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第二章第二章 通信系统分析基础通信系统分析基础 2.1 2.1 引言引言 2.2 2.2 周期信号的频谱周期信号的频谱 2.3 2.3 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 2.4 2.4 信号与系统分析的基本方法信号与系统分析的基本方法 2.5 2.5 信号无失真传输信号无失真传输 2.1 2.1 引言引言 n n 在通信系统中，传输的主体是在通信系统中，传输的主体是信号信号。信号是数据。信号是数据 的具体表示，的具体表示，数据数据是抽象或具体描述事实、物体是抽象或具体描述事实、物体 、状态等属性的数字和符号。、状态等属性的数字和符号。 n n 信号可以分为信号可以分为确知信号确知信号与与随机信号、周期信号随机信号、周期信号与与 非周期信号、能量信号非周期信号、能量信号与与功率信号功率信号等。等。 n n 频域分析频域分析：采用傅里叶分析法（时域函数在频域采用傅里叶分析法（时域函数在频域 上的表示，即频谱）；上的表示，即频谱）； 时域分析时域分析：主要包括卷积和相关函数。主要包括卷积和相关函数。 n n 研究对象：线性时不变系统，非线性时变系统。研究对象：线性时不变系统，非线性时变系统。 n n 反映系统传输特性的反映系统传输特性的传递函数传递函数（频域）。（频域）。 2.2 2.2 周期信号的频谱周期信号的频谱 n傅立叶级数 任何一个周期信号 ，只要满足狄里希莱条 件，都可以表示为傅立叶级数。 n狄里希莱条件： 在一周期内只有有限个间断点； 在一周期内只有有限个极值点； 绝对可积： 傅立叶级数的三种表示形式傅立叶级数的三种表示形式 1 1、傅立叶级数的三角形式：、傅立叶级数的三角形式： 2 2、傅立叶级数的另一种三角形式：、傅立叶级数的另一种三角形式： 3 3、傅立叶级数的、傅立叶级数的指数形式：形式： 其中Cn=|Cn|e-j是n次谐波分量的幅度值，故由|Cn|与频率 关系的图形可得到此信号的离散振幅频谱。这种频谱也 叫离散频谱频谱 。 离散离散频谱频谱 分析分析 n n 离散离散频谱频谱 n n 离散离散频谱频谱 的的对对称性与反称性与反对对称性称性 对对于于实实数数值值的周期信号的周期信号f(tf(t) )，由上述可知：，由上述可知： | |C n| |=|C-n|，-n=-n 这这就是就是说说，对对于于纵纵坐坐标标，振幅振幅频频频频率是率是对对对对称称 的的，为为n n的偶函数；的偶函数；相位相位频频频频率是反率是反对对对对称的称的， 为为n n的奇函数。的奇函数。 实例分析实例分析 周期脉冲序列，图2-1 Sa(x)=sin(x)/x，图2-2 周期脉冲的傅里叶级数 频谱图频谱图 (1)(1)相邻频率谱线的间隔与周期有关，这里等于相邻频率谱线的间隔与周期有关，这里等于1/T1/T。包络第一个。包络第一个 零点在零点在n n/T/T，即，即n/Tn/T1/1/ 处。对于本例，当处。对于本例，当n=5n=5时。即第五次时。即第五次 谐波的幅度为谐波的幅度为0 0，或没有第五次谐波。依此类推，第，或没有第五次谐波。依此类推，第1010次，次，1515 次，次，谐波的幅度为零。谐波的幅度为零。 (2)(2)归一化的振幅频谱的包络由脉冲宽度归一化的振幅频谱的包络由脉冲宽度 确定。图确定。图2-3(a)2-3(a)把负频率把负频率 包括在内，常称它为双边频谱。所谓负频率成分，实际上是由包括在内，常称它为双边频谱。所谓负频率成分，实际上是由 于使用了傅立叶级数这一数学工具带来的结果，现实中是不存于使用了傅立叶级数这一数学工具带来的结果，现实中是不存 在的。在的。 (3)(3)从振幅频谱图看出，谐波次数越高，幅度越小。信号频率成分从振幅频谱图看出，谐波次数越高，幅度越小。信号频率成分 大部分包含在第一个零点之内，即在大部分包含在第一个零点之内，即在0 0 f f 1/1/ 频率范围内。所频率范围内。所 以在以在 TT时，常把信导的频带时，常把信导的频带B B，估计为包络第一个零点以下的，估计为包络第一个零点以下的 频带，即频带，即B=1/B=1/ 。也就是说，当单个脉冲波形给定时，脉冲序也就是说，当单个脉冲波形给定时，脉冲序 列信号的频带与脉宽成反比。列信号的频带与脉宽成反比。 (4)(4)相位频谱值可取相位频谱值可取0 0或或 ，这由，这由Sa(nSa(n /T)/T)的极性决定，当极性为的极性决定，当极性为 正时，相角为零；极性为负时，相角为正时，相角为零；极性为负时，相角为 由于相位频谱的由于相位频谱的 反对称性，只需画出一边的相位频谱图，就可以知道另一边的反对称性，只需画出一边的相位频谱图，就可以知道另一边的 频谱分布，如图频谱分布，如图2-3(b)2-3(b)所示。所示。 问题：为什么要讨论频谱？问题：为什么要讨论频谱？ n n 我们总是希望信号以很快的速度来进行传输，因我们总是希望信号以很快的速度来进行传输，因 此，信号的频率要越高越好；此，信号的频率要越高越好； n n 物理信道的属性总是模拟性质的，并且一定的材物理信道的属性总是模拟性质的，并且一定的材 质只对某一些频率有效，而对某些频率阻碍很大质只对某一些频率有效，而对某些频率阻碍很大 ； n n 讨论频谱可以让我们清楚的知道每种信号的频率讨论频谱可以让我们清楚的知道每种信号的频率 成分。成分。 2.3 2.3 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 n n 傅里叶变换傅里叶变换 非周期信号不能直接用傅立叶级数去研究，可把 它看作周期信号周期趋于无穷的一种极限情况。 在指数形式的傅式级数展开中令 可得： n由 到 的变换叫傅里叶变换，而相反 的变换称为傅里叶逆变换。 n傅里叶变换的运算特性及常用的傅里叶变换对 表2-2 连续频谱分析连续频谱分析 n n 连续频谱连续频谱 通常，通常，F(F() )是角是角频频率率 的复函数，可写成：的复函数，可写成： | |F(F() )| |叫做叫做f(tf(t) )的的振幅振幅连续频谱连续频谱 ，() )叫做叫做f(tf(t) )的的相相 位位连续频谱连续频谱 。 n n 连续频谱连续频谱 的奇偶性的奇偶性 振幅振幅频谱频谱 是是 的偶函数的偶函数, ,相位相位频谱频谱 是是 的奇函数。的奇函数。 实例分析实例分析 n求矩形脉冲函数的频谱，如图2-4所示。 结论： 1、一般来说，F()是一个复函数。本例则为实 函数，是一个特例。当F() 为正时，相位为零； F() 为负时 ，相位为。 2、图示为双边频谱 ，负频率实际上不存在。 3、对于本例的矩形脉冲来说，频谱函数的第一 个零点出现在=2/，即f=1/ 处。把从零频率 到这一频率的范围定义为信号f(t)的频带宽 度， 则B=1/。 4、对于一切信号，有如下结论：“时间受限的信 号的频谱必为无限宽，而频谱有限的信号的波形 必为无限宽。” 注注 意意 n n 周期信号是用级数来描述的，而级数的频率是不周期信号是用级数来描述的，而级数的频率是不 连续的，所以周期信号的频谱是离散的。连续的，所以周期信号的频谱是离散的。 n n 非周期信号是用积分来描述的，其频率变量是连非周期信号是用积分来描述的，其频率变量是连 续的，所以非周期信号的频谱是连续的。续的，所以非周期信号的频谱是连续的。 n n 在实际通信系统中，只取携带信号主要特征和功在实际通信系统中，只取携带信号主要特征和功 率的频谱段和信号段进行通信系统的设计，因此率的频谱段和信号段进行通信系统的设计，因此 ，这种工程上的近似处理会引起信号传输的失真，这种工程上的近似处理会引起信号传输的失真 。 2.4 2.4 信号与系统分析的基本方法信号与系统分析的基本方法 n n 分析一个通信系统，本质上是建立在对每一个功分析一个通信系统，本质上是建立在对每一个功 能模块进行分析的基础之上的，即所谓能模块进行分析的基础之上的，即所谓“ “信号通过信号通过 系统系统” ”的问题。的问题。 n n 在一个输入信号的作用下，可给出一个输出信号在一个输入信号的作用下，可给出一个输出信号 的任何物理体系称为的任何物理体系称为系统系统。 n n 本节着重研究本节着重研究线性系统线性系统，它支持叠加定理。，它支持叠加定理。 n n 非线性系统的分析一般采用近似（线性）算法和非线性系统的分析一般采用近似（线性）算法和 图解法。图解法。 n n 下面先引入冲激函数和卷积的概念。下面先引入冲激函数和卷积的概念。 冲激函数冲激函数 n n 冲激函数的定冲激函数的定义义 n n 可以可以认为认为 函数是：在它出函数是：在它出现时现时 取不定取不定值值，即在，即在 t=tt=t 0 0 时为时为 无限大，而在其他无限大，而在其他时时刻均刻均为为0 0，但其覆，但其覆 盖的面盖的面积为积为 1 1，或称其冲激，或称其冲激强强度度为为1 1，故它称作，故它称作 单单位冲激函数。位冲激函数。 n n 冲激函数是一个理想信号，但可以把它想象冲激函数是一个理想信号，但可以把它想象为为一一 个振幅很大、持个振幅很大、持续时间续时间 很短而面很短而面积为积为 1 1的脉冲，的脉冲， 如如 图图2-62-6的矩形、三角、高斯或双的矩形、三角、高斯或双边边指数脉冲序指数脉冲序 列所示。列所示。 n n 单单位冲激函数的傅里叶位冲激函数的傅里叶变换变换 n n 单单位冲激函数的位冲激函数的取取样样特性特性 如果 f(t) 在 t=t0 处连续 ，且处处有界，则有 n n 上式表示上式表示 f f( (t t) ) 可以用无限多个冲激函数的离散和可以用无限多个冲激函数的离散和 近似，而在近似，而在t t= = 时时刻冲激函数的刻冲激函数的强强度度为为f f( ( ) ) 。 n n 频频域中的冲激函数域中的冲激函数 由由对对偶特性，偶特性， ( (t t) )1 1，得：，得：1 12 ( ( ) ) 卷积卷积 n n 卷积的定义卷积的定义 n n 卷积定理与卷积特性卷积定理与卷积特性 卷积定理：时域卷积定理：时域 频域频域 交换律：交换律： 分配律：分配律： 结合律：结合律： n n 任意信号与冲激函数的卷积任意信号与冲激函数的卷积 数学中的乘号为 下面的*是数学中的卷积符号 实实例分析例分析卷卷积积定理的定理的应应用用 n求单音调制脉冲的傅里叶变换 ，图2-9。 图2-9(a)：余弦波cos(0t) 图2-9(b)：矩形脉冲rect() 图2-9(c)：余弦波的傅里叶变换 F1 图2-9(d)：矩形脉冲的傅里叶变换 F2 图2-9(e)： cos(0t)rect() 的波形 图2-9(f)： F1 *F2的波形 n图2-9(e)就是图2-9(f) 时时域分析法域分析法 n n 在在时时域中，域中，线线性系性系统统是用它的脉冲响是用它的脉冲响应应来描述来描述 的。脉冲响的。脉冲响应应的定的定义义是把一个是把一个单单位冲激函数位冲激函数(t(t) ) 作作为输为输 入信号入信号时时，系，系统统所所产产生的生的输输出（响出（响应应） h(th(t) )。 n n 时时不不变变系系统统的定的定义义 上上图图表示：脉冲响表示：脉冲响应应函数函数h的形状与的形状与单单位脉冲位脉冲 加加 入系入系统统的的时间时间 无关无关时时不不变变。 n n 由单位冲激函数的取样特性，由单位冲激函数的取样特性，输入信号输入信号x x ( ( t t ) ) 可表可表 示为无限多个冲激函数的离散和，当示为无限多个冲激函数的离散和，当 0 0即即 n n 如果系统是物理可实现的，即对于如果系统是物理可实现的，即对于t0t0有有h(th(t)=0)=0， 那么上式可写为：那么上式可写为： n n 综上所述，在时域中，通信系统在综上所述，在时域中，通信系统在输入信号输入信号x(tx(t) ) 激励下，其输出响应是激励下，其输出响应是x x与系统的脉冲响应函数与系统的脉冲响应函数 h(th(t) )的卷积结果。的卷积结果。 频域分析法频域分析法 n n 如果系统的输入、输出和脉冲响应的傅里叶变换存在，即如果系统的输入、输出和脉冲响应的傅里叶变换存在，即 则由卷积定理可知则由卷积定理可知 n n 传递函数传递函数H H一般是一个复量，可写为一般是一个复量，可写为 其中其中| |H H( ( ) ) | |表示线性系统的表示线性系统的幅频特性幅频特性， ( ( ) )表示线性系统表示线性系统 的的相频特性相频特性。 n n 低通系统低通系统的带宽定义的带宽定义: : ，也称，也称3 3分贝带宽分贝带宽 n n 带通系统带通系统有类似定义。有类似定义。 n n 一个系统幅频特性的均匀性是一个系统幅频特性的均匀性是信号无畸变信号无畸变的必要条件之一的必要条件之一 其中设： 系统带宽定义系统带宽定义 理想低通滤波器的传播特性理想低通滤波器的传播特性 n n 分析单个矩形脉冲通过理想低通滤波器的响应。理想低通分析单个矩形脉冲通过理想低通滤波器的响应。理想低通 滤波器的传输特性为：滤波器的传输特性为： 矩形脉冲通过理想低通的响应矩形脉冲通过理想低通的响应 分析结论分析结论 n n 分析单个矩形脉冲通过理想低通滤波器的响应。分析单个矩形脉冲通过理想低通滤波器的响应。 截止频率分别取：截止频率分别取：2 2 / / ，10 10 / / ， 2 2 /5/5 。 1、输出波形滞后于输入信号、输出波形滞后于输入信号t t d d 时间。时间。 t td d 为滤波器的延迟。为滤波器的延迟。 2、输出波形已经有些失真，不再是矩形。、输出波形已经有些失真，不再是矩形。 宜选用合适的带宽以获得最佳的输出波形。宜选用合适的带宽以获得最佳的输出波形。 2.5 2.5