代数与硬件描述语言基础 2.1 逻辑代数 2.2 逻辑函数的卡诺图化简法 教学基本要求 1、熟悉逻辑代数常用基本定律、恒等式 和规则。 2、掌握逻辑代数的变换和卡诺图化简法； Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 2.1 2.1 逻逻 辑辑 代代 数数 2.1.1 逻辑代数的基本定律与恒等式 2.1.2 逻辑代数的基本规则 2.1.3 逻辑代数的代数变换与化简法 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 1、逻辑代数的常用公式 序号公式a公式b名称 1A + 0=AA 0 = 00、1律 2A + 1 =1A 1 = A 3A + A =AA A = A重叠律 4 互补律 5A + ( B + C)= (A + B) +CA (B C) = (A B) C结合律 6A + B = B + AA B = B A交换律 7A (B + C) = A B +A CA + B C= (A + B) (A + C)分配律 8反演律 9还原律 2.1.1 2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 2、基本公式的证明 (真值 表证明) 例 证明，按A、B取值 A BA BA+BA+B 0 01 10+0=1100 = 11 0 11 00+1=0001 = 11 1 00 11+0=0010 = 11 1 10 01+1=0011 = 00 ， 情况列出真值表，从表中可以直接得出结果。 2.1.1 2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 2.1.2 2.1.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 1. 代入规则 2. 反演规则 3. 对偶规则 1.1.代入规则代入规则： 在任何一个包含变量A逻辑等式中，如果用另一个函数 式代入式中A的位置， 则等式仍然成立。这一规则称为代 入规则。 例：B (A + C) = BA+BC， 用A + D代替A，得 B (A +D) +C = B(A +D) + BC = BA + BD + BC Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 2. 2. 反演规则反演规则：将逻辑表达式L中的与（ ）换成或（+），或（+ ）换成与（）；再将原变量换为非变量，非变量换为原变量；并 将1换成0，0换成1；那么，所得的函数式就是 。 注意事项： (1) 保持原来的运算优先顺序. (2) 对于反变量以外的非号应保留不变。 2.1.2 2.1.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 3. 3. 对偶规则对偶规则：将逻辑表达式L中的与（ ）换成或（+），或（ +）换成与（）；并将1换成0，0换成1；那么，所得的函数式 就是L的对偶式，记作 。 例 试证明 A+BC=(A+B)(A+C) 分别写出其对偶式：A(B+C) AB+AC 由分配律知：A(B+C) = AB+AC 故 A+BC=(A+B)(A+C) 2.1.2 2.1.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 2.1.3 2.1.3 逻辑函数的代数变换与化简法逻辑函数的代数变换与化简法 “与或” “或与” “与非与非” “或非或非” “与或非” “与非或非” “与或” 常见的几种逻辑函数表达式 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 1、变换的意义 2.1.3 2.1.3 逻辑函数的代数变换与化简法逻辑函数的代数变换与化简法 与非-与非式或非-或非式 “与非或非” Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 2、逻辑函数的 化简 最简的 “与或”表达式： 相与项（即乘积项）的个数最少； （门的个数少） 每个相与项中，所含的变量个数最少 （门的输入端少）。 化简后电路简单、可靠性高 2.1.3 2.1.3 逻辑函数的代数变换与化简法逻辑函数的代数变换与化简法 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 代数化简法： 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。 方法：并项法: 吸收法： A + AB = A 消去法： 配项法： A+AB=A+B 2.1.3 逻辑函数的代数化简与化简法 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 消项法： 和 。 例如： 配项法： 或 。 例如： 2.1.3 逻辑函数的代数化简与化简法 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 2.1.3 逻辑函数的代数化简与化简法 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 代数法化简在使用中遇到的困难： 1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程 要求对所有公式熟练掌握； 2.代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于 人的经验和灵活性； 3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对 代数化简后得到的逻辑表达式是否是最简式判断 有一定困难。 所以，介绍另一种方法-卡诺图化简法。 卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式 。 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 2.2 2.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 2.2.1 最小项的定义及性质 2.2.2 逻辑函数的最小项表达式 2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数 2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 2.2.1 2.2.1 逻辑函数的最小项的定义及其性质逻辑函数的最小项的定义及其性质 n变量的最小项，是n个因子的乘积，每个变量都以 它的原变量或非变量的形式在乘积中出现，且只出 现一次。 1、最小项的定义： 如三变量逻辑函数 f(A B C) A(B + C ) -不是最小项 -最小项 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 2、最小项的性质 三个变量的所有最小项的真值表 m0m1m2m3m4m5m6m7 最小项的表示：通常用mi表示最小项，m表示最小项,下标 i为最 小项编号。 00010000000 00101000000 01000100000 10000001000 01100010000 10100000100 11000000010 11100000001 2.2.1 2.2.1 最小项的定义及其性质最小项的定义及其性质 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html A B C 0 0 010000000 0 0 101000000 0 1 000100000 0 1 100010000 1 0 000001000 1 0 100000100 1 1 000000010 1 1 100000001 l 对于任意一个最小项 ，只有一组变量取值使得 它的值为1； l 不同的最小项，使它 的值为1的那一组变量取 值也不同； l 对于变量的任一组取 值，任意两个最小项的乘 积为0； l 对于变量的任一组取 值，全体最小项之和为1 。 2、最小项的 性质 2.2.1 2.2.1 最小项的定义及其性质最小项的定义及其性质 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 2.2.2 2.2.2 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式 逻辑函数的最小项表达式： l 为“与或”逻辑表达式； l 在“与或”式中的每个乘积项都是最小项。 例1 将化成最小项表达式 = m7m6m3m1 唯一的唯一的 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 例2 将 化成最小项表达式 去掉非号 去括号 将AB乘以 2.2.2 2.2.2 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式 可见，任一逻辑函数都可以化成唯一的最小项表达式可见，任一逻辑函数都可以化成唯一的最小项表达式 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 2.2.3 2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 将一个逻辑函数最小项表达式中的各最小项相应地 填入一个特定的方格图内，此方格图就称为卡诺图 。 几何相邻某一方格和其它方格具有共同的边 逻辑相邻对于两个最小项，组成它们的变 量中，只有一个不同，其余都相同. 如 1、卡诺图： 逻辑函数的图形表示法。 2、卡诺图的特点： 几何相邻对应着逻辑相邻 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 0 1 00011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11 00011110 00 01 11 10 AB CD 2.2.3 2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 一变量卡诺图 三变量卡诺图 四变量卡诺图 两变量卡诺图 A B C D BC A m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m0m1 AA L =m0+m1 =m0+m1+m2+m3 m0m1m2m3 L A B m2 m3 14 m10 4 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 方法：1. 将逻辑函数化为最小项表达式； 2. 填写卡诺图。 例1 用卡诺图表示逻辑函数。 2.2.3 2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 L m0m3m2 m4m6m5m7 m1111 1100 0 解1. 将逻辑函数化为最小项表达式； 2. 填写卡诺图。 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 0 0 0 0 0 2.2.3 2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 画出下式的卡诺图例2 解1. 将逻辑函数化为最小项表达式； 2. 填写卡诺图。 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 2.2.4 2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 1、卡诺图化简的依据 相邻项相加时，反复应用， 公式，函数表达式的 项数和每项所含的因子数就会减小. Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 2、用卡诺图化简逻辑函数的一般步 骤 A.画出逻辑函数的卡诺图 。 B. 合并最小项，即将相邻的为1的方格圈成一组。 C. 将所有包围圈对应的乘积项相加。 2.2.4 2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 4. 一个包围圈的方格数要尽可 能多,包围圈的数目要可能少 。 3.同一方格可以被不同的包 围圈重复包围多次，但新 增的包围圈中一定要有原 有包围圈未曾包围的方格 。 1.包围圈内的方格数一定是2n个，且包围圈必须 呈矩形。 2.循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和 四角相邻。 画包围圈时应遵循的原则 ： 2.2.4 2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 X Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 卡诺图化简举例 例1 用卡诺图化简逻辑函数 11 1 1 1 11 11 1 Department of Electronics and Information Science Department of Electronics and Information Science http://dxx/I/dxx/Index.html 例