定积分的换元法与分部积分法.ppt

定积分之换元法 与分部积分法 考察定积分 记变上限定积分 积分上限函数及其导数 变下限定积分 变上限定积分和变下限定积分通称为变限定积分 (x)和(x)是a,b上的连续连续 函数。 定理 如果函数f(x)在区间 a,b上连续，则变上限定积分 在a,b上可导导，且它的导导数是 即(x)是f(x)在a,b上的一个原函数。 证 由积分中值定理得 例1 求下列函数的导数 解 解 解 （1 ） （2） 例1 求下列函数的导数 解 （3 ） 解 （4 ） 如果变速直线运动物体的运动方程是如果变速直线运动物体的运动方程是 S=S=S(tS(t) )，则在时间，则在时间 段段TT 1 1 ,T,T 2 2 内所发生的位移变化为内所发生的位移变化为S(TS(T 1 1 )-S(T)-S(T 2 2 ) ) 如果物体的运动方程为如果物体的运动方程为V=V=V(tV(t) )，则由定积分可知，则由定积分可知 连续函数连续函数 在区间在区间 上的定积分等于它的一个上的定积分等于它的一个 原函数原函数 在积分区间上的增量在积分区间上的增量 微积分基本公式 而 ？ 设设 在区间在区间 上上连续连续， 是它的是它的任意一个原函数，任意一个原函数， 则有则有 微积分基本公式牛顿莱布尼兹公式 证明思路 记作 牛顿莱布尼茨公式 微积分基本公式表明： 注意 求定积分问题转化为求原函数的问题. 例2 求下列定积分 解 因为 在 上连续， 是它的一个原函数 所以 解 原式 解 解 解 原式 解 原式 解 设，求 分段函数的积分 计算，应分区间 选取相应的函数 解 例3 求 解由图形可知 例4 求 解 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 例1 定积分的换元法 换元必须换限 不换元则不变限不换元则不变限 凑微分凑微分 另解另解 原式原式 解解 原式原式 ？ 解 原式 积分 变量变， 积分区间变 定积分的换元法 定理 应用换元公式时应注意: （2） （1） 例2 定积分的换元法换元必须换限 解解 令令 原式原式 换元换元 换限换限 定积分的换元法换元必须换限 解解 原式原式 解令 原式 定积分的换元法换元必须换限 证 例5 对称区间上对称区间上 偶函数的积分性质偶函数的积分性质 解解 原式原式 偶次方化倍角偶次方化倍角 解 原式 定积分的换元积分法小结定积分的换元积分法小结 1 1、基本换元规律，与不定积分相同；、基本换元规律，与不定积分相同； 2 2、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代， 但必须做到但必须做到换元同时换限换元同时换限。 定积分的分部积分法 定积分的分部积分公式 例6 解解 原式原式 已积出的部分 要求值 解 定积分的分部积分法已积出的部分要求值 解 定积分的分部积分法已积出的部分要求值 定积分的分部积分法已积出的部分要求值 解解 原式原式 解解 原式原式 所以所以 定积分的分部积分法小结定积分的分部积分法小结 1 1、u u与与dvdv的的选择规律选择规律，与不定积分的规律，与不定积分的规律完全相同完全相