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曲率及其曲率半径的计算 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 有向弧段的值、弧微分公式 曲率、曲率的计算公式 曲率圆曲率半径 一、弧微分 s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的 正向一致时s0，相反时s0 x y O M0 x0 M x s0 显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数 设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是 下面来求s(x)的导数及微分 M0 M M x0x x+Dx Dx Dy x y O Ds 1，因为 因此 由于ss(x)是单调增加函数，从而 于是 ds 这就是弧微分公式 ) j M1 M2 N1 N2 观察曲线的弯曲线程度与切线的关系： 二、曲率及其计算公式 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度， M0 M M Ds Da x y O a+Da ) a ) s C 设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧 为Ds ，切线的转角为Da 平均曲率： 曲率： 曲率的计算公式： 设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数 于是 从而，有 因为tan a y ，所以 例1 计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率 解 因此，y|x11，y|x12 曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为 例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？ 解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ， 代入曲率公式，得 要使K 最大，只须2axb0， 抛物线的顶点因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为 K|2a| 对应的点为 2若曲线由参数方程给出，那么曲率如何计算？ 1直线上任一点的曲率等于什么？ 讨论： 提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0于是 提示： 曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r 有如下关系： 曲线在M点的曲率中心 三、曲率圆与曲率半径 M y=f(x) x y O D r 曲线在M点的曲率半径 曲线在M点的曲率圆 例3 设工件表面的截线为抛物线y04x 2现在要用砂轮 磨削其内表面问用直径多大的砂轮才比较合适？ 42 O 2 x y y=04 x2 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 例3 设工件表面的截线为抛物线y04x 2现在要用砂轮 磨削其内表面问用直径多大的砂轮才比较合适？ y08x ，y08， y|x00，y|x008 抛物线顶点
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